北师大版数学八年级下册《期末测试题》及答案.pdf

北 师 大 版 数 学 八 年 级 下 学 期期末测试卷学校 _ 班级 _ 姓名 _ 成绩 _ A 卷（100 分）一、选择题（每小题3 分，共 30 分）1.下列四个图案中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A.B.C.D.2.函数121yxx中自变量x的取值范围是（）A.2xB.2x且1xC.x2 且1xD.1x3.如果点(12)P mm，在第四象限，那么m 的取值范围是（）A.102mB.102mC.0mD.12m4.已知21xy是方程组121axyxby的解，则a+b 的值为（）A.2 B.-2 C.4 D.-4 5.下列命题中的假命题是（）A.一组邻边相等的平行四边形是菱形B.一组邻边相等的矩形是正方形C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D.一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形6.如图，点 O 是矩形 ABCD 的对称中心，E 是 AB 边上的点，沿 CE 折叠后，点 B 恰好与点O 重合，若 BC=3，则折痕 CE=（）A.23B.3 32C.3D.6 7.如图，正方形ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，DE 平分 ODA 交 OA 于点 E，若 AB=4，则线段OE 的长为（）A.423B.422C.2D.22 8.已知一次函数y=kx+b（k0）图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2，则一次函数的解析式为()A.y=x+2 B.y=x+2 C.y=x+2 或 y=x+2 D.y=-x+2 或 y=x-2 9.某储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用小时，调进物资2 小时后开始调出物资（调进物资与调出物资的速度均保持不变）储运部库存物资S(吨)与时间 t(小时)之间的函数关系如图所示，这批物资从开始调进到全部调出需要的时间是（）A.4 小时B.4.4 小时C.4.8 小时D.5 小时10.如图，点 P为定角 AOB 的平分线上的一个定点，且 MPN 与 AOB 互补，若 MPN 在绕点 P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB 相交于 M、N 两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON 的值不变；（3）四边形PMON 的面积不变；（4）MN 的长不变，其中正确的个数为（）A.4B.3C.2D.1 二、填空题（每题4 分，共 16 分）11.因式分解222(4)16xx=_ 12.一次函数y1=kx+b 与 y2=x+a 的图象如图，则kx+bx+a0 的解集是 _13.在平行四边形ABCD中，AD=13，BAD 和ADC的角平分线分别交BC于 E，F，且 EF=6，则平行四边形的周长是 _14.如图，在菱形ABCD 中，AB=4cm，ADC=120，点 E、F 同时由 A、C 两点出发，分别沿AB、CB 方向向点 B 匀速移动（到点B 为止），点 E的速度为1cm/s，点 F的速度为2cm/s，经过 t秒 DEF 为等边三角形，则 t 的值为 _三、解答题(共 54 分)：15.（1）计算10133()(2)(1)(1)112333（2)解不等式组3(2)41213xxxxf，并写出不等式组非负整数解（3）解分式方程：22216224xxxxx16.已知221212xx，求xxxxx111112的值.17.对 x，y 定义一种新运算T，规定：T（x，y）axbyxy（其中 a，b 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）0101abb，已知 T（1，1）2.5，T（4，2）4（1）求 a，b 的值；（2）若关于m的不等式组(4,54)3T(2m,3-2m)PTmm恰好有 2个整数解，求实数P 的取值范围18.如图，已知ABC 的三个顶点的坐标分别为A（2，3）、B（6，0）、C（1，0）（1）画出 ABC 关于原点成中心对称的三角形ABC；（2）将 ABC 绕坐标原点O 逆时针旋转90，画出图形，直接写出点B的对应点 B的坐标；（3）请直接写出：以A、B、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标19.京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的23；若由甲队先做10 天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30 天完成（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为8.4 万元，乙队每天的施工费用为5.6 万元工程预算的施工费用为500万元为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由20.在菱形 ABCD 中，BAD=60（1）如图 1，点 E 为线段 AB中点，连接DE，CE，若 AB=4，求线段EC 的长；（2）如图 2，M 为线段 AC 上一点（M 不与 A，C 重合），以 AM 为边，构造如图所示等边三角形AMN，线段 MN 与 AD 交于点 G，连接 NC，DM，Q 为线段 NC 的中点，连接DQ，MQ，求证：DM=2DQ B卷（50分）一、填空题（每题4分，共 20 分）21.已知 1x2，171xx，则111xx的值是 _22.已知直线(n1)1yxn2n2（n 为正整数）与坐标轴围成的三角形的面积为Sn，则S1+S2+S3+S2012=23.已知 ABC=60，点 D 是其角平分线上一点，BD=CD=6，DE/AB 交 BC 于点 E.若在射线BA 上存在点F，使DCFBDESS，请写出相应的BF 的长：BF_24.如图，四边形 ABCD 中，090,2,5AABCADBC,E 是边 CD 的中点，连接 BE 并延长与AD的延长线相较于点F.若BCD 是等腰三角形，则四边形BDFC 的面积为 _25.如图 1，把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD，再沿 ADC 的平分线 DE 折叠，如图2，点 C 落在点 C 处，最后按图3 所示方式折叠，使点A 落在 DE 的中点 A 处，折痕是FG，若原正方形纸片的边长为9cm，则FG=_cm二、解答题（共 30 分）26.某数码专营店销售甲、乙两种品牌智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示：甲乙进价（元/部）4300 3600 售价（元/部）4800 4200（1）该店销售记录显示三月份销售甲、乙两种手机共17 部，且销售甲种手机的利润恰好是销售乙种手机利润的2 倍，求该店三月份售出甲种手机和乙种手机各多少部？（2）根据市场调研，该店四月份计划购进这两种手机共20 部，要求购进乙种手机数不超过甲种手机数的23，而用于购买这两种手机的资金低于81500 元，请通过计算设计所有可能的进货方案（3）在（2）的条件下，该店打算将四月份按计划购进的20 部手机全部售出后，所获得利润的30%用于购买 A，B 两款教学仪器捐赠给某希望小学已知购买A 仪器每台300 元，购买 B 仪器每台 570 元，且所捐的钱恰好用完，试问该店捐赠A，B 两款仪器一共多少台？（直接写出所有可能的结果即可）27.如图 1，直线 l1：y=12x+3 与坐标轴分别交于点A，B，与直线l2：y=x 交于点 C（1）求 A，B两点的坐标；（2）求 BOC的面积；（3）如图 2，若有一条垂直于x 轴的直线l 以每秒 1 个单位的速度从点A出发沿射线AO方向作匀速滑动，分别交直线l1，l2及 x 轴于点 M，N和 Q 设运动时间为t（s），连接 CQ 当 OA=3MN 时，求 t 的值；试探究在坐标平面内是否存在点P，使得以 O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形？若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由28.问题背景：如图1，等腰 ABC 中，AB=AC，BAC=120，作 ADBC 于点 D，则 D 为 BC 的中点，BAD=12BAC=60，于是BCAB=2BDAB=3；迁移应用：如图2，ABC 和ADE 都是等腰三角形，BAC=DAE=120，D，E，C 三点在同一条直线上，连接BD求证：ADB AEC；请直接写出线段AD，BD，CD 之间的等量关系式；拓展延伸：如图3，在菱形ABCD 中，ABC=120，在 ABC 内作射线BM，作点 C 关于 BM 的对称点E，连接 AE 并延长交 BM 于点 F，连接 CE，CF证明 CEF 是等边三角形；若 AE=5，CE=2，求 BF的长答案与解析A 卷（100 分）一、选择题（每小题3 分，共 30 分）1.下列四个图案中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意故选 A2.函数121yxx中自变量x 的取值范围是（）A.2xB.2x且1xC.x2 且1xD.1x【答案】B【解析】【详解】由已知得：20 x且10 x，解得：2x且1x故选 B【此处有视频，请去附件查看】3.如果点(12)P mm，在第四象限，那么m 的取值范围是（）A.102mB.102mC.0mD.12m【答案】D【解析】【分析】横坐标为正，纵坐标为负，在第四象限【详解】解：点p（m，1-2m）在第四象限，m 0，1-2m0，解得：m12，故选 D【点睛】坐标平面被两条坐标轴分成了四个象限，每个象限内的点的坐标符号各有特点，该知识点是中考的常考点，常与不等式、方程结合起来求一些字母的取值范围，比如本题中求m 的取值范围4.已知21xy是方程组121axyxby的解，则a+b 的值为（）A.2B.-2C.4D.-4【答案】B【解析】【详解】21xy是方程组120axyxby的解将21xy代入，得a+2=-1，a=-3.把21xy代入，得2-2b=0，b=1.a+b=-3+1=-2.故选 B.5.下列命题中的假命题是（）A.一组邻边相等的平行四边形是菱形B.一组邻边相等的矩形是正方形C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D.一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形【答案】D【解析】要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项解：A、根据菱形的判定定理，正确；B、根据正方形和矩形的定义，正确；C、符合平行四边形的定义，正确；D、错误，可为不规则四边形故选 D6.如图，点 O 是矩形 ABCD的对称中心，E 是 AB边上的点，沿 CE 折叠后，点 B 恰好与点O 重合，若 BC=3，则折痕 CE=（）A.23B.3 32C.3D.6【答案】A【解析】【分析】先根据图形翻折变换的性质求出AC 的长，再由勾股定理及等腰三角形的判定定理即可得出结论【详解】解：B经折叠恰与O重合，EOAC点 O 是矩形 ABCD 的对称中心，3COAOCB，AE=EC,AC=6 sinCAB=12BCAC，CAB=30，AE=232 3303ACcos，CE=2 3故选:A7.如图，正方形ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，DE 平分 ODA 交 OA 于点 E，若 AB=4，则线段OE 的长为（）A.423B.422C.2D.22【答案】B【解析】如图，过E作 EH AD于 H，则 AEH是等腰直角三角形，AB=4，AOB 是等腰直角三角形，AO=AB cos45=42=22，DE平分 ODA，EO DO，EH DH，OE=HE，设 OE=x，则 EH=AH=x，AE=22-x，RtAEH中，AH2+EH2=AE2，x2+x2=（22-x）2，解得 x=4-22（负值已舍去），线段 OE的长为 4-22故选 B【点睛】考查正方形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，运用勾股定理列方程进行计算8.已知一次函数y=kx+b（k0）图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2，则一次函数的解析式为()A.y=x+2B.y=x+2C.y=x+2 或 y=x+2D.y=-x+2或 y=x-2【答案】C【解析】【分析】先求出一次函数y=kx+b 与 x 轴和 y 轴的交点，再利用三角形的面积公式得到关于k 的方程，解方程即可求出 k 的值【详解】一次函数y=kx+b（k0）图象过点（0，2），b=2，令 y=0，则 x=-2k，函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为2，12 2|-2k|=2，即|2k|=2，解得：k=1，则函数的解析式是y=x+2 或 y=-x+2 故选C9.某储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用小时，调进物资2 小时后开始调出物资（调进物资与调出物资的速度均保持不变）储运部库存物资S(吨)与时间 t(小时)之间的函数关系如图所示，这批物资从开始调进到全部调出需要的时间是（）A.4 小时B.4.4 小时C.4.8 小时D.5 小时【答案】B【解析】分析：由图中可以看出，2 小时调进物资30 吨，调进物资共用4 小时，说明物资一共有60 吨；2 小时后，调进物资和调出物资同时进行，4 小时时，物资调进完毕，仓库还剩10 吨，说明调出速度为：（60-10）2吨，需要时间为：60 25 时，由此即可求出答案解答：解：物资一共有60 吨，调出速度为：（60-10）2=25 吨，需要时间为：60 25=2.4（时）这批物资从开始调进到全部调出需要的时间是：2+2.4=4.4 小时10.如图，点P为定角AOB的平分线上的一个定点，且 MPN与 AOB互补，若MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB 相交于 M、N 两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON 的值不变；（3）四边形PMON 的面积不变；（4）MN 的长不变，其中正确的个数为（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】如图，过点P 作 PC 垂直 AO 于点 C，PD 垂直 BO 于点 D,根据角平分线的性质可得PC=PD，因 AOB 与MPN 互补，可得 MPN=CPD,即可得 MPC=DPN，即可判定 CMP NDP，所以 PM=PN，（1）正确；由 CMP NDP 可得 CM=CN，所以 OM+ON=2OC，（2）正确；四边形PMON 的面积等于四边形PCOD 的面积，（3）正确；连结CD，因 PC=PD，PM=PN，MPN=CPD，PMPC，可得 CD MN，所以（4）错误，故选B.二、填空题（每题4 分，共 16 分）11.因式分解222(4)16xx=_【答案】（x+2）2（x-2）2【解析】【分析】首先利用平方差公式分解因式，进而利用完全平方公式分解因式得出即可【详解】解：（x2+4）2-16x2=（x2+4+4x）（x2+4-4x）=（x+2）2（x-2）2故答案为（x+2）2（x-2）2【点睛】本题考查公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键12.一次函数y1=kx+b 与 y2=x+a 的图象如图，则kx+bx+a0 的解集是 _【答案】-3x-2.【解析】【分析】kx+bx+a0 的解集是一次函数y1=kx+b 在 y2=x+a 的图象的上边部分，且在x 轴上方部分，对应的x 的取值范围，据此即可解答【详解】解：观察图像可得：kx+bx+a0的解集是-3x-2.故答案为-3xPTmm恰好有2个整数解，求实数P的取值范围【答案】（1）a，b 的值分别为3 和 2；（2）实数 P的取值范围是43p2【解析】【分析】（1）根据题意把T（1，1）2.5，T（4，2）4代入 T（x，y）axbyxy即可求出a，b 的值；（2）根据题意列出关于m 的不等式，分别解出来再根据m 有两个整数解来确定p 的取值.【详解】（1）根据题意得：524abab，+得：3a9，即 a3，把 a 3代入得：b2，故 a，b的值分别为3和 2；（2）根据题意得：12108356643mmmmp，由得：m54，由得：m32p3，不等式组的解集为32p3m54，不等式组恰好有2 个整数解，即m0，1，132p30，解得43p2，即实数 P 的取值范围是43p2【点睛】此题主要考查不等式组的解，解题的关键是根据题意列出不等式并根据题意解出.18.如图，已知ABC 的三个顶点的坐标分别为A（2，3）、B（6，0）、C（1，0）（1）画出 ABC 关于原点成中心对称的三角形 ABC；（2）将 ABC 绕坐标原点O 逆时针旋转90，画出图形，直接写出点B 的对应点B的坐标；（3）请直接写出：以A、B、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标【答案】（1）图略；（2）图略，点B的坐标为（0，6）；（3）点 D 坐标为（7，3）或（3，3）或（5，3）【解析】【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C 关于原点对称的点A、B、C 的位置，然后顺次连接即可；（2）根据网格结构找出点A、B、C 绕坐标原点O 逆时针旋转90 的对应点的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点B 的对应点的坐标；（3）分 AB、BC、AC 是平行四边形的对角线三种情况解答【详解】解：（1）如图所示 ABC即为所求；（2）如图所示，?A B C即为所求；（3）D（-7，3）或（-5，-3）或（3，3）当以 BC 为对角线时，点D3的坐标为（-5，-3）；当以 AB 为对角线时，点D2的坐标为（-7，3）；当以 AC 为对角线时，点D1坐标为（3，3）【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，平行四边形的对边相等，熟记性质以及网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键19.京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的23；若由甲队先做10 天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30 天完成（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为8.4 万元，乙队每天的施工费用为5.6 万元工程预算的施工费用为500万元为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由【答案】（1）甲队单独完成需60 天，乙队单独完成这项工程需要90 天；（2）工程预算的施工费用不够，需追加预算4 万元.【解析】【分析】（1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率根据工作量=工作效率 工作时间列方程求解；（2）根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断【详解】（1）解:设乙队单独完成这项工程需要x天，则甲队单独完成需要2x3填；403012xx3解得：x90经检验，x=90 是原方程的根则22x906033（天）答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y 天，则有 y(160+190)=1.解得 y=36.需要施工费用：36(8.4+5.6)=504(万元).504500.工程预算的施工费用不够用，需追加预算4 万元20.在菱形 ABCD 中，BAD=60（1）如图 1，点 E 为线段 AB 的中点，连接DE，CE，若 AB=4，求线段EC 的长；（2）如图 2，M 为线段 AC 上一点（M 不与 A，C 重合），以 AM 为边，构造如图所示等边三角形AMN，线段 MN 与 AD 交于点 G，连接 NC，DM，Q 为线段 NC 的中点，连接DQ，MQ，求证：DM=2DQ【答案】（1）27（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）如图 1，连接对角线BD，先证明 ABD 是等边三角形，根据E 是 AB的中点，由等腰三角形三线合一得：DEAB，利用勾股定理依次求DE 和 EC 的长；（2）如图 2，作辅助线，构建全等三角形，先证明ADH 是等边三角形，再由AMN 是等边三角形，得条件证明 ANH AMD（SAS），则 HN=DM，根据 DQ 是 CHN 的中位线，得HN=2DQ，由等量代换可得结论试题解析：解：（1）如图 1，连接 BD，则 BD 平分 ABC，四边形 ABCD 是菱形，ADBC，A+ABC=180，A=60，ABC=120，ABD=12ABC=60，ABD是等边三角形，BD=AD=4，E 是 AB 的中点，DEAB，由勾股定理得：DE=2242=2 3，DCAB，EDC=DEA=90，在 RtDEC中，DC=4，EC=22DCDE=224(2 3)=2 7；（2）如图 2，延长 CD 至 H，使 CD=DH，连接NH、AH，AD=CD，AD=DH，CDAB，HDA=BAD=60，ADH 是等边三角形，AH=AD，HAD=60，AMN 是等边三角形，AM=AN，NAM=60，HAN+NAG=NAG+DAM，HAN=DAM，在 ANH 和 AMD中，AH=AD，HAN=DAM，AN=AM，ANH AMD（SAS），HN=DM，D 是 CH 的中点，Q是NC的中点，DQ是CHN的中位线，HN=2DQ，DM=2DQ点睛：本题考查了菱形的性质、三角形的中位线、三角形全等的性质和判定、等边三角形的性质和判定，本题证明 ANH AMD 是关键，并与三角形中位线相结合，解决问题；第二问有难度，注意辅助线的构建B卷（50分）一、填空题（每题4分，共 20 分）21.已知 1x2，171xx，则111xx的值是 _【答案】2.【解析】【分析】变形后即可求出（11x）2+（1x）2=6，再根据完全平方公式求出即可【详解】解：171xx1161xx即（11x）2+（1x）2=6，1x2，11x 1x,111xx=211)1xx（=2211+1)2?1?11xxxx（）（=6-2=2.故答案为2.【点睛】本题考查二次根式的混合运算和求值，完全平方公式等知识点，能灵活运用公式进行计算是解题关键22.已知直线(n1)1yxn2n2（n 为正整数）与坐标轴围成的三角形的面积为Sn，则S1+S2+S3+S2012=【答案】5032014【解析】令 x=0，则1yn2；令 y=0，则5032014，解得n111111S2 n1 n22n1n212320121111111111 11503SSSS2 233445201320142 220142014（）（）考点：探索规律题（图形的变化类），一次函数图象上点的坐标特征23.已知 ABC=60，点 D 是其角平分线上一点，BD=CD=6，DE/AB 交 BC 于点 E.若在射线BA 上存在点F，使DCFBDESS，请写出相应的BF 的长：BF_【答案】23或 43.【解析】【分析】过点 D 作 DF1 BE，求出四边形BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点，过点D 作 DF2BD，求出 F1DF2=60，从而得到 DF1F2是等边三角形，然后求出DF1=DF2，再求出 CDF1=CDF2，利用“边角边”证明 CDF1和CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点，然后在等腰 BDE 中求出 BE 的长，即可得解【详解】如图，过点D 作 DF1BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以 BE=DF1，且 BE、DF1上的高相等，此时 SDCF1=SBDE；过点 D 作 DF2BD，ABC=60 ，F1DBE，F2F1D=ABC=60，BF1=DF1，F1BD=12ABC=30 ，F2DB=90，F1DF2=ABC=60，DF1F2是等边三角形，DF1=DF2，BD=CD，ABC=60 ，点 D 是角平分线上一点，DBC=DCB=12 60=30，CDF1=180-BCD=180-30=150，CDF2=360-150-60=150，CDF1=CDF2，在 CDF1和CDF2中，1212DFDFCDFCDFCDCD，CDF1 CDF2（SAS），点 F2也是所求的点，ABC=60 ，点 D 是角平分线上一点，DEAB，DBC=BDE=ABD=12 60=30，又 BD=6，BE=12 6 cos30=332=23，BF1=BF2=BF1+F1F2=23+23=43，故 BF 的长为 23或 43.故答案为23或 43.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题关键，（3）要注意符合条件的点F 有两个24.如图，四边形 ABCD 中，090,2,5AABCADBC,E 是边 CD 的中点，连接 BE 并延长与AD的延长线相较于点F.若BCD 是等腰三角形，则四边形BDFC 的面积为 _【答案】521或 20【解析】【分析】先证明四边形BDFC 是平行四边形；当 BCD 是等腰三角形求面积时，需分BC=BD 时，利用勾股定理列式求出 AB，然后利用平行四边形的面积公式列式计算即可得解；BC=CD 时，过点C 作 CG AF 于 G，判断出四边形AGCB是矩形，再根据矩形的对边相等可得AG=BC=5，然后求出DG=3，利用勾股定理列式求出 CG，然后利用平行四边形的面积列式计算即可得解；BD=CD 时，BC 边上的中线应该与BC 垂直，从而得到BC=2AD=4，矛盾【详解】证明：A=ABC=90 ，BCAD，CBE=DFE，在BEC 与FED 中，CBEDFEBECFEDCEDE BEC FED，BE=FE，又 E 是边 CD 的中点，CE=DE，四边形BDFC 是平行四边形；（1）BC=BD=5 时，由勾股定理得，AB=22BDAD=2252=21，所以，四边形BDFC 的面积=521=521；（2）BC=CD=5 时，过点 C 作 CG AF 于 G，则四边形AGCB 是矩形，所以，AG=BC=5，所以，DG=AG-AD=5-2=3，由勾股定理得，CG=22CDDG=2253=4，所以，四边形BDFC 的面积=4 5=20；（3）BD=CD 时，BC 边上的中线应该与BC 垂直，从而得到BC=2AD=4，矛盾，此时不成立；综上所述，四边形BDFC 的面积是521或 20故答案为521或 20【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，（1）确定出全等三角形是解题的关键，（2）难点在于分情况讨论25.如图 1，把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD，再沿 ADC 的平分线 DE 折叠，如图2，点 C 落在点 C 处，最后按图3 所示方式折叠，使点A 落在 DE 的中点 A 处，折痕是FG，若原正方形纸片的边长为9cm，则 FG=_cm【答案】3102【解析】【分析】作GMAC 于M，ANAD于N，AA 交EC 于K易知MG=AB=AC=4.5，首先证明 AKC GFM，可得 GF=AK，由 AN=6cm，AN=3cm，CKAN，推出=KCACA NAN，可得92=92744KC，得出 CK=2cm，在RtAC K中，根据AK=22ACC K，求出AK即可解决问题【详解】解：作GMAC 于 M，AN AD 于 N，AA 交 EC 于 K易知 MG=AB=AC，GFAA ，AFG+FAK=90，MGF+MFG=90 ，MGF=KAC，AKC GFM，GF=AK，AN=274cm，A N=94cm，CKAN，=KCACA NAN，92=92744KC，CK=1.5cm，在 Rt AC K 中，AK=22ACC K=224.51.5=3102cm，FG=AK=3102cm，故答案为3102【点睛】本题考查翻折变换、正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型二、解答题（共 30 分）26.某数码专营店销售甲、乙两种品牌智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示：甲乙进价（元/部）4300 3600 售价（元/部）4800 4200（1）该店销售记录显示三月份销售甲、乙两种手机共17 部，且销售甲种手机的利润恰好是销售乙种手机利润的2 倍，求该店三月份售出甲种手机和乙种手机各多少部？（2）根据市场调研，该店四月份计划购进这两种手机共20 部，要求购进乙种手机数不超过甲种手机数的23，而用于购买这两种手机的资金低于81500 元，请通过计算设计所有可能的进货方案（3）在（2）的条件下，该店打算将四月份按计划购进的20 部手机全部售出后，所获得利润的30%用于购买 A，B 两款教学仪器捐赠给某希望小学已知购买A 仪器每台300 元，购买 B 仪器每台 570 元，且所捐的钱恰好用完，试问该店捐赠A，B 两款仪器一共多少台？（直接写出所有可能的结果即可）【答案】（1）售出甲手机12 部，乙手机5 部；可能方案为：购进甲手机12部，乙手机8 部；购进甲手机 13 部，乙手机7部；（3）该店捐赠A，B 两款仪器一共9 台或 8 台【解析】【分析】（1）设售出甲手机x 部，乙手机y 部，根据销售甲、乙两种手机共17 部，且销售甲种手机的利润恰好是销售乙种手机利润的2 倍，可得出方程组，解出即可；（2）设购进甲手机x 部，则购进乙手机（20-x）部，根据购进乙种手机数不超过甲种手机数的23，而用于购买这两种手机的资金低于81500 元，可得出不等式组，解出即可得出可能的购进方案（3）先求出捐款数额，设捐赠甲仪器x 台，乙仪器y 台，列出二元一次方程，求出整数解即可【详解】解：（1）设售出甲手机x 部，乙手机y 部，由题意得，175002 600 xyxy，解得：125xy答：售出甲手机12 部，乙手机5 部；（2）设购进甲手机x 部，则购进乙手机（20-x）部，由题意得，220343003600 2081500 xxxx，解得：12x1347，x 取整数，x 可取 12，13，则可能的方案为：购进甲手机12 部，乙手机8 部；购进甲手机13 部，乙手机7 部（3）若购进甲手机12 部，乙手机8 部，此时的利润为：12 500+8 600=10800，设捐赠甲仪器x 台，乙仪器y 台，由题意得，300 x+570y=10800 30%，x、y 为整数，x=7，y=2，则此时共捐赠两种仪器9 台；若购进甲手机13 部，乙手机7 部，此时的利润为：13 500+7600=10700，设捐赠甲仪器x台，乙仪器y台，由题意得，300 x+570y=10700 30%，x、y 为整数，x=5，y=3，则此时共捐赠两种仪器8 台；综上可得该店捐赠A，B 两款仪器一共9 台或 8 台【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程的应用及二元一次方程组的应用，解题关键是仔细审题，将实际问题转化为数学方程或不等式求解，难度较大27.如图 1，直线 l1：y=12x+3 与坐标轴分别交于点A，B，与直线l2：y=x 交于点 C（1）求 A，B两点的坐标；（2）求 BOC的面积；（3）如图 2，若有一条垂直于x 轴的直线l 以每秒 1 个单位的速度从点A出发沿射线AO方向作匀速滑动，分别交直线l1，l2及 x 轴于点 M，N和 Q 设运动时间为t（s），连接 CQ 当 OA=3MN 时，求 t 的值；试探究在坐标平面内是否存在点P，使得以 O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形？若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）A（6，0）B（0，3）；（2）SOBC=3；（3）t=83或163；t=（6+22）s 或（622）s或 2s 或 4s 时，以 O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）构建方程组确定点C 坐标即可解决问题；（3）根据绝对值方程即可解决问题；（4）分两种情形讨论：当OC 为菱形的边时，可得Q122 0，Q222 0，Q4（4，0）；当 OC 为菱形的对角线时，Q3（2，0）；【详解】（1）对于直线132yx，令 x=0 得到 y=3，令 y=0，得到 x=6，A（6，0）B（0，3）（2）由132,yxyx解得22.xy，C（2，2），13 232OBCSV（3）16,63662MttNtt，13636622MNttt，OA=3MN，36362t，解得 t=83或16.3如图 3 中，由题意2 2OC，当 OC 为菱形的边时，可得Q1（22，0），Q2（22，0），Q4（4，0）；当 OC 为菱形的对角线时，Q3（2，0），t=（6+22）s或（622）s或 2s或 4s时，以 O、Q、C、P 为顶点的四边形构成菱形【点睛】本题考查一次函数综合题、三角形的面积、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题28.问题背景：如图1，等腰 ABC 中，AB=AC，BAC=120，作 ADBC 于点 D，则 D 为 BC 的中点，BAD=12BAC=60，于是BCAB=2BDAB=3；迁移应用：如图2，ABC 和ADE 都是等腰三角形，BAC=DAE=120，D，E，C 三点在同一条直线上，连接BD求证：ADB AEC；请直接写出线段AD，BD，CD 之间的等量关系式；拓展延伸：如图3，在菱形ABCD 中，ABC=120，在 ABC 内作射线BM，作点 C 关于 BM 的对称点E，连接 AE 并延长交 BM 于点 F，连接 CE，CF证明 CEF 是等边三角形；若 AE=5，CE=2，求 BF 的长【答案】迁移应用：证明见解析；CD=3AD+BD；拓展延伸：证明见解析；33.【解析】【分析】迁移应用：如图中，只要证明DAB=CAE，即可根据SAS 解决问题；结论：CD=3AD+BD 由 DAB EAC，可知BD=CE，在 Rt ADH 中，DH=AD?cos30=32AD，由 AD=AE，AH DE，推出 DH=HE，由 CD=DE+EC=2DH+BD=3AD+BD，即可解决问题；拓展延伸：如图3 中，作BHAE 于 H，连接 BE由 BC=BE=BD=BA，FE=FC，推出 A、D、E、C 四点共圆，推出ADC=AEC=120 ，推出 FEC=60，推出 EFC 是等边三角形；由 AE=5，EC=EF=2，推出 AH=HE=2.5，FH=4.5，在 Rt BHF 中，由 BFH=30 ，可得HFBF=cos30，由此即可解决问题【详解】迁移应用：证明：如图 BAC=DAE=120 ，DAB=CAE，在DAE 和 EAC 中，DAEADABEACABAC，DAB EAC，解：结论：CD=3AD+BD 理由：如图2-1 中，作 AH CD 于 H DAB EAC，BD=CE，在 Rt ADH 中，DH=AD?cos30=32AD，AD=AE，AHDE，DH=HE，CD=DE+EC=2DH+BD=3AD+BD 拓展延伸：证明：如图3 中，作 BHAE 于 H，连接 BE四边形ABCD 是菱形，ABC=120 ，ABD，BDC 是等边三角形，BA=BD=BC，E、C 关于 BM 对称，BC=BE=BD=BA，FE=FC，A、D、E、C 四点共圆，ADC=AEC=120 ，FEC=60，EFC 是等边三角形，解：AE=5，EC=EF=2，AH=HE=2.5，FH=4.5，在 Rt BHF 中，BFH=30 ，HFBF=cos30，BF=4.532=33=33【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、四点共圆、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加辅助圆解决问题，属于中考压轴题