2020年河北省唐山市实验中学高三数学(理)高考模拟测试卷三.pdf

数学试卷一、选择题1.已知集合2400,1,2,3,4AxxxN,2R2012Bx xxxxe,则ABI()A.0,1,2,3,4B.0,1,2,3C.0,1,2D.1,22.已知复数z 满足iizz,其中 i 为虚数单位,则 z 在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.23x是2log1x的()A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件4.执行如图示的程序框图，输出的S的值等于()A.tan101101tan1B.tan102102tan1C.tan9999tan1D.tan10099tan15.已知0.30.8112,ln 522abc则,a b c的大小关系为()A.bacB.cbaC.cabD.abc6.函数3()eexxxf x的大致图象为()A.B.C.D.7.已知函数2234,4()log3,4xxf xxx若5f m,则30fm()A.1073B.1073C.10727D.107278.在ABC中,记,2,3 2,4ABa ACb ABBCABCu uu ruu u r,AD是边BC的高线O 是线段AD的中点,则AOuuu r()A.1123abB.1132abC.1134abD.1136ab9.已知双曲线22:13xEy，F 为 E 的左焦点，,P Q 为双曲线E 右支上的两点，若线段PQ 经过点2,0，PQF的周长为8 3，则线段 PQ 的长为()A.2 B.2 3C.4 D.4 310.已 知 在 平 面 直 角 坐 标 系 中,1,0,0,1,3,0,0,0ABCPPQPAPBuu u ruu u ruu u r且11,CDPQPDuuu ruu u ruu u r的最小值是()A.2 2B.22C.2 21D.2 2111.已知椭圆2222:10 xyCabab的左、右顶点分别为,A B点 M 为椭圆C 上异于,A B的一点，直线AM和直线BM的斜率之积为14，则椭圆 C 的离心率为()A.14B.12C.32D.15412.设函数2,3()12e,3xxf xxx,若函数2()g xf xmx有两个极值点,则实数m 的取值范围是()A.3e e,26B.3e e,2 6C.3ee,62D.3ee,62二、填空题13.在九章算术中有称为“羡除“的五面体体积的求法.现有一个类似于“羡除的有三条梭互相平行的五面体.其三视图如图所示，则该五面体的体积为_.14.已知向量2ab,若3abab,则2ab_.15.若直线ykxb 既是曲线ln2yx的切线,又是曲线ln3yx的切线,则 b_.16.在ABC中,a b c分 别 是 内 角,A B C的 对 边,D是AB上 的 三 等 分 点(靠 近 点A),且1CD,sinsinsinabAcbCB,则2ab 的最大值是 _.三、解答题17.已知数列na满足111221nnnaaaa1.求na的通项公式2.若数列nb满足12nnnba，求数列nb的前 n项和nS18.在ABC中,角,A B C的对边分别为,a b c且2222coscosbcabAabB()求角 A 大小；()已知ABC的外接圆半径3R,求ABC 的周长量l值范围.19.如图.在三梭锥ABCD 中BCD是边长为4 正三角形.E 为 BC 的中点.平面ADF平面 BCD，二面角 ABCD 的余弦值为77，三棱锥ABCD 的体积为46(一)求证:平面ADE平面 ABC;(2)求二面角 CADB 的余弦值.20.已知动圆M 过点2,0P且与直线20 x相切.1.求动圆心M的轨迹C的方程;2.斜率为0k k的直线l 经过点2,0P且与曲线C 交于,A B两点.线段AB的中垂线交x 抽于点 N求ABNP的值21.已知函数()Rxf xxex，e为自然对数的底数（）求证：当1x时，12ln11fxxxx；（）若函数21()12g xf xa x有两个零点，求实数a 的取值范围22.在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为121xmmym为参数，以坐标原点为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2363cos2,直线 l 与曲线 C 交于,M N两点（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求MN参考答案1.答案：C 解析：因为集合2400,1,2,3,4AxxxN,集合22012Bx xxxx,所以0,1,2ABI.故选C.2.答案：B 解析：由题意2i,zii,(1i)1izzzz,11(1 i)1i11zi1i(1i)(1i)222,在复平面对应的点为1 1(,)2 2,故 z在复平面内对应的点位于第二象限,故选 B 3.答案：C 解析：由23x可得33xx或,设集合 A=(,3)(3,)U.由2log1x可得2x,设集合B=(2,),显然集合B 是 A 的真子集,故23x是2log1x的必要不充分条件.故选 C 4.答案：A 解析：5.答案：B 解析：0.30.30.81222ba,1ba.又1ln5ln5ln12ce,abc.故选 B.6.答案：D 解 析：由33()()()eeeexxxxxxfxf x可 知,()f x为 偶 函 数,排 除B、C;因 为311(1)1(1)11eeeef,所以排除A,故选 D.7.答案：C 解析：24,()5345mmf m或24,35,mlogm解得4,m4,429,mmm(舍去)或所以29m,故31073013427fmf.故选 C.8.答案：D 解析：由题意易得2BD,由3 2BC,得13BDBCu uu ruuu r,1111111111()()()+2223233636AOADABBDABBCABACABABACu uu ruu u ruu u ruuu ruuu ru uu ruu u ruuu ruuu ruuu ruuu ra+b 故选 D.9.答案：B 解析：由题知,3,1,2,2,0abcF,点2,0为双曲线E 的右焦点,设为F,则由双曲线的定义可得2 3,2 3PFPFQFQF,两式相加得4 3PFQFPFQF,4 3PFQFPQ,4 32PFQFPQPQ,PQF的周长为8 3，4328 3PQ,2 3PQ.答案选择：B 10.答案：C 解 析：由,1PQPAPBuuu ruu u ruu u r且知,Q在AB所 在 的 直 线 上,又:1ABlyx，且|PQPDDQu uu ruuu ru uur,即 D 到 Q 的距离的最小值为|PQPDuu u ruuu r的最小值，又D 是以(3,0)C为圆心,1 为半径的圆上的点,那么点 D 到点 Q 的距离的最小值,就可以看成圆C 上的点到直线ABl距离的最小值,即圆心到直线ABl的距离 D 减去半径.又|301|2 22d,所以min|2 21PQPDuuu ruuu r,故选 C 11.答案：C 解析：设00,P xy代入椭圆方程,则220022:10 xyCabab，整理得：2222002byxaa，又001200,yykkxaxa，所以201222014yk kxa，联立两个方程则212214bkka，即2214ba，则2222312cbeaa.故选：C.12.答案：A 解析：当3x时,212)(mxxxg,所以mxxxg2)1(2)(2.令0)(xg,得2)1(1xxm,设2)1(1xxxty，所以xty在),3(上单调递减,所以当1210m时,有一个极值点;当0m或121m时,无 极 值 点;当3x时,22)(mxexgx,所 以mxexgx2)(.令0)(xg,因为0 x不是极值点,所以xemx2,记xexhx)(.因为2)1()(xxexhx,所以)(xhy在)0,(和)1,0(上单调递减,在)3,1(上单调递增,所以当0m时,有一个极值点;当20em时,无极值点;当623eme时,有两个极值点.综上所述,实数m的取值范围是)6,2(3ee,故选 A13.答案：24 解析：根据几何体得三视图，转换为几何体为：所以：1113 4 53 4 32423 2V故答案为：24 14.答案：2 解析：由2,3ababab 得22(3)()abab,解得4a b,所以2222(2)4442ababaa bb15.答案：31ln2解 析：设 直 线:lykxb,l与 曲 线ln2yx相 切 于 点11,ln(2)xx,则l的 方 程 为1111ln)2=(yxxxx,设l与 曲 线(3)y ln x=相 切 于 点22ln)3()xx,，则l的 方 程 为2221l()()n33yxxxx，所以1221221131lnln(3)3xxxxxx，解得1233,22xx,所以2,3k设 l与曲线ln2yx相切于点33(,ln2)22,即233ln2322b,即31ln2b.16.答案：23解 析：由sinsinsinabAcbCB及 正 弦 定 理 得ab acbcb,整 理 得2222cosabcababC,所以1cos2C.因为 0C,所以3C,因为点D 边AB上靠近点A三等分点,所以2133CDCACBuuu ruu u ruu u r,两边同时平方得224141cos999baabC,整理得22429abab,即22229292ababab,当且仅当23ab时取等号,解得22 3ab,所以2ab的最大值是2 3.17.答案：1.因为121nnnaaa，且可知0na，所以1112nnaa，所以数列1na是等差数列.所以111212nnnaa即12nan2.因为1222nnnnnb，所以1221231222nnnnSbbb，则23112322222nnnS，两式相减得23111231112 12222222nnnnnS所以1242nnnS解析：18.答案：()因为2222,bcab cosAabcosB所以222coscos22bcabAaBbcc,所以 2 cos.cAbcosAacosB由正弦定理得2.()sinCcosAsinBcosAsinAcosBsin ABsinC因为 sin0C，所以12cosA.又因为 0A,所以 A=3.()因为2sinaRA，所以22 333aRsinAsin.由余弦定理可得2222abcbccosA,即229bcbc,所以222223934()()()bcbcbcbcbcbc，解得6bc，又3bc，故69.l解析：19.答案：(1)因为BCD是正三角形，BC 的中点为 E，所以 BCDE.又平面ADE平面 BCD,平面ADEI平面 BCDDE,BC平面 BCD,所以 BC平面ADE,又 BC平面 ABC，所以平面ADE上平面 ABC.(2)由 1 知，,BCAE BCDE,所以AED是二面角ABCD 的平面，即7cos7AED,故42sin7AED.因为 E 是 BC 的中点，BCAE,所以 ABAC,设 ABACx，根据BCD的边长为 4，得24,2 3AExDE,因为111sin332ADEA BCDVSBCAEDEAEDBC三棱锥2211424 145642 34463277xx所以5x.在AED中，725421,2 3,cos7AEDEAED,由余弦定理得22272cos21122212 3217ADAEDEAE DEAED,所以21AD.过点 A 作 AODE 于点 O，根据平面AED平面 BCD,得 AO平面 BDC,根据21AEAD得O 是DE的中心.以 O 为坐标原点，OE所在直线为x 轴，OA所在直线为z轴，过点O 与BC平行的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图所示易知3,2,03,2,0,3,0,0,0,0,32BCDA.所以3,0,32,2 3,2,0,2 3,2,0DADCDBu uu ruu u ruu u r.设平面 ACD 的法向量,ma b c，则00m DAm DCuu u ruu ur所以33202 320acab可取3 2,36,3m，设平面ABD的法向量,nx y z，则00n DAn DBuu u ruuu r所以33 202 320 xzxy可取3 2,36,3n.由图易知二面角CADB 为锐二面角，设其大小为，则1854311cos1854325m nmn，故二面角CADB 的余弦值为1125解析：20.答案：1.因为动圆M 过点2,0P且与直线20 x相切，由抛物线的定义，可得动圆圆心M 的轨迹是以2,0P为焦点，以2x为准线的抛物线，所以曲线C 的方程为28yx。2.因为斜率为0k k的直线 l 经过点2,0P，所以直线l 的方程为：2yk x，由228yk xyx，可得22224840k xkxk，其中0k，所以212248kxxk，设线段AB的中垂线 QN 与线段AB的交点为Q，则2224 4,kxQkk，又因为1PNkK，所以直线PN 的方程为：224124kyxkkk，令0y，可得2264kxk，所以2264,0kNk，又因为2,0P，所以2244KNPK，又因为221222488844kkABxxkk，所以222288244kABkkNPk解析：21.答案：（1）设1(1)()ln21ln2111xf xh xxxexxxx11()2xh xex，121()xhxex1x1211,01xex1210 xhxexhx在1,上单调递增，又(1)0h1x时，()(1)0h xh1()ln21xh xexx在1,上单调递增，又(1)0h1x时，()(1)0h xh故当1x时，12ln11fxxxx；（2）21()12xg xxea x111xxgxxea xxea，当0a时，易知函数g x只有一个零点，不符合题意；当0a时，在,1 上，0gx，g x 单调递减；在1,上，0gx，g x 单调递增；又110ge，且120gea，不妨取4b且ln()ba 时，ln()22111()(1)(2)0222ag bbea babb【或者考虑：当x,g x】所以函数 g x 有两个零点当0a时，由10 xgxxea得1x或lnxa当 ln1a即1ae时，在,上，0gx成立，故g x在,上单调递增，所以函数 g x 至多有一个零点，不符合题意当 ln1a即10ae时，在,ln a和1,上，0gx，g x单调递增；在 ln,1a上0gx，g x 单调递减；又110ge，且2211lnlnln1ln1022gaaaaaaa，所以函数 g x 至多有一个零点，不符合题意 当 ln1a即1ae时，在,1和ln,a上0gx，g x单调 递 增；在1,lna上0gx，g x单调递减；又110ge，所以函数g x至多有一个零点，不符合题意综上所述：实数a的取值范围是,0解析：22.答案：(1)由121xmym消去参数 m 整理可得直线l 的普通方程为230 xy由曲线 C 的极坐标方程2363cos得23cos236 即2222cos4sin36，故曲线 C 的直角坐标方程为22218xy即221189xy（2）由已知可得直线l 的斜率12k，设 l 的倾斜角为，则525sin,cos55，所以直线l的参数方程可写成2 515515xttyt为参数，将2 515515xtyt代入22218xy整理可得2252t，解得125 25 2,22tt，由参数方程的几何意义可得125 2MNtt解析：