2019人教B版必修四第二章平面向量单元练习题.pdf
试卷第 1 页，总 2 页2019 人教 B 版必修四第二章平面向量单元练习题学校:_姓名：_班级：_考号：_ 一、单选题1如图，在同一平面内，点P位于两平行直线1l、2l同侧，且P到1l，2l的距离分别为1，3，点M，N分别在1l，2l上，8PMPN，则PM PN的最大值为（）A.15 B.12 C.10 D.9 2已知平面向量,a b的夹角为135，且1a，22ab，则bA2B2C31D33已知非零向量a，b 满足a=2b，且（a b）b，则 a 与 b 的夹角为A6B3C23D564（2017 新课标全国 文科）设非零向量a，b满足+=a bab，则A.abB.=abC.abD.ab5在ABC中，E为AC上一点，3ACAE，P为BE上任一点，若(0,0)APmABnAC mn，则31mn的最小值是A.9 B.10 C.11 D.12 6已知AB=(2,3)，AC=(3，t)，|BC=1，则AB BC=A-3 B-2 C2 D3 试卷第 2 页，总 2 页7已知2OAOB，点C在线段AB上，且OC的最小值为1，则OAtOB(tR)的最小值为（）A.2B.3C.2 D.58已知1a，2b，且aab，则向量a在b方向上的投影为（）A.12B.22C.12D.22二、填空题9已知向量=1,2a，=2,2b，=1,c若2cab+，则_10在平面直角坐标系xOy中，A为直线:2lyx上在第一象限内的点，5,0B，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D若0AB CD，则点A的横坐标为_11已知向量a=（1，2），b=（m，1），若向量a+b 与 a 垂直，则 m=_12在平行四边形ABCD中，已知1AB，2AD，60BAD，若CEED，2DFFB，则AE AF_三、解答题13已知 a，b，c 分别为三个内角A，B，C 的对边，S为的面积，（1）证明：；（2）若，且为锐角三角形，求S的取值范围14如图，在ABC中，已知30B，D是BC边上的一点，5AD，7AC，3DC.（1）求ADC的面积；（2）求边AB的长.答案第 1 页，总 9 页参考答案1A【解析】【分析】建立适当的坐标系，利用坐标表示向量PM、PNuuu r，根据8PMPN，求出PMPN的解析式，再求其最大值【详解】由点P位于两平行直线1l、2l同侧，且P到1l，2l的距离分别为1，3，可得平行线1l、2l间的距离为2；以直线1l为x轴，以过点P且与直线1l垂直的直线为y轴，建立坐标系，如图所示：由题意可得点0,1P，直线2l的方程为2y，设点,0M a、点,2N b，,1PMa、,3PNb，,4PMPNab；8PMPN，2()1664ab，4 3ab，或4 3ab；当4 3ab时，234 334 33PMPNabaaaa，它的最大值为2(23)4 32 3315；答案第 2 页，总 9 页当4 3ab时，234 334 33PMPNabaaaa，它的最大值为2(2 3)4 32 3315；综上可得，PMPN的最大值为15故选：A【点睛】本题主要考查求平面向量的数量积，熟记向量数量积的运算法则，以及数量积的坐标表示即可，属于常考题型.2A【解析】【分析】将22ab进行平方运算可化为关于b的方程，解方程求得结果.【详解】由22ab得：2222224444cos1352abaa bbaabb即：222 20bb，解得：2b本题正确选项：A【点睛】本题考查向量模长的求解，关键是能够通过平方运算，利用数量积运算构造出关于所求模长的方程，属于常考题型.3B【解析】【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养先由()abb得出向量,a b的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角【详解】因为()abb，所以2()abba bb=0，所以2a bb，所以cos=答案第 3 页，总 9 页22|12|2a bbabb，所以a与b的夹角为3，故选 B【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为0,4A【解析】由+=a bab平方得222222aa bbaa bb，即0a b，则abrr，故选A.点睛:已知1122(,),(,)xyxyab.(1)向量平行：1221x yx yab，,0Rab bab,11BAACOAOB1OC.(2)向量垂直：121200 x xy yaba b.(3)向量运算：221212(,),|,|cos,xxyyabaaa baba b.5D【解析】【分析】由题意结合向量共线的充分必要条件首先确定,m n的关系，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可知：3APmABnACmABnAE，,A B E三点共线，则：31mn，据此有：313199366212nmnmmnmnmnmnmn，当且仅当11,26mn时等号成立.答案第 4 页，总 9 页综上可得：31mn的最小值是12.本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查三点共线的充分必要条件，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6C【解析】【分析】根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积.【详解】由(1,3)BCACABt，221(3)1BCt，得3t，则(1,0)BC，(2,3)(1,0)2 13 02AB BC故选 C【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大7B【解析】分析：由2OAOB可得点 O 在线段AB的垂直平分线上，由结合题意可得当C 是AB的中点时OC最小，由此可得OB与OC的夹角为60，故,OA OB的夹角为120然后根据数量积可求得2OAtOB，于是可得所求详解：2OAOB，点 O 在线段AB的垂直平分线上点C在线段AB上,且OC的最小值为1，当 C 是AB的中点时OC最小，此时1OC，OB与OC的夹角为60，,OA OB的夹角为120答案第 5 页，总 9 页又22222OAtOBOAt OBtOA OB24422 cos120tt2424tt214()332t，当且仅当12t时等号成立2OAtOB的最小值为3，OAtOB的最小值为3故选 B点睛：求解平面向量最值或范围问题的常见方法(1)利用不等式求最值，解题时要灵活运用不等式ababab(2)利用函数思想求最值，常利用“平方技巧”找到向量的模的表达式，然后利用函数思想求最值，有时也常与三角函数知识结合求最值(3)利用数形结合思想求最值，利用平面向量“形”的特征，挖掘向量的模所表示的几何意义，从图形上观察分析出模的最值8D【解析】【分析】根据数量积的运算可求a b，再根据定义即可求解【详解】解：由aab得，0aab，20aa b1a b，向量a在b方向上的投影为12cos22a ba baaabb，故选D.【点睛】本题考查了平面向量的数量积的定义，运算及投影的概念，属于基础题.答案第 6 页，总 9 页912【解析】【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可。【详解】由题可得24,2ab/2,cab1,c4 20,即12故答案为12【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题。10 3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.详解：设,2(0)A aaa，则由圆心C为AB中点得5,2aCa易得:520Cxxay ya，与2yx联立解得点D的横坐标1,Dx所以1,2D.所以55,2,1,22aABaaCDa，由0AB CD得2551220,230,32aaaaaaa或1a，因为0a，所以3.a点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.117【解析】答案第 7 页，总 9 页由题得(1,3)mab，因为()0aba，所以(1)230m，解得7m点睛:如果 a(x1，y1)，b(x2，y2)(b0)，则 ab 的充要条件是 x1x2+y1y201252【解析】【分析】设,ABa ADb，则1,2ab，得到12AEba，2133AFab，利用向量的数量积的运算，即可求解【详解】由题意，如图所示，设,ABa ADb，则1,2ab，又由CEED，2DFFB，所以E为CD的中点，F为BD的三等分点，则12AEba，221()333AFbabab，所以22121151()()233363AE AFababaa bb2021515112cos6023632【点睛】本题主要考查了向量的共线定理以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及向量的共线定理和向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题13（1）见解析；（2）【解析】【分析】答案第 8 页，总 9 页（1）利用三角形面积公式表示S，结合余弦定理和正弦定理，建立三角函数等式，证明结论，即可。（2）结合三角形ABC 为锐角三角形，判定tanC 的范围，利用tanC 表示面积，结合 S 的单调性，计算范围，即可。【详解】(1)证明：由，即，B，(2)解：，且，为锐角三角形，为增函数，【点睛】考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形面积公式，考查了函数单调性判定，难度偏难。答案第 9 页，总 9 页14（1）15 34；（2）35【解析】分析：（1）在ADC中，根据余弦定理求得120ADC，然后根据三角形的面积公式可得所求（2）在ABD中由正弦定理可得AB的长详解：（1）在ADC中，由余弦定理得2222225371cos225 32ADDCACADCAD DC，ADC为三角形的内角，120ADC，3sin2ADC，11315 3sin5 32224ADCSAD DCADC（2）在ABD中，60ADB，由正弦定理得：sinsinABADADBB535 3122AB点睛：解三角形时首先要确定所要解的的三角形，在求解时要根据条件中的数据判断使用正弦定理还是余弦定理以及变形的方向，另外求解时注意三角形内角和定理等知识的灵活应用
