高三数学一轮复习第四节指数函数与对数函数.pdf
指数函数与对数函数专项训练题型 24 指（对）数运算及指（对）数方程1.(2013 浙江理 3）已知yx,为正实数，则().A.yxyxlglglglg222B.lg()lglg222xyxyC.lglglglg222xyxyD.lg()lglg222xyxy2.（2014 陕西理11）已知42,lgaxa，则x_.3.（2015 浙江理 12）若4log 3a，则22aa3.解析因为242221log 3log3log 3log32a，所以22log3log314 32222333aa.4.（2015 江苏 7）不等式224xx的解集为4.解析由题意22242xx，根据2xy是单调递增函数，得22xx，即22210 xxxx，故不等式的解集为1,2或写成12xx均可5.（2015 重庆理 4）“1x”是“12og()l20 x”的（）.A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.解析由12(og0l2)x得1x，且“1x”是“1x”的充分不必要条件故选 B6.（2015 四川理8）设,a b都是不等于1的正数，则“333ab”是“log 3log 3ab”的（）.A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6.解析若333ab，则1ab，所以log 3log 3ab，故为充分条件；若log 3log 3ab不一定有1ab，比如，13a，3b，所以333ab不成立.故选 B.7.（2016 浙江理 12）已知1ab.若5loglog2abba，baab，则a，b.7.4；2解析设logbat，因为1ab，则1t.由题知152tt，解得2t，所以2ab.由baab，将2ab带入，得22bbbb，22b b，得2,4ba.8.(2017 北京理 8)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为8010，则下列各数中与MN最接近的是（）.（参考数据：lg30.48）A.3310B.5310C.7310D.93108.解析设36180310MxN，两边取对数36180lglg 3lg10361lg 380 x，即93.28x，所以接近9310.故选D.9.（2017 全国 1 理 11）设x，y，z为正数，且235xyz，则（）.A235xyzB523zxyC352yzxD325yxz9.解析设235xyzt，两边取对数得ln 2ln3ln5lnxyzt，则2ln2ln 2tx3ln3ln3ty，5ln5ln 5tz，ln0t.设lnxfxx，2ln1lnxfxx，当0,ex时，0fx，fx单调递减；当e,x时，0fx，fx单调递增.而24 lnxft，33 lnyft，55 lnzft.由e345，得325yxz.故选 D.题型 25 指（对）数函数的图像及应用1.（2014 浙江理7）在同一直角坐标系中，函数0,logaafxxxg xx的图像可能是（）.1-1-111-1-111111OOOOyyyyxxxxA.B.C.D.2.（2015 山东理 14）已知函数01xfxab aa，的定义域和值域都是1 0，则ab.2.解析分情况讨论：当1a时，xfxab在1,0上递增又1,0fx，所以1100ff，无解；当01a时，xfxab在1,0上递减又1,0fx，所以1001ff，解得122ab，所以32ab3.（2015 陕西理 9）设()ln,0f xxab，若()pfab，()2abqf，1()()2rf af b，则下列关系式中正确的是（）AqrpBqrpCprqDprq3.解析解法一：依题意111lnlnlnln222pabababfaf br，lnln2abqabp,所以prq.故选 C.解法二：令1,9ab,ln9ln 3p,19lnln 52q，1ln1ln 9ln 32r，所以prq.故选 C.4.（2015 天津理 7）已知定义在R上的函数21x mfx（m为实数）为偶函数，记0.5log3af，2log 5bf，2cfm，则a，b，c的大小关系为（）.AabcBacbCcabDcba4.解析因为函数21x mfx为偶函数，所以0m，即21xfx，所以221loglog 330.521(log3)log21213123aff，2log 502log 52142(0)210bfcfmf，.所以cab.故选 C.题型 26 指（对）数函数的性质及应用1.(2013 天津理 7）函数0.5()2|log|1xfxx的零点个数为（）.A1B2C3D42.（2014 重庆理12）函数2loglog2fxxx的最小值为 _.3.(2016 全国丙理6)已知432a，233b，1325c，则（）.A.bacB.abcC.bcaD.cab3.A 解析由423324a，233b，得 ab，由1223332554c，则ca因此cab.故选 A.4.（2016 全国乙理8）若1ab，01c，则（）.A.ccabB.ccabbaC.loglogbaacbcD.loglogabcc4.C 解析对于选项A：由于01c，所以函数cyx在0,上单调递增.由1ab，得ccab.故 A 错误.对于选项 B：要比较cab与cba的大小，只需比较ab与cab的大小.构造函数xayb，因为1ab，所以1ab，因此函数xayb在R上单调递增.又 01c，所以caabb，即ccbaab.故 B 错误.对于选项 C:要比较logbac与logabc的大小关系，只需比较lnlncbb与lnlncaa的大小，即比较lnbb 与lnaa 的大小.构造辅助函数lnfxxx，ln1fxx.令0fx得1ex.函数fx在1,e上单调递增，因此，若1ab，得lnlnaabb，故11lnlnaabb.又 ln0c，所以lnlnlnlnccaabb，即lnlnlnlnbcacab，得loglogabbcac.故选项 C 正确.对于选项 D：比较logac与logbc的大小，只需比较lnlnca与lnlncb的大小，即比较 ln a 与 ln b的大小.又1ab，得 lnln0ab，所以11lnlnab.又 ln0c，得lnlnlnlnccab，即loglogabcc.故选项 D 不正确.综上可得.故选 C.5.（2016 上海理 22）已知aR，函数21logfxax.（1）当5a时，解不等式0fx；（2）若关于x的方程2log4250fxaxa的解集中恰有一个元素，求a的取值范围；（3）设0a，若对任意1,12t，函数fx在区间,1t t上的最大值和最小值的差不超过1，求a的取值范围.5.解析（1）由题意221log50log 1x，即151x，整理得410 xx，即410 xx.故不等式的解为104x xx或；（2）依题意221loglog425aaxax，所以14250aaxax，整理得24(5)10axax，即1410 xax，当4a时，方程的解为1x，代入式，成立；当3a时，方程的解为1x，代入式，成立；当3a且4a时，方程的解为1x或14a，若1x为方程的解，则110aax，即1a，若14xa为方程的解，则1240aax，即2a.要使得方程有且仅有一个解，则12aa,或12aa,，即12a,.综上，若原方程的解集有且只有一个元素，则a的取值范围为12a,或3a或4a.（3）当120 xx时，1211aaxx，221211loglogaaxx，所 以fx在0,上 单 调 递 减.因 此fx在,1t t上 单 调 递 减.故 只 需 满 足11fxft,，即2211loglog11aatt,，所以1121aatt,，即12111tattt t，设 1tr，则10,2r，2111232trrt trrrr.当0r时，2032rrr；当102r,时，212323rrrrr，又函数2yxx在0,2递减，所以219422rr.故112293332rr,.故a的取值范围为23a.评注第（3）问还可从二次函数的角度考查，由1121aatt,整理得2110atat对任意1,12t成立.因为0a，函数211yatat的对称轴0102ata，故函数 在区间1,12上单调递增.所以当12t时，y有最小值3142a，由31042a，得23a.故a的取值范围为2,3.
