2020年河北省秦皇岛市实验中学高三数学(理)高考模拟测试卷二.pdf
数学试卷一、选择题1.已知集合122|1,|2Mx xNx yxx，则集合 MN()A.B.(2,)C.2,)D.1,22.已知i为虚数单位，且复数z满足：(1i)23iz，则z的虚部为()A.12B.i2C.12D.523.已知抛物线2:2(0)Cxpy p的焦点 F 在直线:4lxy上，则点 F 到 C 的准线的距离为()A.2 B.4 C.8 D.16 4.如图是我国2018 年 1 月至 12 月石油进口量统计图其中同比是今年第n 个月与去年第n 个月之比，则下列说法错误的是（）A.2018 年下半年我国原油进口总量高于2018 上半年B.2018 年 12 个月中我国原油月最高进口量比月最低进口量高1152 万吨C.2018 年我国原油进口总量高于2017 年我国原油进口总量D.2018 年 1月 5 月各月与2017年同期相比较，我国原油进口量有增有减5.已知(1,2),(2,3),(1,)ABCm，若|BABCBABCuuu ruuu ruu u ruuu r，则2ACuu u r=（）A.6 B.25C.16 D.20 6.已知函数3()2(1)2f xxxfa，若()f x 为奇函数，则曲线()yf x 在点(,()a f a处的切线方程为()A.20 xyB.0yC.10160 xyD.20 xy7.函数()f x 的图象可看作是将函数2cosyx 的图象向右平移6个单位长度后，再把图象上所有点的横坐标变为原来的12倍 纵坐标不变得到的，则函数()f x 的解析式为A.()2cos 26f xxB.()2cos 23f xxC.1()2cosx26f xD.()2sin23f xx8.设函数()tan2xf x，若0.235(log 2),(log2),(2)afbfcf，则()A.abcB.bcaC.cabD.bac9.十三届全国人大二次会议于2019 年 3 月 5 日至 15 日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员（含A B,两市代表团）安排至,a b c三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A B,两市代表团必须安排在a宾馆入住，则不同的安排种数为()A6 B 12 C16 D18 10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为()A.3B.32C.6D.1211.已知坐标平面xOy 中，点12,F F 分别为双曲线222:1(0)xCyaa的左、右焦点，点M 在双曲线 C 的左支上，2MF 与双曲线 C 的一条渐近线交于点D，且 D 为2MF 的中点，点I 为2OMF的外心，若OID、三点共线，则双曲线C 的离心率为A.2B.3 C.5D.5 12.当x为实数时，()trunc x 表示不超过x的最大整数，如(3.1)3trunc.已知函数()|()|f xtrunc x(其中Rx)，函数()g x 满足()(6),(1)(1)g xgxgxgx，且0,3x时，2()|2|g xxx，则方程()()f xg x 的实根的个数为A.4 B.5 C.6 D.7 二、填空题13.若21()2nxx的展开式中第1r项为常数项，则rn_14.已知实数,x y满足4041010 xyxyy，则11yzx的最大值是 _15.我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高原理的意思是：夹在两个平行面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等如图（1），函数2sin,2,0)2f()1(1),(0,2xxxxx的图象与x轴围成一个封闭区域A(阴影部分)，将区域A(阴影部分)沿z轴的正方向上移6 个单位，得到一几何体现有一个与之等高的底面为椭圆的柱体如图（2）所示，其底面积与区域A(阴影部分)的面积相等，则此柱体的体积为_16.在ABC中，角 ABC，的对边分别是abc，sinsinsinsin,bCaAbBcC24,cb，点 D 在线段 BC 上，且2BDDC，则AD的最小值为 _三、解答题17.已知数列na中，1am且1321,(N)nnnnaanban n（1）判断数列nb是否为等比数列，并说明理由；（2）当2m时，求数列na的前 2020 项和2020S.18.如图，多面体11ABCDB C 是正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)111ABCA B C 沿平面11DB C 切除一部分所得，其中平面ABC 为原正三棱柱的底面，12BCCC，点 D 为1AA 的中点（1）求证：1B C平面1BC D；（2）求二面角1CBDC 的平面角的余弦值19.某大型超市抽查了100 天该超市的日纯利润数据，并将日纯利润数据分成以下几组（单位：万元）：4,5),5,6),6,7),7,8),8,9),9,10，统计结果如表所示：组别 4,5)5,6)6,7)7,8)8,9)9,10频数 5 20 30 30 10 5 以上述样本分布的频率估计总体分布的概率，解决下列问题；（1）从该大型超市近几年的销售记录中抽出5 天，求其中日纯利润在区间5.7)内的天数不少于2的概率；（2）该超市经理由频数分布表可以认为，该大型超市每天的纯利润Z 服从正态分布2(.1.44)N，其中近似为样本平均数x（每组数据取区间的中点值）试利用该正态分布，估计该大型超市1000 天内日纯利润在区间(3.97,8.29)内的天数（精确到个位）；该大型超市负责人根据每日的纯利润给超市员工制定了两种不同的奖励方案：方案一：直接发放奖金，日纯利润低于时每名员工发放奖金70 元，日纯利润不低于时每名员工发放奖金90 元；方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中日纯利润不低于时每位员工均有两次抽奖机会，日纯利润低于时每位员工只有一次抽奖机会；每次抽奖的奖金及对应的概率分别为金额 50 元 100元概率2313小张恰好为该大型超市的一名员工，则从数学期望的角度看，小张选择哪种奖励方案更有利？考数据：若2Z N,，则(Z)0.6827P，(2Z2)0.9545P20.已知椭圆2222:1(0)yxCabab的离心率为32，过椭圆 C 的左焦点和上顶点的直线与圆223:4O xy相切（1）求椭圆 C 的方程；（2）过点(0,2)P的直线 l 与椭圆 C 交于 AB、两点，点O 与原点 O 关于直线 l 对称，试求四边形OAO B的面积的最大值21.已知函数()ln1(f xmxxm为常数)（1）若函数()f x 恰有 1 个零点，求实数m的取值范围；（2）若不等式()xmxef xa 对正数x恒成立，求实数a的最小整数值22.在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为1cos(sinxttyt为参数，0)，以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos（1）若0，求直线 l 被圆 C 所截得的弦长；（2）设(1,0)P，且直线 l 与圆 C 交于 AB，两点，若|1PAPB，求角的大小.23.已知函数()|21|1|f xxx（1）解不等式()4f x；（2）记函数()3|1|yf xx的最小值为m，正实数,a b满足3mab，求证：341log()24a参考答案1.答案：C 解析：|0,Nx x或2x；2,)MN故选：C2.答案：A 解析：由(1i)23iz，得(23i)(1i)23i51i1i(1i)(1i)22zz的虚部为12故选：A3.答案：C 解析：因为抛物线2:2(0)C xpy p的焦点为(0,)2pF，042p，可得8p，因此点 F 到 C 的准线的距离为8；故选：C4.答案：D 解析：由图易知A，B 正确，由数量同比折线图可知，除6 月和 10 月同比减少外，其他月份同比都递增，且1 月，4 月，11月，12 月同比增长较多，故2018年我国原油进口总量高于2017 年我国原油进口总量，C 正确，由 2018 年 1 月月各月与2017 年同期相比较，我国原油进口量只增不减，故D 错误，故选：D5.答案：D 解析：(1,1),(3,3),(2,2)BABCmCAmuu u ruuu ru u u r；(4,4),(2,2)BABCmBABCCAmuu u ruu u ruu u ru uu ruu u r；又|BABCBABCu uu ruu u ruu u ruuu r；2216(4)4(2)mm；解得6m；(2,4)ACuuu r；241620ACuuu r故选：D6.答案：C 解析：函数3()2(1)2fxxxfa，若()f x 为奇函数，可得20a，所以2a，2()32(1),(1)32(1),(1)1fxxffff，函数3()2f xxx，3()32fxx，曲线()yf x 在点(,()a f a处的切线斜率为：2(2)32210,(2)4ff，曲线()yf x 在点(2,4)处的切线方程为：410(2)yx，即 10160 xy故选：C7.答案：D 解析：将函数2cosyx的图象向右平移6个单位长度后，得2cos()6yx再把图象上所有点的横坐标变为原来的12倍 纵坐标不变得到()2cos 22cos 22sin26323f xxxx故选：D8.答案：D 解析：根据题意，函数()tan2xf x，其周期为212，且在区间(,)上为增函数，又由0.2530log 2log212，则0.253(log2)(log 2)(2)fff，即 bac，故选：D9.答案：B 解析：当,a b c三家宾馆入住人数为3，1，1，则不同的安排种数为336A，当,a b c三家宾馆入住人数为2，2，1，则不同的安排种数为21313CC，当,a b c三家宾馆入住人数为2，1，2，则不同的安排种数为12323CC，即不同的安排种数为321123313212ACCCC.10.答案：A 解析：由题意可知，几何体的是列出为1 的正方体的一部分，1111ABDA B C D，外接球就是正方体的外接球，半径为：32，外接球的表面积为：234()32故选：A11.答案：C 解析：不妨设点M 在第二象限，设2(,),(,0)M m nF c，由 D 为2MF 的中点，OID、三点共线知，直线OD 垂直平分2MF，则1:ODyxa，故有namc，且1122mcna，解得212,aamncc将21 2(,)aaMcc，即2222(,)acacc代入双曲线的方程可得，2222222(2)41acaa cc，化简得225ca，即5e当 M 在第三象限时同理可得5e故选：C12.答案：C 解析：由()(6),(1)(1)g xgxgxgx，得函数()g x 的图象关于直线1x及直线3x对称，且()()(2)g xgxgx，令2tx，则()(4)g tg t，即()g x 为周期函数，且最小正周期为4对于()f x，当0,1)x时，()0f x；当1,2)x时，()1f x；当2,3)x时，()2f x；当3,4)x时，()3f x；当4,5)x时，()4f x；当 1,0)x时，()1f x；当 2,1)x时，()2f x；当 3,2)x时，()3f x；当 4,3)x时，()4f x；当 5,4)x时，()5f x；综合已知条件可在同一直角坐标系内画出函数()f x 及()g x 的图象，由图可知，函数()yf x 与函数()yg x 共有 6 个交点，即方程()()g xfx 的根的个数为6故选：C13.答案：23解析：21()2nxx的展开式中第1r项为321C()(1)2rn rrrnnx，再根据它为常数项，可得 320rn，求得23rn，故答案为：2314.答案：2 解析：作出不等式组对应的平面区域如图：11yzx的几何意义为动点到定点(1,1)D的斜率，由图象可知当动点位于A 时，直线PA 的斜率最大，解得(1,3)A此时1312111yzx，故答案为：215.答案：243解析：由题意得，阴影区域在(0,2 上为半个圆，底面积00221124Ssindcos22222xxSx圆，所以该柱体的体积为424()632故答案为：24316.答案：2 33解析：由正弦定理可得：222bcabc，2221cos22bcaAbc，又(0,)A，3A，由2BDDC，可得：2BDDCu uu ruuu r，1233ADABACuuu ruuu ruuu r，两边平方，可得：22222222144142121124ADcos(2)(2)999999999923bccbbcAcbbccbbccbu u u r，当且仅当22cb时取等号，所以可得min233AD故答案为：23317.答案：（1）1321nnaan11(1)(321)(1)3()3nnnnnbanannanb当1m时，10b，故数列nb不是等比数列；当1m，数列nb是等比数列，其首项为110bm，公比为3.（2）由（1）且当2m时有：1333nnnnban，即3nnan(1)(3)(1)nnnnan20202020(3)1(3)(12)(34)(20192020)1(3)SL202120213334043101044.解析：18.答案：（1）证明：设1BC 与1B C 交于点 E，连接DE，因为多面体11ABCDB C 是正三棱柱111ABCA B C 沿平面11DB C 切除一部分所得，12BCCC，所以四边形11BB C C 是正方形，且ACAD，因为点 D 为1AA 的中点，1111/,AACCAACC，225CDCAAD，同理2211()5DBBBADAB1DBCD，E为1B C 的中点，1B CDE，111,B CBCBCDEE，1B C平面1BC D；（1）证明：取BC 的中点 O，连接 AO，ABC为正三角形，AOBC，由正棱柱的性质可得，平面ABC平面11BCC B，且平面ABC平面1BCC BBC，AO平面11BCC B，以 O 为坐标原点，OBOEOA，分别为xyz，轴建立空间直角坐标系，则1(1,0,0),(1,2,0),(1,0,0),(0,1,3)BBCD，1(1,1,3),(1,1,3),(2,2,0)CDBDB Cu uu ruu u ruuu u r设平面 CBD 的一个法向量为(,)nx y zr则3030nBDxyzn CDxyzruuu rruuu r，取1z，得(0,3,1)nr由（1）知，平面1BC D 的一个法向量为1(2,2,0)BCuu uu r，1|23|6cos,4222n B Cuuuu rr，又因为二面角1CBDC 的平面角为锐角，所以二面角1CBDC 的平面角的余弦值为64解析：19.答案：（1）由频数分布表可知，日纯利润在区间5,7)的频率为203011002记其中日纯利润不低于5 万元且低于7 万元的天数为X，则1(5,)2XB所以所求的概率0155551113(2)1(0)(1)11622P XP XP XCC（2）1(4.555.5206.5307.5308.5109.55)6.85100 x6.85，又1.44，(3.978.29)(6.852.886.851.44)(2)PZPZPZ1()(22)()0.81862PZPZPZ故该大型超市1000 天内日纯利润在区间(3.97,8.29)的天数为 10000.8186819 易知1()()2P ZP Z对应奖励方案一：设小张每日奖金金额为Y，则 Y可能取值为70,90，其对应的概率均为12，故11()70908022E Y对于奖励方案二：设小张每日奖金金额为Q，则 Q 的所有可能的取值为50100150 200，121(50)233P Q，111227(100)2323318P Q；121122(150)2339P QC；1111(200)23318P QQ的分布列为：Q 50 100 150 200 P13718291181721()50100150200100318918E Q()()E QE YQ，从数学期望的角度看，小张选择奖励方案二更有利解析：20.答案：（1）过椭圆 C 的左焦点和上顶点的直线方程为1yxcb，即0bxcybc又该直线与圆O 相切，2232bcbcabc，又向量3,12ceba22222222213114cabbeaaaa，得24a所以椭圆 C 的方程为2214xy；（2）由点O 与原点 O 关于直线 l对称，得2OABSS四边形 OAOB，当直线 l的斜率不存在时，四边形OAO B不存在，不合题意；当直线 l的斜率存在时，设斜率为k，则直线:2lykx，设1122(,),(,)A xyB xy，联立22214ykxxy，得22(14)16120kxkx当216(43)0k，即234k时，1212221612,1414kxxx xkk从而222121212|1|(1)()4ABkxxkxxx x2224 14314kkk又点 O 到直线AB的距离221dk228 432|14OABOAO BkSSABdk四边形设243(0)kt t，则288244OAO BtSttt四边形当且仅当2t，即72k时等号成立，且满足0 所以四边形OAO B的面积的最大值为2解析：21.答案：（1）()f x 的定义域为(0,)，函数()f x 恰有 1 个零点方程()0f x仅有一个正实数解，由()0f x，得ln1xmx，设ln1()xg xx，则2ln()xgxx，令()0g x得 01x，令()0g x，得1x，()g x在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减，()g x在1x处取得唯一的极大值，即为最大值，故()g x 的最大值为(1)1g当x趋近于 0 时，ln1x趋近于，所以()g x 为负数，当x趋近于时，x的增长速度大于ln1x的增长速度，且当1x时ln10 xx，故()g x 趋近于 0，由图可知，当0m或者1m时，方程()mg x 仅有一个实数解，m的取值范围为|0m m或1m；（2）()xmxef xa，ln1xxea，设()lnxh xxe，1()xh xex又1()xh xex在(0,)上为减函数，1(1)10,()202hehe，1()xh xex存在唯一的零点01(,1)2x，此时()h x 在0(0,)x上单调递增，在0(,)x上单调递减，且0001()0 xh xex，00001,lnxexxx，由单调性知0max00001()()ln()xh xh xxexx，又01(,1)2x，故0051()22xx，()xmxef xa对任意正数x恒成立时，12a，1a，所以实数a的最小整数值为-1解析：22.答案：（1）由4cos，得24cos，所以曲线 C 的直角坐标方程为2240 xyx，即22(2)4xy当0 时，直线 l 的方程为0y，恰好经过圆C 的圆心，故直线 l 被圆 C 所截得的弦长为圆的直径，等于4；（2）将1cossinxtyt代入2240 xyx得22 cos30tt24cos120设 AB，对应的此时分别为12,tt，则12122cos,3ttt t，可知1 2t t 异号1212|2cos|1PAPBtttt，得1cos2又 0，3或3解析：23.答案：（1）2,11()|21|1|3,1212,2xxf xxxxxxx，由()4f x得，241xx或34112xx或2412xx，21x或112x或162x，26x，不等式的解集为：|26xx（2）()3|1|21|22|21(22)|3f xxxxxx，当且仅当(21)(22)xx，即112x时取等号，3,1mab，414144()5529babaababababab当且仅当4baab，即21,33ab时取等号，3341loglog 92ab解析：
