最新湖南省株洲市实验中学高三数学(理)高考模拟测试卷四.pdf
数学试卷一、选择题1.已知复数21i1iz则 z 的共轭复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2.已知22|log21,|230AxxBx xx，则ABU（）A.2,3B.2,3C.1,0D.,33.已知0.30.8112,ln 522abc则 a,b,c的大小关系为（）A.bacB.cbaC.cabD.abc4.已知数列na为等比数列，首项为13a，数列nb满足3lognnba，且2349bbb，则4a为（）A9 B27 C81 D243 5.函数sin 2ln 2xyx的图象大致是（）A.B.C.D.6.九章算术卷七盈不足中有如下问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三问人数、羊价各几何？”翻译为：”现有几个人一起买羊，若每人出五钱，还差四十五钱，若每人岀七钱，还差三钱，问人数、羊价分别是多少”为了研究该问题，设置了如图所示的程序框图，若要输出人数和羊价，则判断框中应该填（）A20kB21kC22kD23k7.已知平面向量,a br r满足cos,sin,2abrr，且2aabrrr，则向量ar与br夹角的余弦值为（）A32B32C12D128.已知平面区域120,|2200 xyDx yxyy，2,|20Dx yxy，在区域1D内随机选取一点 M，则点 M 恰好在区域2D内的概率为（）A13B49C59D239.已知函数()2sin()(0,)2f xx，满足(0)3f，将函数f(x)的图象向右平移6个单位得到函数g(x)的图象，若g(x)的图象关于直线x34x对称，则的取值可以为（）A.1 B.2 C.3 D.4 10.已知抛物线2:20Cypx p的焦点 F 到其准线的距离为4，圆22:21Mxy，过 F的直线 l 与抛物线 C 和圆 M 从上到下依次交于A,P,Q,B 四点，则4APBQ的最小值为（）A9 B 11 C13 D15 11.已知函数,11,1xexfxfxx，若方程1fxkx有两个不同实根，则实数k 的取值范围为（）A1,3eeB1,12eeC1,11,3eeUD1,11,12eeU12.已知四棱锥P-ABCD 的底面为矩形，平面PBC平面 ABCD,PEBC于 E，1EC，26AB，3BC，2PE，则四棱锥P-ABCD 外接球的表面积为（）A.36B.39C.42D.66二、填空题13.函数cosxfxex在0 x处的切线方程是_.14.已知二项式2nxx展开式中各项系数和为243，则221nxxx的展开式中含3x项的系数为 _.15.数列na通项公式为1,22sin4nnnnna为奇数,n 为偶数，若nS 为数列na的前 n 项和，则2020S=_.16.已知双曲线2222:10,0 xyCabab右焦点为 F,直线3yx 与双曲线C 交于 A,B 两点，AF、BF 的中点依次为M，N,若以线段MN 为直径的圆经过原点，则双曲线的离心率为_.三、解答题17.如图，ABC 是等边三角形，D 是 BC 边上的动点（含端点），记BAD，ADC（1）求 2coscos的最大值；（2）若1BD，1cos7，求ABD的面积18.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为边长为2的菱形,60DABo,90ADP,面ADP面ABCD,点F为棱PD的中点.1.在棱AB上是否存在一点E,使得AF P面PCE,并说明理由2.当二面角DFCB的余弦值为14时,求直线PB与平面ABCD所成的角19.有两种理财产品A 和 B，投资这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间相互独立）：产品 A：产品 B：注：p0,q0（1）若甲、乙两人分别选择了产品A,B 投资，一年后他们中至少有一人获利的概率大于34，求实数 P的取值范围；（2）若丙要将20 万元人民币投资其中一种产品，以一年后的投资收益的期望值为决策依据，则丙选择哪种产品投资较为理想.20.已知椭圆2222:10 xyCabab的左右焦点分别为12,F F，点12,A A 是椭圆 C 的左右顶点，点P是椭圆 C 上一动点，12PF F 的周长为6，且直线12,PA PA 的斜率之积为34（1）求椭圆C 的方程；（2）若 A,B 为椭圆 C 上位于 x 轴同侧的两点，且1221AF FBF F，求四边形12AF F B面积的取值范围21.已知函数211(,2xfxxexaRaxe是自然对数的底数），0 x是函数 fx 的一个极值点（1）求函数fx的单调递增区间；（2）设21222xg xemxxn，若，不等式 fxg x 恒成立，求2nm的最大值22.已知在平面直角坐标系xOy 中，圆 C 的参数方程为1cossinxy（为参数）以原点O 为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系（1）求圆 C 的普通方程及其极坐标方程；（2）设直线l 的极坐标方程为sin23，射线:6OM与圆 C 的交点为 P（异于极点），与直线l 的交点为Q，求线段PQ 的长23.已知函数224fxxx（1）解不等式34fxx；（2）若函数fx最小值为 a，且 20,0mna mn，求211mn的最小值.参考答案1.答案：B 解析：2.答案：A 解析：3.答案：B 解析：4.答案：C 解析：5.答案：A 解析：6.答案：A 解析：7.答案：C 解析：8.答案：B 解析：9.答案：B 解析：(0)3fQ,3sin2,又2Q，3，从而()2sin3f xx，()2sin()63g xx，()g xQ的图象关于直线34x对称，34632k，kZ，即7126k，kZ，令 k=1，得2，故选 B 10.答案：C 解析：11.答案：D 解析：方程1fxkx（）有两个不同实根可化为函数f x（）与函数1ykx有两个不同的交点，作函数f x（）与函数1ykx的图象，结合函数的图象求解12.答案：A 解析：13.答案：1yx解析：14.答案：30 解析：15.答案：30312021解析：16.答案：31解析：17.答案：（1）由ABC 是等边三角形，得+3=，03，故2coscos2coscos3sin33（）=，故当6，即 D 为 BC 中点时，原式取最大值3（2）由1cos7，得4 3sin7，故3 3sinsinsincoscossin3334,由正弦定理sinsinABBDADBBAD，故sin8,sin3ABBD,故11832 3sin122323ABDSAB BDBV解析：18.答案：1.在棱AB上存在点E,使得AF P面PCE,点E为棱AB的中点.理由如下:取PC的中点Q,连结EQ、FQ,由题意,FQDCP且12FQCD,AECDP且12AECD,故AEFQP且AEFQ.所以,四边形AEQF为平行四边形.所以,AFEQP,又EQ平面PEC,AF平面PEC,所以AF P平面PEC.2.由题意知ABD为正三角形,所以EDAB,亦即EDCD,又90ADP,所以PDAD,且面ADP面ABCD,面ADP面ABCDAD,所以PD面ABCD,故以D为坐标原点建立如图空间坐标系,设FDa,则由题意知(0,0,0),(0,0,),(0,2,0),(3,1,0),(0,2,),(3,1,0)DFa CBFCa CBuu u ruuu r,设平面FBC的法向量为(,)mx y zr,则由00m FCm CBuuu rruuu rr得2030yazxy,令1x,则2 33,yza,所以取2 31,3,mar,显然可取平面DFC的法向量1,0,0nr,由题意:211cos,41213m nar r,所以1a.由于PD面ABCD,所以PB在平面ABCD内的射影为BD,所以PBD为直线PB与平面ABCD所成的角,易知在Rt PBD中tan1PDPBDBD,从而45PBD,所以直线PB与平面ABCD所成的角为45o解析：19.答案：（1）记事件C 为“甲选择产品A 投资且获利”，记事件D 为“乙选择产品B 投资且获利”，记事件E 为“一年后甲、乙两人至少有一人投资获利”则12,133P CP CP Dp P DP2311134P EP CDp58p又23pq，且20,3qp5283p（2）假设丙选择A 产品投资，且记为获利金额（单位：万元），则的分布列为：投资结果概率1111106346E假设丙选择B 产品投资，且记为获利金额（单位：万元），则的分布列为：投资结果-6 概率228686144 033Epqpppp当512p时，EE，丙可在产品A 和产品B 中任选一个投资；当5012p时，EE，丙应选产品A 投资；当52123p时，EE，丙应选产品B 投资.解析：20.答案：（1）12AF F 的周长为6，226ac，即3ac，直线12,PA PA 的斜率之积为34可求得2234ba联立及222abc，解得231abc，椭圆 C 的方程为22143xy；（2）1221AF FBF F，12/AFBF，延长1AF 交椭圆 C 于点A，设1122A xyA xy（，），（，），由（1）知121010FF（，），（，），直线AA的方程为1xty ，联立221143xtyxy，得2234690tyty（）12122269,3434tyyy ytt由对称性可知，12F AF B,设1AF 与2BF的距离为d，则四边形12AF F B的面积2121122F AASAFBFdAA dS12121212SF Fyyyy22212122226912144343434ttyyy yttt令211mtm，212121313mSmmm S m（）在 1，）上单调递减，0 3S（，故四边形 AF1F2B 面积的取值范围为0 3（，解析：21.答案：（1）2xfxxex a=，0 x是函数fx 的一个极值点，00f，解得2a则21xfxxe=令0fx ，解得0 x或2x-，故函数的单调递增区间为2-,-和 0,（2）不等式f xg x（）（），可化为2xemx n，记22xxh xemxnhxem（），（），当0m时，0hx（）恒成立，则h x（）在 R 上递增，没有最小值，故不成立；当0m 时，令0hx（），解得ln2xm，当ln2xm（，）时，0hx（）；当ln2,xm（）时，0hx（），当ln2xm时，函数 h x（）取得最小值2ln22 ln20lnmhmemmn（），即 222mmln mn，则2ln 22nmmmm令220120F mm mln m mFmln mFm（）（），（），令（），则2em，当0,2em时，0F m；当,2em时，0F m，故当2em时，F m 取得最大值22eeF，所以22enm，即2nm的最大值为2e解析：22.答案：（1）由1cos1cossinsinxxyy平方相加，得：2211xy，所以圆C 的普通方程为：2211xy又cos,sinxy22cos1sin1化简得圆 C 的极坐标方程为：2cos（2）把6代入圆的极坐标方程可得：2cos36p把6代入直线l 的极坐标方程可得：sin2632q所以线段 PQ 的长23PQPQ解析：23.答案：（1）当2x时，3234xx，无解当22x时，634xx，得122x当2x时，3234xx，得2x所以不等式解集为1,2（2）224222222fxxxxxxxxx当且仅当22x时取等424x当且仅当2x时取等所以当2x时，fx 最小值为4，4a,所以 24mn所以21211211221516161mnmnmnmnnm2112352612mnnm当且仅当2121mnnm且 24mn即1,2mn时取“=”所以211mn最小值为32解析：
