最新湖南省邵阳市实验中学高三数学(理)高考模拟测试卷三.pdf
数学试卷一、选择题1.若集合0,1,2A，2|30Bx xx，则AB为()A.1,2B.0,1,2 C.0,1,2,3D.|03xx2.已知复数z 满足(2i)z12i（i 为虚数单位），则z的虚部为（）A.1B.1C.0D.i3.有下列四个命题：1:R,sin1pxx.22:N,2npnn.3:0pab的充要条件是1ab.4p：若pq是真命题，则一定是真命题.其中真命题是（）A.12,ppB.23,ppC.34,ppD.14,pp4.两正数,a b的等差中项为52，等比中项为6，且ab，则双曲线22221xyab的离心率 e 为（）A.13B.53C.53D.1335.已知甲袋中有1 个黄球和 1 个红球，乙袋中有2 个黄球和 2 个红球，现随机地从甲袋中取出一个球放入乙袋中，再从乙袋中随机地取出一个球，则从乙袋中取出的球是红球的概率是（）A.29B.12C.59D.136.设函数11()sin()3 cos()(|)222f xxx的图像关于原点对称，则的值为（）A.6B.6C.3D.37.在4(1)(21)xx的展开式中，2x项的系数为a，则0(e2)daxxx的值为（）A.e1B.e2C.2e3D.2e48.ABC的面积为S，角,A B C的对边分别,a b c，若222()Sabc，则tanC的值是（）A.43B.43C.34D.349.公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值为3.14，这就是著名的“徽率”.如图所示是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，其中表示圆内接正多边形的边数，执行此算法输出的圆周率的近似值依次为（）（参考数据：31.732,sin150.2588,sin 7.50.1305）A.3，3.1056，3.1420 B.3，3.1056，3.1320 C.3，3.1046，3.1410 D.3，3.1046，3.1330 10.过抛物线24yx的焦点作两条互相垂直的弦,AB CD，则四边形ABCD面积的最小值为（）A.8 B.16 C.32 D.64 11.如图，是某几何体的三视图，其正视图、侧视图都是边长为2 的正方形，俯视图是腰长为2 的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的面积为（）A.12B.8C.4D.1612.设点 P为函数21()22f xxax与2()3ln(0)g xaxb a的图像的公共点，以P为切点可作直线与两曲线都相切，则实数b 的最大值为（）A.232e3B.233e2C.322e3D.323e2二、填空题13.设等比数列na的前 n 项的和为nS，且满足2313,6SSS，则6a_ 14.已知实数,x y满足26002xyxyx,则目标函数zxy的最大值为 _15.已知正方形ABCD的边长为2，P为平面ABCD内一点，()()PAPBPCPDu uu ru uu ru uu ru uu r的最小值为_ 16.已知函数|ln|,0e()2ln,exxf xx x，若,a b c互不相等，且()()()f af bf c，则abc的取值范围是 _ 三、解答题17.已知等差数列na的前 n 项的和为nS，3105,100aS.1.求数列na的通项公式；2.设2(5)nnbn a，记数列nb的前 n 项和nT，求使得nTm恒成立时m的最小正整数.18.如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点.1.求证：ACSD；2.若SD平面PAC，求二面角PACS的大小；3.在 2 的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得/BE平面PAC.若存在，求SC SE的值；若不存在，试说明理由.19.在全国第五个“扶贫日”到来之际，某省开展“精准脱贫，携手同行”的主题活动，某贫困县调查基层干部走访贫困户数量.镇有基层干部60 人，镇有基层干部60 人，C镇有基层干部80人，每人走访了不少贫困户.按照分层抽样，从,A B C三镇共选40 名基层干部，统计他们走访贫困户的数量，并将走访数量分成5 组，5,15),15,25),25,35),35,45),45,55，绘制成如下频率分布直方图.1.求这 40 人中有多少人来自C镇，并估计三镇基层干部平均每人走访多少贫困户.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；2.如果把走访贫困户达到或超过25 户视为工作出色，以频率估计概率，从三镇的所有基层干部中随机选取3 人，记这3 人中工作出色的人数为X，求 X的分布列及数学期望.20.设椭圆22221(0)xyabab的离心率12e，椭圆上的点到左焦点1F的距离的最大值为31.求椭圆 C的方程；2.求椭圆 C的外切矩形ABCD的面积 S的取值范围.21.已知函数()exf xaxa（其中 e 为自然对数的底数）.1.讨论函数()fx的单调性；2.若对任意(0,2x，不等式()f xxa恒成立，求实数a 的取值范围；3.设Nn，证明：123e()()()()e 1nnnnnnnnnL.22.选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C的参数方程为2cos3sinxy（为参数），以直角坐标系的原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程是：12cossin61.求曲线 C的普通方程和直线l的直角坐标方程.2.点 P是曲线 C上的动点，求点P到直线l距离的最大值与最小值.23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数()|1|f xxx.(1)若()1f xm恒成立，求实数m的最大值M；(2)在上题成立的条件下，正数,a b满足22abM，证明：2abab.参考答案1.答案：B 解析：解不等式230 xx得03x，即|03Bxx，因为0,1,2A，所以0,1,2A.故选 B 2.答案：A 解析：因为(2i)z12i，所以12i(12i)(2i)5ii2i(2i)(2i)5z，所以虚部为1.故选 A 3.答案：A 解析：根据正弦函数的值域，可判断1:R,sin1pxx为真；当3n时，2332，所以22:N,2npnn为真；0ab时，0ab，但ab无意义，所以3:0pab的充要条件是1ab为假命题；若pq是真命题，则p 或 q 有一个为真即可，所以“4p：若pq是真命题，则p 一定是真命题”是假命题.故选 A 4.答案：D 解析：因为两正数,a b的等差中项为52，等比中项为6，所以56abab，解得32ab或23ab，因为ab，所以32ab，所以222133cabeaa.故选 D5.答案：B 解析：从甲袋中取出1 个球放入乙袋中,当取出的是黄球时,乙袋中有3 个黄球和2 个红球,则从乙袋中取出红球的概率为121255;当取出的是红球时,乙袋中有2 个黄球和3 个红球,则从乙袋中取出红球的概率为1332510.所以所求的概率为1315102.6.答案：D 解析：因为111()sin()3cos()2sin()2223f xxxx，又函数()f x关于原点对称，所以(Z)3kk，即(Z)3kk，因为|2，所以3.故选 D 7.答案：C 解析：因为444(1)(21)2(1)(1)xxxxx，4(1)x展开式的通项为14kkkTC x，所以在4(1)(21)xx的展开式中，2x项的系数为124422CC，即2a；所以2222202000(e2)d(e2)d(e)|(e2)ee3axxxxxx xx.故选 C 8.答案：B 解析：因为S为ABC的面积，所以1sin2SabC，又2222coscababC,所以222()Sabc可化为sin22cosabCababC，所以sin22cosCC，因为 C为三角形内角，所以C为钝角，又22sincos1CC，所以22(22cos)cos1CC，整理得25cos8cos30CC，解得3cos5C，所以4sin5C，因此4tan3C.故选 B 9.答案：B 解析：当12n时，112sin3032S，输出3S；当24n时，124sin15120.25883.10562S，输出3.1056S；当48n时，148sin 75240.13053.13202S，输出3.1320S.故选 B 10.答案：C 解析：显然焦点F 的坐标为(1,0)，所以可设直线AB的方程为(1)yk x，代入24yx并整理得2222(24)0k xkxk，所以12242xxk，1224|24ABxxk，同理可得2|44CDk，所以2222222211 4(1)(1)1|4(1)88(2)3222kkSABCDkkkkk故选 C.11.答案：A 解析：显然几何体是一个四棱锥，将它放到棱长为2 的正方体中，如图所示四棱锥PABCD即是该几何体，设外接球半径为R，四棱锥的外接球即是正方体的外接球显然22 3R，所以3R，所以选A.12.答案：B 解析：设00(,)P xy，由于点P为切点，则22000123ln2xaxaxb，又点 P的切线相同，则00()()fxg x，即20032axax，即20032axax，又00,0ax，0 xa，于是，2253ln(0)2baaa a，设225()3ln(0)2h xxxx x，则()2(13ln)(0)h xxxx，所以()h x在13(0,e)单调递增，在13(e,)单调递减，b 的最大值为12333(e)e2h，故选 B.13.答案：32解析：设等比数列na的公比为q，因为2313,6SSS，所以1121136aqaqaq a，解得11,2aq，所以56132aa q.故答案为32 14.答案：4 解析：由约束条件26002xyxyx作出可行域如图所示：因为目标函数zxy可化为yxz，因此 z 表示直线yxz在 y 轴截距的相反数，求z 的最大值，即是求截距的最小值，由图像可得直线yxz过点 B时截距最小，由20 xxy解得(2,2)B，所以max224z.故答案为4 15.答案：-4 解析：由题意，以A为坐标原点，AB方向为 x 轴，AD方向为 y 轴，建立平面直角坐标系，因为正方形ABCD的边长为2，所以可得(0,0),(2,0),(2,2),(0,2)ABCD，设(,)P x y，则(,),(2,),(2,2),(,2)PAxyPBxyPCxyPDxyuu u ruuu ruuu ru uu r，所以(22,2)PAPBxyuu u ruuu r，(22,42)PCPDxyu uu ruuu r，因此222()()4(1)4(2)4(1)4(1)44PAPBPCPDxyyxyuu u ruu u ruuu ruu u r，当且仅当1xy时，取最小值.故答案为-4 16.答案：21(2e,e2)e解析：画出函数|ln|,0e()2ln,exxf xx x的图象（如图所示）不妨令abc，则由已知和图象，得201eeabc，且lnln2lnabc，则21,eabbc，则221e1eabcbbbbb，因为2221e1e()10bbb在(1,e)b恒成立，所以21ebb在(1,e)单调递减，所以2211e2e2eebb17.答案：1.设等差数列na的公差为d，因为3105,100aS，所以11251045100adad,解得112ad所以数列na的通项公式为21nan.2.由 1 可知2211 11()(5)(24)(2)22nnbn annn nnn121111111111(1)()()()()232435112nnTbbbnnnnLL1 3232 2(1)(2)nnn,34nT，34m，m的最小正整数为1 解析：18.答案：1.连BD交AC于 O，由题意SOAC.在正方形ABCD中，ACBD，所以AC平面SBD，得ACSD2.由题设知，连BD，设AC交于BD于 O，由题意知SO平面ABCD.以 O为坐标原点，,OB OC OSu uu r u uu r uuu r分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系Oxyz如图.设底面边长为a，则高62SOa.则622(0,0,),(,0,0),(0,0)222SaDaCa又SD平面PAC，则平面PAC的一个法向量26(,0,)22DSaauuu r，平面SAC的一个法向量2(,0,0)2ODauuu r，则1cos,2|DS ODDS ODDSODuuu r uu u ru uu r u uu ruuu ruuu r，又二面角PACD为锐角，则二面角PACD为60；3.在棱SC上存在一点E使/BE平面PAC.由 2 知DSuuu r是平面PAC的一个法向量，且26(,0,)22DSaauuu r，26(0,)22CSaauu u r设，则226(,(1),)222BEBCCEBCtCSaatatuuu ru uu ru uu ruuu ruu u r又/BE平面PAC，所以0BE DSu uu r uuu r，则13t.即当:3:2SC SE时，BEDSuuu ruuu r而BE不在平面PAC内，故/BE平面PAC.解析：19.答案：1.因为,A B C三镇分别有基层干部60 人，60 人，80 人，共 200 人，利用分层抽样的方法选40 人，则 C镇应选取408016200（人），所以这 40 人中有 16 人来自镇因为10 0.15200.2530 0.340 0.2650 0.128.5x，所以三镇基层干部平均每人走访贫困户28.5 户2.由直方图得，从三镇的所有基层干部中随机选出1 人，其工作出色的概率为35显然 X可取0,1,2,3，且3(3,)5XB:，则328(0)()5125P X，11233236(1)()()55125P XC，22133254(2)()()55125P XC，3327(3)()5125P X所以 X的分布列为X 0 1 2 3 P 8125361255412527125所以数学期望83654279()01231251251241255E X解析：20.答案：1.由题设条件可得1,32caca，解得2,1ac2223bac，所以椭圆C的方程为22143xy2.当矩形ABCD的一组对边斜率不存在时，得矩形ABCD的面积8 3S当矩形ABCD四边斜率都存在时，不防设,AB CD所在直线斜率为k，则,BC AD斜率为1k，设直线AB的方程为ykxm，与椭圆联立22143ykxmxy可得222(43)84120kxkmxm，由222(8)4(43)(412)0kmkm，得2243mk显然直线CD的直线方程为ykxm，直线,AB CD间的距离2212222|4322111mmkdkkk，同理可求得,BA AD间的距离为2212243432111kkdkk所以四边形ABCD面积为22422122242423443122512444 12112121ABCDkkkkkSd dkkkkkk22114 124 1214142kk（等号当且仅当1k时成立）又4 128 3ABCDS，故由以上可得外切矩形面积的取值范围是83,14解析：21.答案：1.因为()exf xaxa，所以()exfxa，当0a时，()0fx，函数()f x在区间(,)上单调递增；当0a时，()0elnxfxaxa，()0elnxfxaxa所以()f x在(,ln)a上单调递减，在(ln,)a上单调递增.2.因为对任意的(0,2x，不等式()f xxa恒成立，即不等式(1)exax恒成立.即当(0,2x时，1xeax恒成立.令()1(0,2)xeg xxx，则2(1)()xxeg xx.显然当(0,1)x时，()0gx，(1,2x时，()0gx，所以()g x在(0,1)上单调递减，在(1,2上单调递增.1x时()g x取最小值e1.所以实数a 的取值范围是(,e1)3.在 1 中，令1a可知对任意实数x 都有e10 xx，即1exx（等号当且仅当0 x时成立）令1(1,2,3,)kxknnL，则1eknkn，即e()eeknknnkn故1231231e(e1)e()()()()(eeee)e(e1)e(e1)nnnnnnnnnnnnnLL解析：22.答案：1.曲线 C的参数方程为2cos3sinxy（为参数），曲线 C的普通方程为22149xy直线l的极坐标方程是：12cossin62cossin6直线l的直角坐标方程为260 xy2.点 P是曲线 C上的动点，设(2cos,3sin)P，则 P到直线l的距离：|4cos3sin6|5sin()6|4,tan3415d当sin()1时，点 P到直线l距离取最大值max5611 555d当sin()1时，点 P到直线l距离取最小值min1555d解析：23.答案：(1)法一：由已知可得12,01,0121,1x xfxxxx，所以min()1f x所以只需11m，解得111m，02m所以实数m 的最大值2M法二：()1(1)1f xxxxx所以min()1f x，所以只需11m，解得111m，02m，所以实数m 的最大值2M.(2)证明：法一：综合法222abab，1ab，1ab，当且仅当ab 时取等号，又2abab，12abab，2ababab，当且仅当ab 时取等号，由得，12abab，所以2abab法二：分析法因为0a，0b，所以要证2abab，只需证2224aba b，即证222224ababa b，22abM，所以只要证22224aba b，即证2210abab，即证2110abab，因为 210ab，所以只需证1ab，因为2222abab，所以1ab成立，所以2abab.解析：
