最新福建省莆田市实验中学高三数学(理)高考模拟测试卷二.pdf
数学试卷一、选择题1.已知复数1zi,则11zz的值等于()A.iB.iC.1D.12.设全集20,1,2,|0UAx xaxb,若,则实数a的值为()A.2 B.-2 C.4 D.-4 3.阅读下图所示的程序框图,运行相应的程序.若输入的3n,则输出的结果为()A.6 B.7 C.8 D.9 4.nS是等比数列na的前n项和,若243,SSS成等差数列,则数列na的公比q等于()A.12B.2C.2D.125.已知双曲线的离心率为3,一个焦点到一条渐近线的距离为2,则该双曲线的方程可以是()A.2214yxB.2212yxC.22124yxD.22142yx6.设,x y,满足条件24,1,22,xyxyxy且zxya(a为常数)的最小值为4,则实数a的值为()A.53B.2 C.4 D.5 7.现有,A B两个箱子,A箱装有红球和白球共6,B箱装有红球4 个、白球1 个、黄球 1 个.现甲从A箱中任取2个球,乙从B箱中任取1 个球.若取出的3 个球恰有两球颜色相同,则甲获胜,否则乙获胜.为了保证公平性,A箱中的红球个数应为()A.2 B.3 C.4 D.5 8.已知命题:sin2pyx在0,上是减函数;命题q:“=3a”是“直线6x为曲线()sincosf xxax的一条对称轴”的充要条件.则下列命题为真命题的是()A.pqB.pqC.pqD.pq9.在空间直角坐标系Oxyz中,一个四面体的顶点坐标分别是0,0,2,2,0,0,?2,1,1,0,1,1.若画该四面体三视图时,正视图以zOy平面为投影面,则得到的侧视图是()A.B.C.D.10.过抛物线2:2(0)Cypx p的焦点F且倾斜角为45o的直线交C于,A B两点,若以AB为直径的圆被x轴截得的弦长为163,则p的值为()A.8 B.8 3C.12 D.16 11.已知四面体ABCD的一条棱长为a,其余各棱长均为2 3,且所有顶点都在表面积为20的球面上,则a的值等于()A.3 3B.2 5C.3 2D.312.已知点(1,1)A,点P在曲线32()33(02)f xxxxx上,点Q在直线314yx上,M为线段PQ、的中点,则AM的最小值为()A.2 105B.102C.10D.7 105二、填空题13.已知ABC为等边三角形,BAu u u r在BCuuu r方向上的投影为2,3ADDCuuu ruu u r,则BD ACu uu r u uu r_14.52(12)()xxx展开式中x的系数为 _.15.已知函数2,()1,2(1)xaf xxx0,0,xx若函数()()g xf xx恰有两个零点,则实数a的取值范围是.16.若数列na满足11294132145nnnaaanL,且对任意的,nN存在,mN使得不等式nmaa恒成立,则m的值是 _.三、解答题17.如图,在ABC中,角,A B C的对边分别为,a b c,(sincos)abCC.1.求ABC;2.若=2A,D为ABC外一点2,1DBDC,求四边形ABDC面积的最大值.18.某职业学校有2000 名学生,校服务部为了解学生在校的月消费情况,随机调查了100 名学生,并将统计结果绘成直方图如下:1.试估计该校学生在校月消费的平均数;2.根据校服务部以往的经验,每个学生在校的月消费金额x(元)和服务部可获得利润y(元),满足关系式:20,200400,40,400800,80,8001200.xyxx根据以上抽样调查数据,将频率视为概率,回答下列问题:()对于任意一个学生,校服务部可获得的利润记为,求的分布列及数学期望.()若校服务部计划每月预留月利润的29,用于资助在校月消费低于400 元的学生,那么受资助的学生每人每月可获得多少元?19.如图,四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,/,3,4,2 3,60ADBC PAADACADC,E为线段PC上一点,且PEPCu uu ruu u r.1.求证:CDAE;2.若平面PAB平面PAD,直线AE与平面PBC所成的角的正弦值为3 38,求的值.20.已知点1,0,F点P在圆22:116Exy上,线段PF的垂直平分线交PE于点M.记点M的轨迹为曲线.过x轴上的定点,02Q mm的直线l交曲线于,A B两点.1.求曲线的方程;2.设A点关于x轴的对称点为A,证明:直线A B恒过一个定点S,且4OS OQ.21.已知函数2()(1)ln2af xxaxx.1.若1a,求函数f()x的单调区间;2.若1a,求证:3(21)()3aaf xe.22.如图,已知Ae和Be的公共弦CD与AB相交于点E,CB与Ae相切,Be半径为2,3AE.1.求弦CD的长;2.Be与线段AB相交于点F,延长CF与Ae相交于点G,求CG的长.23.在平面直角坐标系xOy 中,已知曲线6cos,:3sinxCy(为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线 C 的极坐标方程;(2)若点,A B为曲线 C 上的两点,且 OAOB,求 OAOB 的最小值.24.已知函数()21(0).f xxxa a1.当1a时,求不等式()f xx的解集;2.当12x时,不等式2()230f xtt对任意tR恒成立,求实数a的取值范围.参考答案1.答案：A 解析：2.答案：D 解析：3.答案：B 解析：4.答案：D 解析：5.答案：C 解析：6.答案：B 解析：7.答案：D 解析：8.答案：C 解析：9.答案：C 解析：10.答案：A 解析：11.答案：C 解析：12.答案：B 解析：13.答案：4 解析：14.答案：40 解析：15.答案：1(0,)4解析：16.答案：5 解析：17.答案：1.在ABC中,(sincos)abCC,sinsin(sincos)ABCC,sin()sin(sincos)BCBCC,sin(+)sin(sincos)B CBCC,sincoscossinsinsinsincosBCBCBCBC,cossinsinsinBCBC,又0,C,故sin0C,cossinBB,即tan1B.又(0,)B,4B.2.在BCD中,2,1DBDC,222=122 1 2cos54cosBCDD.又=2A,由 1 可知4ABC,ABC为等腰直角三角形,21115cos2244ABCSBCBCBCD,又1sinsin2BDCSBDDCDD,.当3=4D时,四边形ABDC的面积有最大值,最大值为524.解析：18.答案：1.学生月消费的平均数11311300500700900110020068040001000100020004000 x2.()月消费值落入区间200,400,400,800,800,1200的频率分别为0.05、0.80、0.15;因此(20)0.05,(40)0.80,(80)0.15PPP即的分布列为20 40 80 P0.05 0.80 0.15 的数学期望值()200.05400.80800.1545E()服务部的月利润为45 200090000(元)受资助学生人数为2000 0.05100每个受资助学生每月可获得2900001002009(元)解析：19.答案：1.在ADC中,4,2 3,60ADACADCo,由正弦定理得:sinsin1ADADCACDAC,090ACD即DCAC.PA平面ABCD,DCPA.又ACPAA,CD面PACAE面PAC.CDAE2.PA平面ABCD,PAAB,PAAD.BAD即为二面角BPAD的平面角.平面PAB平面PAD,090BAD.以A为原点,以,AB AD AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系如图所示,则(0,0,0),(3,0,0),(3,3,0),(0,0,3)ABCP,(3,0,3),(0,3,0)PBBCuu u ruuu r.设000(,)E xyz,由PEPCuu u ru uu r即000,33,3,3xyz,得0003,3,33xyz,0003,3,33xyz设平面PBC的一个法向量(,),nx y z则,nPB nBCu uu ruu u r,0,0,n PBn BCuuu ruuu r即330,30,xzy令3x,得(3,0,1).n设直线AE与平面PBC所成的角为,则222333sin2 39(33)n AEnAEuu u ruuu r233 38221189,13或1121.解析：20.答案：1.由题意可知,MPMF,4MEMF,MEMFEF,点M的轨迹是以点(1,0)F和(1,0)E为焦点,24a的椭圆,223bac,曲线的方程为22143xy.2.由椭圆的对称性可得,定点S必在x轴上.设直线l的方程为1122(),(,),(,)yk xmA x yB xy,直线A B与x轴的交点为(,0)S s则1111(,),(,)A xySAxsyuu u r,22(,)SBxs yuu r,由221,43(),xyyk xm得,22222(34)84120kxk mxk m,0即22(4)30mk2122221228+,34412.34k mxxkk mx xk当0k时,由,A B S三点共线,可得1221()()0 xs yxs y,即1221()()()()0k xsxmk xs xm,12122()()20 x xsmxxsm22222241282()203434k mk msmsmkk,2624034smk4=ms,即4,0Sm,0?k时,直线A B与x轴重合,过点A B.综上述,直线A B恒过一个定点A B,且44OSOQmm.解析：21.答案：1.1()(1)fxaxax2(1)1axaxx(1)(1)axxx,0 x,1a,当0a时,令()0fx,得01?x;令()0fx,得1x,故函数f()x的单调递增区间为0,1,单调递减区间为1,;当10a时,11a,令()0fx,得01?x或1xa;令()0fx,得11xa,故函数f()x的单调递增区间为0,1和1,a,单调递减区间为11,a;当0a时,10a,令()0fx,得01?x;令()0fx,得1x,故函数f()x的单调递增区间为0,1,单调递减区间为1,综上,当0?a时,函数f()x的单调递增区间为0,1,单调递减区间为1,;当10a时,函数f()x的单调递增区间为0,1和1,a,单调递减区间为11,a.2.1a,故由 1 可得函数f()x的单调递增区间为0,1,单调递减区间为1,f()x在1?x时取得极大值,并且也是最大值,即max1()12f xa又210a,1(21)()(21)12af xaa设31(21)12()aaag ae,则233(297)(1)(27)()22aaaaaag aee所以()g a的单调递增区间为71,2,单调递减区间为7,2,所以1236794()22 eeg ag,2 e3,99332 e,()3g a,又30ae3(21)()3aaf xe.解析：22.答案：1.证明:连结CA,CB与Ae相切,CCAB由圆的对称性知CDAB,由射影定理得:2()BCBE BABEBEEA22(3)BEBE,1BE;在Rt BEC中,223CEBCBE,2 3CD2.在CEF中,C3E,1EFBFBE,2CFQ,在ACE中,222 3ACECAE.设Ae与直线AB相交于,M N两点,3 12AFAEEF,2 32,2 3-2MFNF由相交弦定理得(232)2 328CFFGFMNF,4FG,426CG.解析：23.答案：(1)依题意曲线C 的普通方程为221369xycos,sinxy曲线 C 的极坐标方程为22236cos4sin(2)由椭圆的对称性,设点,A B的极坐标分别为1(,),2,2,其中0,2则12222266cos4sincos4sin22OAOB.22222663636725913sin13cos49sincos4sin 24当且仅当221sin即4,OAOB 取到最小值725.解析：24.答案：1.当1a时,()f xx化为211xxx,当12x,不等式化为220 x,解得112x;当112x,不等式化为20 x,解得102x;当1?x,不等式化为20,无解;所以()f xx解集为|10 xx.2.当12x时()21()1f xxaxxa,min11()22f xfa.2223(1)22ttt,要使当12x时2()230f xtt对任意tR恒成立,则当12x时()20fx恒成立,1202a,又由已知0a302a.解析：
