最新江苏省泰州市实验中学高三数学高考模拟测试卷二.pdf
数学试卷一、填空题1.已知集合1,2,3,2,3,4AB,则集合AB中元素的个数为_ 2.已知复数2(12)zi(i为虚数单位),则z的模为 _ 3.为了解某高中学生的身高情况,现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本,其中高一年级抽取24人,高二年级抽取26人.若高三年级共有学生600 人,则该校学生总人数为_.4.运行如图所示的伪代码,其结果为 _ 5.从集合0,1,2,3A中任意取出两个不同的元素,则这两个元素之和为奇数的概率是_ 6.若函数4()2xxaf xx为奇函数,则实数a的值为 _ 7.不等式2221xx的解集为 _ 8.若双曲线222142xyaa的离心率为3,则实数a的值为 _ 9.设nS为等差数列na的前n项和,若1357910aaaaa,228236aa,则10S的值为_ 10.函数()sin()(0,0)f xAxA的图象如图所示,则(1)(2)(2018)fffL的值为_ 11.已知正实数,m n满足3mn,则2211mnmn的最小值为 _ 12.已知圆22:(2)2Cxy,直线:(2)lyk x与x轴交于点A,过l上一点P作圆C的切线,切点为T,若2PAPT,则实数k的取值范围是 _ 13.如图,在梯形ABCD中,ABDCP,且4,2,3ABADBAD,E为BC的中点,若9AE DBu uu r uuu r,则对角线AC的长为 _ 14.若关于x的不等式3230 xxaxb对任意的实数1,3x及任意的实数2,4b恒成立,则实数a的取值范围是_ 二、解答题15.已知在ABC中,角,A B C所对的边分别为,a b c.若16cos,sin33AC.1.求tanB2.若227ab,求c的值16.如图,在四棱锥PABCD中1.若AD平面PAB,PBPD,求证:平面PBD平面PAD2.若ADBCP,2ADBC,E为PA的中点,求证:BE P平面PCD17.如图(1)是一个仿古的首饰盒,其横截面是由一个半径为r分米的半圆,及矩形ABCD组成,其中AD长为a分米,如图(2)为了美观,要求2rar.已知该首饰盒的长为4r分米,容积为4立方分米(不计厚度),假设该首饰盒的制作费用只与其表面积有关,下半部分的制作费用为每平方分米1百元,上半部分制作费用为每平方分米2百元,设该首饰盒的制作费用为y百元1.写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域2.当r为何值时,该首饰盒的制作费用最低?18.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆22221(0)xyabab的左、右顶点分别为12,AA,上顶点为(0,1)B,且椭圆的离心率为32.1.求椭圆的标准方程2.若点P是椭圆上位于第一象限的任一点,直线12,A B A P交于点Q,直线BP与x轴交于点R,记直线2,A Q RQ的斜率分别为12,k k.求证:212kk为定值19.已知无穷数列na满足12nnaa,nS为其前n项和.1.若12a,求4S2.若10a,且123,a aa成等比数列,求1a的值;3.数列na是否能为等差数列?若能,求出满足条件的1a;若不能,说明理由20.已知函数()ln,f xxaxa aR1.若1a,解关于x的方程()0f x;2.求函数f()x在1,e上的最大值;3.若存在m,对任意的1,xm恒有2()(1)f xx,试确定a的所有可能值21.如图,四边形ABCD内接于O,ABAD过A点的切线交CB的延长线于E点。求证:2ABBE CD.22.已知矩阵12aAb的一个特征值为2,其对应的特征向量为12a,求矩阵A的逆矩阵23.选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,圆C的极坐标方程为242 sin104pp,已知31,2P,Q为圆C上一点,求线段PQ、长度的最小值24.已知x,y,z均为正数,求证:111xyzyzzxxyxyz.25.已知某校有歌唱和舞蹈两个兴趣小组,其中歌唱组有4 名男生,1 名女生,舞蹈组有2 名男生,2名女生,学校计划从两兴趣小组中各选2 名同学参加演出.1.求选出的4 名同学中至多有2名女生的选派方法数;2.记X为选出的4名同学中女生的人数,求X的分布列和数学期望26.已知数列na满足11a,当2n时,21111nnnaaa1.用数学归纳法证明:1tan2nna2.求证:122(1)2(1)(1)(1)0kknnnnnnnnnnCaCakCanCaLL参考答案1.答案：4 解析：2.答案：5 解析：3.答案：1200 解析：设该校共有学生n人，则6001001002426n，解得1200n4.答案：45 解析：5.答案：23解析：6.答案：-1 解析：7.答案：(-1,2)解析：8.答案：1 解析：9.答案：552解析：10.答案：22解析：11.答案：3 解析：12.答案：3 7 3 7,77解析：13.答案：2 3解析：14.答案：,2解析：15.答案：1.在ABC中,由1cos3A,得22122sin1cos133AA所以sinsinCA,所以CA,所以C为锐角,于是2263cos1sin133CC所以sinsintan22,tan2coscosACACAC所以tantan2 22tantan()21tan12 22ACBACAtamC2.由sinsinabAB可得22sin2 33sin363aAbB,又227ab,解得23ab,所以2223274 333cababcosC,所以3c.解析：16.答案：1.因为AD平面PAB,PB平面PAB,所以ADPB,又因为PBPD,且,ADPDD AD PD平面PAD,所以PB平面PAD,又因为PB平面PBD,所以平面PBD平面PAD2.取PD的中点F,连结EF,因为,E F分别是PA,PD的中点,所以EFADP,且2ADEF,又因为四边形ABCD为直角梯形且ADBCP,2ADBC,所以EFBCP且EFBC,所以四边形EFCB是平行四边形,所以BECFP,又CF平面PCD,BE平面PCD,所以BE P平面PCD解析：17.答案：1.由题意可知:232144(2)282rrarrar,所以332242284rrarr又因为2rar,得332284r所以2224(22)42(4)12810yrararrrrarrr2222128104rrrrr26(87)rr定义域为3322,842.令26()(87)f rrr,所以26()(16 14)frrr,令()0fr,即26(1614)rr,解之得:3387r,当3387r时()0fr,函数()yf r为增函数;当3387r时()0fr,函数()yf r为减函数又因为332284r,所以函数()yf r在3322,84上为增函数,所以当328r时,首饰盒制作费用最低.答:当328r时,该首饰盒的制作费用最低解析：18.答案：1.因为椭圆的上顶点为(0,1)B,离心率为32,所以1,3,2bca又222abc,得224,1ab,所以椭圆的标准方程是2214xy2.根据题意,可得直线1:12xA By,直线21:(2)A Qyk x,由112(2)xyykx,解得11112(21)4(,)2121kkQkk由122(2)44ykxxy得22214(2)4xkx,化简得2222111(41)161640kxk xk,因为2(2,0)A,所以2121164241Pkxk,所以21212(41)41Pkxk,将21212(41)41Pkxk代入直线方程得:121441Pkyk,所以21122112(41)4(,)4141kkPkk又因为(0,1)B,所以1211211214141212(41)2(21)041BPkkkkkkk,所以直线1121:12(21)kBPyxk,令0y得,112(21)(,0)21kRk于是1112111140211=2(21)2(21)242121RQkkkkkkkkk,所以1211112=2()242kkkk,为定值解析：19.答案：1.由12a及12nnaa得,20a,所以32a,40a,所以41234=0Saaaa2.因为10a,所以21122aaa,321222aaa,当102a时,3112(2)aaa,所以2211(2)aa,得1=1a;当12a时,3112(2)4aaa,所以2111(4)(2)aaa,得1=22a(舍)或1=22a;综合可知,1=1a或1=22a3.假设数列na是等差数列,则有212aa,3122|aa,且2132aaa得111222()aaa当12a时,由*得10a,与12a矛盾;当102a时,由*得11a,从而*1()nanN,此时数列na为等差数列;当10a时,可得公差2d,因此存在2m,使得12(1)2maam,这与120mmmmdaaaa矛盾.综合可知,当且仅当11a时,数列na为等差数列解析：20.答案：1.当1a时,()ln1f xxx,显然(1)0f,所以1?x是方程()0f x的一个根又因为11()1xfxxx,且当01?x时,()0fx,当1x时,()0fx,所以f()x在0,1上单调递增,在1,上单调递减,从而max()(1)0f xf,所以1?x是方程()0fx的唯一根2.因为11()(0)axfxaxxx,当0a时,恒有()0fx,所以f()x在1,e上单调递增,所以max()()1fxf eaae;当0a时,当10 xa时,()0fx,当1xa时,()0fx,所以f()x在10,a上单调递增,在1,a上单调递减,若1ea,即10ae,max()()1f xf eaae;若11ea,即11ae,max11()ln11lnf xfaaaaa;若101a,即1a,max()(1)0f xf.综上所述,f()x在1,e上的最大值为max11,1()1ln,11,1aae aef xaaaea3.因为对任意的1,xm恒有2()(1)f xx,所以22(1)ln(1)xxaxax,(i)设2()(1)lng xxxaxa,则11()2(1)22gxxaxaxx,显然()g x在1,单调递增,所以()(1)1gxga,当1a时,恒有(1)0g,所以()0gx在1,恒成立,所以()g x在1,单调递增,所以()(1)0g xg,所以1a符合题意;当01a时,有122(1)(1)0,()20aggaaa,所以111,xa,使得1()0g x,从而当11xx时,()0gx,即()g x在1(1,)x上单调递减,所以()(1)0g xg,不符合题意;当0a时,2221()0 xxgxax在131,2恒成立,所以()g x在131,2单调递减,所以()(1)0g xg,不符合题意.综上,()0g x恒成立时,1a(ii)设2()(1)lnh xxxaxa,则1()22h xxax,()h x在(1,)单调递增,所以()(1)1h xha,当1a时,有1(1)0,()2 0hh aaa,所以2(1,)xa,使得2()0h x,从而当21xx时,()0h x,即()h x在2(1,)x上单调递减,所以()(1)0h xh,不符合题意;当1a时,有(1)0h,所以()(1)0h xh在(1,)恒成立,所以()h x在(1,)单调递增,所以()(1)0h xh恒成立,所以1a符合题意.综合(i)、(ii)可知,1a.解析：21.答案：链接AC,因为EA切圆O于A,EABACB,ABAD,ACDACB,ABAD.EABACD.又四边形ABCD内接于 O,所以ABED.ABECDA。ABBECDDA,即AB DABE CD2ABBE CD解析：22.答案：由A得:1112222ab12244ab,320ab设1xyAst,则1310120102xyA Ast,3122030221xssytt103412xsyt1314102A解析：23.答案：以极点为原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系,圆C的直角坐标方程为224410 xyxy,即22(2)(2)9xy,所以圆心C的坐标为(2,2)C,点P的直角坐标为(0,1)P,所以线段PQ、长度的最小值为3133PC解析：24.答案：证明x,y,z都是正数,所以12yyyxyzzxzxyz,同理可得2yzzxxyx,2zxxyyzy,当且仅当xyz时,以上三式等号都成立.将上述三个不等式两边分别相加,并除以2,得111xyzyzzxxyxyz.解析：25.答案：1.由题意知,所有的选派方法共有2254=60CC种,其中有3名女生的选派方法共有112412=4CCC种,所以选出的4名同学中至多有2名女生的选派方法数为60456种.2.X的可能取值为0,1,2,32242225461(0)6010C CP XC C.21221141242222544247(1)6015C C CC C CP XC C,1112241242225416611(2)6030C C CC CP XC C112412225441(3)6015C C CP XC C,所以X的分布列为X0123P1107151130115所以171117()0123101530155E X解析：26.答案：1.将11a代入212111a aa得221a,当1n时,1tan14a成立.假设当(,1)nk kNk时成立,即1tan2kka,则当1nk时,221112111tan11cos1122tan2tansin22kkkkkkkkaaa,这就说明,当1nk时结论也成立.综上所述,1tan2nna.2.因为11!kkknnnAkCknCk,所以111(1)(1)(1)kkkknnnnnkCaanCa,因此1221(1)2(1)(1)(1)(1)kknnnnnnnnnnnnnCaCakCanCaanaLL.由(1)知,1tan0,12nna,所以1(1)0nnnana,得证解析：
