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数学试卷一、选择题1.设全集UR,集合|10Ax x,集合2|60Bx xx则下图中阴影部分表示的集合为()A.|3x xB.|31xxC.|2x xD.|21xx2.设复数z满足12zi(其中i为虚数单位),则下列说法正确的是()A.2zB.复数z的虚部是iC.1ziD.复数z在复平面内所对应的点在第一象限3.已知na是公差为2的等差数列,nS为数列na的前n项和,若515S,则5a()A.3B.5C.7D.94.某商场举行有奖促销活动,抽奖规则如下:箱子中有编号为1,2,3,4,5的五个形状、大小完全相同的小球,从中任取两球,若摸出的两球号码的乘积为奇数则中奖;否则不中奖则中奖的概率为()A.110 B.15 C.310 D.255.已知变量,x y满足约束条件21 0,1,50,xxxxy则目标函数2zxy的最小值为()A.3B.6C.7D.86.已知底面是直角三角形的直棱柱的正视图、俯视图如下图所示,则该棱柱5 的左视图的面积为()A.18 6B.18 3C.18 2D.27227.设12,FF分别为双曲线222210,0 xyabab的左、右焦点,12,AA为双曲线的左右顶点,其中1212,3,F FA A,若双曲线的顶点到渐近线的距离为2,则双曲线的标准方程为()A.22136xyB.22163xyC.2212yxD.2212xy8.执行如图所示的程序框图,则该程序框图的输出结果是()A.3B.12C.13D.29.如图,半径为1的圆O中,A B为直径的两个端点,点P在圆上运动,设BOPx,将动点P到,A B两点的距离之和表示为x的函数()f x,则()yf x在0,2上的图象大致为()A.B.C.D.10.已知抛物线2:4Cxy,过抛物线C上两点,A B分别作抛物线的两条切线,PA PB P为两切线的交点O为坐标原点若,0PA PBuu u r uu u r,则直线OA与OB的斜率之积为()A.14B.3C.18D.411.已知定义在R上的函数()f x,当1x时,1n,0,21,10,()x xxxf x且(1)f x为奇函数,若方程()Rf xkxk k的根为12,nx xxL,则12xxxL的所有的取值为()A.6或4或2B.7或5或3C.8或6或4或2D.9或7或5或3二、填空题12.已知角a的终边经过点,2mm,其中0m,则sincosaa等于()A.55B.55C.35D.3513.已知12,e eu r u u r是互相垂直的单位向量,向量123aeeu ru u rr,12beeu ru u rr,则a brr.14.2018 年 4 月 4 日,中国诗词大会第三季总决赛如期举行,依据规则,本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军,某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现,结合自己的判断,对本场比赛的冠军进行了如下猜测:爸爸:冠军是甲或丙;妈妈:冠军一定不是乙和丙;孩子:冠军是丁或戊.比赛结束后发现:三人中只有一个人的猜测是对的,那么冠军是 _.15.已知x表示不超过2.32,1.52的最大整数,例如:2.32,1.52.在数列na中,1,nagnnN,记nS为数列na的前n项和,则2018S.16.已知点,P A B C均在表面积为81的球面上,其中PA平面ABC,30,=3BACACABo,则三棱锥PABC的体积的最大值为.三、解答题17.在ABC中,2ACBC,2 3,ABAMMCuuuu ruuu u r.1.求BM的长;2.设D是平面ABC内一动点,且满足23BDM,求12BDMD的取值范围.18.如图,在以,A B C D E F为顶点的五面体中,底面ABCD是矩形,EFBC.1.证明:EF P平面ABCD;2.在中国古代数学经典著作九章算术中,称图中所示的五面体ABCDEF为“刍甍”(ch m ng),书中将刍甍ABCDEF的体积求法表述为:术曰:倍下袤,上袤从之,以广乘之,又以高乘之,六而一.其意思是:若刍甍ABCDEF的“下袤”BC的长为a,“上袤”EF的长为b,“广”AB的长为c,“高”即“点F到平面ABCD的距离”为h,则刍甍ABCDEF的体积V的计算公式为:126Vab ch,证明该体积公式.19.近期,济南公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动,活动设置了一段时间的推广期,由于推广期内优惠力度较大,吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次,用x表示活动推出的天数,y表示每天使用扫码支付的人次(单位:十人次),统计数据如表1所示:表 1:x1 2 3 4 5 6 7 y6 11 21 34 66 10 196 根据以上数据,绘制了散点图.1.根据散点图判断,在推广期内,yabx与xc d(,c d均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由);2.根据 1 的判断结果及表1中的数据,建立y关于x的回归方程,并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次;3.推广期结束后,车队对乘客的支付方式进行统计,结果如下表 2:支付方式现金乘车卡扫码比例10%60%30%车队为缓解周边居民出行压力,以80万元的单价购进了一批新车,根据以往的经验可知,每辆车每个月的运营成本约为0.66万元.已知该线路公交车票价为2元,使用现金支付的乘客无优惠,使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠,扫码支付的乘客随机优惠,根据统计结果得知,使用扫码支付的乘客中有16的概率享受7折优惠,有13的概率享受8折优惠,有12的概率享受9折优惠.预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车,根据给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,在不考虑其它因素的条件下,按照上述收费标准,假设这批车需要Nnn n年才能开始盈利,求n的值.参考数据:yv71iiix y71iiix v0.5410661.54271150.123.47其中其中7111,7iiiigy参考公式:对于一组数据22,iinnuuuL,其回归直线?+?au的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:1221,?niiiniiunuunu?au.20.如下图已知离心率为22的椭圆2222:10 xyCabab经过点2,0A,斜率为0k k的直线l交椭圆于,A B两点,交y轴于点E,点P为线段AB的中点.1.求椭圆C的方程;2.若点E关于x轴的对称点为H,过点E且与OP垂直的直线交直线AH于点M求MAP面积的最大值 .21.已知函数2()1xf xxeax,1.讨论()f x单调性;2.当1a时,函数()()xg xfxxex的最大值为m,求不超过m的最大整数 .22.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为2,1,ytxt(t为参数),以坐标原点为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为2221sin直线l与曲线C交于,A B两点1.求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;2.已知点P的极坐标为2,24,求PAPB的值.23.已知函数()|1|f xx.1.解不等式()259f xfxx;2.若0,0ab,且142ab,证明:9()()2f xaf xb,并求9()()2fxaf xb时,a b的值.参考答案1.答案：B 解析：2.答案：D 解析：3.答案：C 解析：4.答案：C 解析：5.答案：B 解析：6.答案：C 解析：7.答案：A 解析：8.答案：B 解析：9.答案：A 解析：10.答案：A 解析：11.答案：D 解析：12.答案：B 解析：13.答案：2 解析：14.答案：丙解析：15.答案：4947解析：16.答案：818解析：17.答案：1.在ABC中,222ABACBC2cosAC BCC.代入数据得:1cos2C.12AMMCuuuu ruu u u r,112CMMAAC.在CBM中,由余弦定理知:222BMCMCB2cosCM CBC代入数据得:7BM.2.设BDM,则,0,33DMB.在BDM中,由余弦定理知:2 7=2sin3sinsin33BDMDBM.2 7sin33BD2 7,sin3MD,12 7sin23BDMD7sin3373 cossinsin73cos又0,3,1cos,12,12BDMD的取值范围为7,72.解析：18.答案：1.证明:ABCD是矩形,BCADP,又AD平面ADEF,BC平面ADEFBC P平面ADEF,又BC平面BCEF,平面ADEF平面BCEFEFBCEFP又BC平面ABCD,EF平面ABCD,EF P平面ABCD.2.解:设,G H分别是棱,BC AD上的点,且满足GCHDEF,链接,FG FH GH.由第 1 问的证明知,GCHDEFPP,所以四边形GCEF和GCDH为平行四边形.,GFCE GHCDPP,又CDCEC,Q平面GHFCDEP,Q多面体CDEGHF为三棱柱.因此,刍甍ABCDEF可别分割成四棱锥FABGH和三棱柱CDEGHF.由题意知,矩形ABGH中,BGBCCGBC,EFab ABcQ矩形ABGH的面积ABGHSab c,又四棱锥FABGH的高,即“点F到平面ABCD的距离”为h,Q四棱锥FABGH的体积1133FABGHABGHVShab ch;三棱柱CDEGHF的体积可以看成是以矩形GCDH为底,以点F到平面ABCD的距离h为高的四棱柱体积的一半.又矩形GCDH的面积ABGHSbcQ三棱柱CDEGHF的体积1122CDEGHFGCDHVShbch刍甍ABCDEF的体积:FABGHCDEGHFVVV1132ab chbchch12326abbab ch.Q刍甍ABCDEF体积公式得证.解析：19.答案：1.根据散点图判断,xyc d适宜作为扫码支付的人数y关于活动推出天数x的回归方程类型;2.xyc d,两边同时取常用对数得:11xgyg c d11gcgd x;设1,gyv11vgcgd x4,1.55,xv721140iiX,7172217?17iiiiix vxvgdxx250.1274 1.5470.251407428,把样本中心点4,1.54代入11vgcgd x,得:4?10.5gd,0.540 5?.2vx,10.540.?25gyx,y关于x的回归方程式:0.54 0.250.540.540.541010103.47 10?xxxy;把8x代入上式:0.54 0.25 81?0y2.5420.54101010347;活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470;3.记一名乘客乘车支付的费用为Z,则Z的取值可能为:2,1.8,1.6,1.4;20.1P Z;11.80.30.152P Z;1.6P Z10.60.30.73;11.40.30.056P Z所以,一名乘客一次乘车的平均费用为:2 0.1 1.8 0.15 1.60.7 1.4 0.051.66(元)由题意可知:1.66 1 12 n0.66 12800n203n,所以,n取7;估计这批车大概需要7年才能开始盈利.解析：20.答案：1.解:1 由已知得:222224012,2ababccea解得2,2ab,椭圆C的方程为:22142xy2.椭圆C的左顶点2,0A,设l的方程:2yk x),则0,2Ek,0,2Hk由222142,yk xxy得:2222218840kxk xk.422644 218416kkk设11,A x y2200,B xyP xy.2122821kxxk,21228421kx xk.则01212xxx20024,221kyk xk2224222121kkkkk00OPykx22142kkk,直线EM的斜率为:12EMOPkkk,所以直线EM的方程为22ykxk,即21yk x.直线AH的方程式为:2yk x所以点42,33Mk点42,33Mk到直线:20lkxyk的距离2422331kkkdk2431kk2121ABkxx22121214kxxx x224 121kk,2212 1221kAPABkMAP的面积2211 2 122 21kSAP dk224433211kkkk所以44233132 22Skk,当22k时取等号所以MAP面积的最大值为23解析：21.答案：1.()xf xxe22xaxx ea,当0a时,0 x时,()0,()fxf x单调递减;,0 x时,()0,()fxf x单调递增;当102a时,1n2xa时,()0,()fxf x单调递增;1n2,0 xa时,()0,()fxf x单调递减;0,x时,()0,()fxf x单调递增;当12a时,x时,()0,fx()f x单调递增;当12a时,0 x时,()0,()fxf x单调递增;0,1n2xa时,()0,()fxf x单调递减;1n2,xa时,()0,()fxf x单调递增;综上,当0a时,()f x在,0上单调递减,0,上单调递增;当102a时,()f x在,1n2a上单调递增,在1n2,0a上单调递减,在0,上单调递增:当12a时,()f x在R上单调递增;当12a时,()f x在,0上单调递增,在0,1n2a上单调递减,在1n2,a上单调递增;2.2xg xexx,21xgxex,2xgxe当0,1n2x时,0gx,gx单调递增;1n2,x时,0gx,gx单调递减;00g,130ge,32342ge3160e,所以,存在唯一的031,2x,使00gx,即0021xex所以,当00(0,)xx时,0gx,g x单调递增;0(,)xx时,0gx,g x单调递减;0mxog xe200 xx200021xxx2200015124xxx又031,2x,所以,1m1,4.所以,不超过m的最大整数为1.解析：22.答案：1.解:l的普通方程为:10 xy;又222sin2,2222xyy即曲线C的直角坐标方程为:2212xy2.1 1,2 2P在直线l上,直线l的参数方程为12221222xtyt(t为参数),代入曲线C的直角坐标方程得21222t21222022t,即23250224tt,PA PB121 256ttt t.解析：23.答案：1.()(25)f xfx1249xxx当2?x时,不等式为4123xx,3x;当21x时,不等式为59,不成立;当1x时,不等式为263xx,3x,综上所述,不等式的解集为,33,;2.()()f xaf xb11xaxb11xaxbab,ababab1252222baabab5292222baab当且仅当22baab,即2ba时“”成立;由12122abba可得:3,32ab.解析：