2019-2020学年北京市延庆区高二下学期期末数学试卷(解析版).pdf

2019-2020 学年北京市延庆区高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共10 小题）.1设全集UR，集合 Ax|x1，Bx|x2，则集合（?UA）B（）A（，+）B1，+）C1，2）D（，1）2，+）2焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为3 的抛物线的标准方程是（）Ay212xBy23xCx26yDy26x3已知向量（t，1），（2，1）若，则|的值为（）ABCD4设，则（）AcbaBcabCabcDba c5在下列函数中，定义域为实数集的奇函数为（）Ayx3BycosxCytan xDyex6圆 x2+y2+4x2y+20 截 x 轴所得弦的长度等于（）ABCD27已知两条不同的直线l，m 和两个不同的平面，下列四个命题中错误的为（）A若 l ，l，则 B若 ，m，则 mC若 m，l且 l，则 lmD若 ，m，则 m8已知函数f（x）sinx（0），则“f（x）在上单调递减”是“34”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件9将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象的函数解析式为（）ABCD10已知函数f（x）的定义域为R，且满足下列三个条件：对任意的x1，x2 5，10，且 x1x2，都有；f（x+10）f（x）；f（x+5）是偶函数；若 af（2020），bf（3），cf（18），则 a，b，c 的大小关系正确的是（）AabcBbacCacbDcb a二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分.11已知复数z，则|z|12双曲线M：1（a 0，b0）的离心率为，则其渐近线方程为13数列 an中，a13，an+12an，n N*若其前k 项和为 93，则 k14在 ABC 中，AB4，AC5，BC6，则 AC 边上的高等于15已知函数f（x）e|x|，g（x）kx：函数 f（x）的单调递减区间为（，0）；若函数 F（x）f（x）g（x）有且只有一个零点，则k 1；若 k（1，e）（e，+），则?b R，使得函数f（x）b0 恰有 2 个零点 x1，x2，g（x）b0 恰有一个零点x3，且 x1x2x3，x1+x2+x31其中，所有正确结论的序号是三、解答题：本大题共6 小题，共85 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16已知 an是公差为d 的无穷等差数列，其前n 项和为 Sn又 d 4，且 S540，是否存在大于1 的正整数 k，使得 SkS1？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由17已知函数（）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（）若当时，关于x 的不等式 f（x）m 有解，求实数m 的取值范围18在天猫进行6.18 大促期间，某店铺统计了当日所有消费者的消费金额（单位：元），如图所示：（）将当日的消费金额超过2000 元的消费者称为“消费达人”，现从所有“消费达人”中随机抽取3 人，求至少有1 位消费者，当日的消费金额超过2500 元的概率；（）该店铺针对这些消费者举办消费返利活动，预设有如下两种方案：方案 1：按分层抽样从消费金额在不超过1000 元，超过 1000 元且不超过2000 元，2000元以上的消费者中总共抽取25 位“幸运之星”给予奖励金，每人分别为100 元、200 元和 300 元方案 2：每位会员均可参加线上翻牌游戏，每轮游戏规则如下：有3 张牌，背面都是相同的喜羊羊头像，正面有1 张笑脸、2 张哭脸，将3 张牌洗匀后背面朝上摆放，每次只能翻一张且每翻一次均重新洗牌，共翻三次 每翻到一次笑脸可得30 元奖励金 如果消费金额不超过1000 元的消费者均可参加1 轮翻牌游戏；超过 1000 元且不超过2000 元的消费者均可参加2 轮翻牌游戏；2000 元以上的消费者均可参加3 轮翻牌游戏（每次、每轮翻牌的结果相互独立）以方案 2的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由19如图，在四棱锥PABCD 中，PA平面 ABCD，PAAB2，BCCD1，PC 3，E 为线段 PB 上一点（E 不是端点），_从 CDBC；CD平面PAB；这两个条件中选一个，补充在上面问题中，并完成解答；（）求证：四边形ABCD 是直角梯形；（）求直线PB 与平面 PCD 所成角的正弦值；（）是否存在点E，使得直线AE平面 PCD，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由20已知函数（）求函数f（x）的单调区间；（）求证：当x（，0）时，；（）当x0 时，若曲线yf（x）在曲线y ax2+4ax1 的下方，求实数a 的取值范围21已知椭圆的短轴长为2，离心率为，A1、A2分别是椭圆长轴的左右两个端点，P 是椭圆上异于点A1、A2的点（）求出椭圆C 的标准方程；（）设点Q 满足：QA1 PA1，QA2 PA2求 PA1A2与 QA1A2面积的比值参考答案一、选择题：本大题共10 小题，每小题4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1设全集UR，集合 Ax|x1，Bx|x2，则集合（?UA）B（）A（，+）B1，+）C1，2）D（，1）2，+）【分析】先求出?UA，由此能求出集合（?UA）B解：全集UR，集合 Ax|x1，Bx|x2，?UAx|x1，集合（?UA）B（，+）故选：A2焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为3 的抛物线的标准方程是（）Ay212xBy23xCx26yDy26x【分析】利用抛物线的性质，求出P，然后求解抛物线方程即可解：焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为3 的抛物线，可得p3，所以抛物线方程为：y26x故选：D3已知向量（t，1），（2，1）若，则|的值为（）ABCD【分析】根据平面向量的数量积运算列方程求出t 的值，再求|的值解：向量（t，1），（2，1），若，则?0，即 2t+1 0，解得 t；所以（，1），所以|故选：C4设，则（）AcbaBcabCabcDba c【分析】可以得出，从而可得出a，b，c的大小关系解：，lg0.2lg10，c a b故选：B5在下列函数中，定义域为实数集的奇函数为（）Ayx3BycosxCytan xDyex【分析】结合基本初等函数的性质及奇偶性的定义即可判断解：根据幂函数的性质可知，yx3为 R 上的奇函数，符合题意；ycosx 为 R 上偶函数，不符合题意；ytan x 的定义域不是R，不符合题意；yex不是奇函数，不符合题意故选：A6圆 x2+y2+4x2y+20 截 x 轴所得弦的长度等于（）ABCD2【分析】首先令y0，整理得两根和与两根积，进一步求出弦长解：令 y0，则圆的方程转换为x2+4x+2 0，所以 x1+x2 4，x1x22，所以 AB|x1x2|2故选：A7已知两条不同的直线l，m 和两个不同的平面，下列四个命题中错误的为（）A若 l ，l，则 B若 ，m，则 mC若 m，l且 l，则 lmD若 ，m，则 m【分析】根据线面垂直的性质及判定定理，线面平行性质及判定定理，逐一进行判定即可解：对于A，若 l ，l，则 ，正确对于 B，若 ，m，则 m，正确对于 C，若 m，l且 l，则 lm，正确对于 D，若 ，m，则 m或 m?，错误故选：D8已知函数f（x）sinx（0），则“f（x）在上单调递减”是“34”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】先根据正弦函数的性质可得34.5，即可判断出关系解：函数f（x）sinx（0），可得其单调递减区间为：+2k x+2k，k N*取 k0，可得x，即x，f（x）在上单调递减，解得 34.5，故“f（x）在上单调递减”是“3 4”的必要而不充分条件，故选：B9将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象的函数解析式为（）ABCD【分析】由题意利用函数yAsin（x+）的图象变换规律，诱导公式，得出结论解：将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象的函数解析式为y cos（3x+）sin（3x+），故选：D10已知函数f（x）的定义域为R，且满足下列三个条件：对任意的x1，x2 5，10，且 x1x2，都有；f（x+10）f（x）；f（x+5）是偶函数；若 af（2020），bf（3），cf（18），则 a，b，c 的大小关系正确的是（）AabcBbacCacbDcb a【分析】由 可得函数f（x）在 5，10上单调递减，由 可得函数的周期T10，由 由 f（x+5）可得函数的图象关于x5 对称，从而可比较大小解：因为对于对任意的x1，x2 5，10，且 x1x2，都有，即函数 f（x）在 5，10上单调递减，由 f（x+10）f（x）可得函数的周期T10，由 f（x+5）是偶函数可得函数的图象关于x5 对称，所以af（2020）f（0）f（10），bf（3）f（7），c f（18）f（2）f（8），所以 f（10）f（8）f（7），则 ac b故选：C二、填空题（共5 小题）.11已知复数z，则|z|2【分析】由已知先结合复数的运算进行化简，然后根据模长公式即可求解解：复数z 2 4i，故|z|2故答案为：212双曲线 M：1（a0，b0）的离心率为，则其渐近线方程为y x【分析】由双曲线1（a0，b0）的离心率为，可以求出a，b，从而求出双曲线的渐近线方程解：双曲线1（a0，b0）的离心率为e，1+2?1双曲线1 的渐近线是yx x答案：y x13数列 an中，a13，an+12an，n N*若其前k 项和为 93，则 k5【分析】由已知结合等比数列的定义及求和公式即可直接求解解：由题意可知，数列an是以 3 为首项，以2 为公比的等比数列，故93，解可得，k5，故答案为：514在 ABC 中，AB4，AC5，BC6，则 AC 边上的高等于【分析】先利用余弦定理求出cosA，进而求得sinA 以及面积；进而求解结论解：因为 ABC 中，AB4，AC 5，BC6，故 cosA?sinA；故 SACBAB?AC?sinA4 5 AC?h5 h?h故答案为：15已知函数f（x）e|x|，g（x）kx：函数 f（x）的单调递减区间为（，0）；若函数 F（x）f（x）g（x）有且只有一个零点，则k 1；若 k（1，e）（e，+），则?b R，使得函数f（x）b0 恰有 2 个零点 x1，x2，g（x）b0 恰有一个零点x3，且 x1x2x3，x1+x2+x31其中，所有正确结论的序号是【分析】根据函数图象的变换规则，画出f（x）e|x|的图象即可判断；将函数 F（x）的零点问题转化为函数f（x）与 g（x）的图象的交点问题，再结合切线方程的求法即可得解；由函数 f（x）b0 恰有 2 个零点，可知b1，且 x1+x20；由于 x1x2x3，因此b e；当 bk 时，有 kx3 k，即 x31，满足 x1+x2+x3 1解：函数 f（x）e|x|的图象如下所示，由图可知，f（x）的单调递减区间为（，0），即 正确；函数F（x）f（x）g（x）有且只有一个零点，函数f（x）与 g（x）的图象只有一个交点，即两者相切，当 x0 时，f（x）ex，f（x）ex，设切点为（x0，y0），则，x01，ke，同理可得，当x0 时，k e综上，k e，即 错误 若函数 f（x）b0 恰有 2 个零点 x1，x2，则 b 1，且 x1+x20，g（x）b0 恰有一个零点x3，且 x1x2x3，be，当 bk 时，有 kx3k，即 x3 1，满足 x1+x2+x31即 正确故答案为：三、解答题：本大题共6 小题，共85 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16已知 an是公差为d 的无穷等差数列，其前n 项和为 Sn又 d 4，且 S540，是否存在大于1 的正整数 k，使得 SkS1？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由【分析】结合等差数列的求和公式及已知条件进行求解即可判断解：存在正整数k8，使得 SkS1理由如下：在等差数列 an中，S55a1+d5a1+10d 5a1+10（4）40，解得 a1 16所以令 SkS1 16，即 2k2+18k16整理得 2k218k+160解得 k1 或 k8因为 k1，所以 k8所以当 k8 时，Sk S117已知函数（）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（）若当时，关于x 的不等式 f（x）m 有解，求实数m 的取值范围【分析】（）先将函数f（x）进行化简，然后根据三角函数的图象和性质即可求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（）转化为mf（x）max结合变量的范围求出其最大值即可求解结论解：（）因 为，所以函数f（x）的最小正周期T，因为函数ysinx 的的单调递减区间为，所以，解得，所以函数f（x）的单调递减区间是（）由题意可知，不等式f（x）m 有解，即 mf（x）max由（）可知，当时，故当，即时，f（x）取得最大值，最大值为2所以 m2故实数m 的取值范围是（，218在天猫进行6.18 大促期间，某店铺统计了当日所有消费者的消费金额（单位：元），如图所示：（）将当日的消费金额超过2000 元的消费者称为“消费达人”，现从所有“消费达人”中随机抽取3 人，求至少有1 位消费者，当日的消费金额超过2500 元的概率；（）该店铺针对这些消费者举办消费返利活动，预设有如下两种方案：方案 1：按分层抽样从消费金额在不超过1000 元，超过 1000 元且不超过2000 元，2000元以上的消费者中总共抽取25 位“幸运之星”给予奖励金，每人分别为100 元、200 元和 300 元方案 2：每位会员均可参加线上翻牌游戏，每轮游戏规则如下：有3 张牌，背面都是相同的喜羊羊头像，正面有1 张笑脸、2 张哭脸，将3 张牌洗匀后背面朝上摆放，每次只能翻一张且每翻一次均重新洗牌，共翻三次 每翻到一次笑脸可得30 元奖励金 如果消费金额不超过1000 元的消费者均可参加1 轮翻牌游戏；超过 1000 元且不超过2000 元的消费者均可参加2 轮翻牌游戏；2000 元以上的消费者均可参加3 轮翻牌游戏（每次、每轮翻牌的结果相互独立）以方案 2的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由【分析】（）记“在抽取的3 人中至少有1 位消费者消费超过2500 元”为事件A求出去年消费金额在（2000，2500内的有8 人，在（2500，3000内的有4 人，消费金额超过 2000 元的“消费达人”共有8+412（人），利用古典概型概率以及对立事件的概率求解即可（）求出方案1 奖励的总金额为17100+15200+33004600（元）方案 2 设 表示参加一轮翻牌游戏所获得的奖励金，则 的可能取值为0，30，60，90 求出概率，得到分布列，然后求解期望，然后比较说明投资较少的方案【解答】（）解：记“在抽取的3 人中至少有1位消费者消费超过2500 元”为事件 A由图可知，去年消费金额在（2000，2500内的有 8 人，在（2500，3000内的有 4 人，消费金额超过2000 元的“消费达人”共有8+4 12（人），从这 12 人中抽取3 人，共有种不同方法，其中抽取的3 人中没有1 位消费者消费超过2500 元，共有种不同方法所以，P（A）（）解：方案1 按分层抽样从消费金额在不超过1000 元，超过1000 元且不超过2000元，2000 元以上的消费者中总共抽取25 位“幸运之星”，则“幸运之星”中的人数分别为7，15，3，按照方案1 奖励的总金额为17 100+15200+33004600（元）方案 2 设 表示参加一轮翻牌游戏所获得的奖励金，则 的可能取值为0，30，60，90由题意，每翻牌1 次，翻到笑脸的概率为，所以，所以 的分布列为：0306090P数学期望为（元），按照方案2 奖励的总金额为2（28+602+123）305520（元），因为由 1 2，所以施行方案1 投资较少19如图，在四棱锥PABCD 中，PA平面 ABCD，PAAB2，BCCD1，PC 3，E 为线段 PB 上一点（E 不是端点），_从 CDBC；CD平面PAB；这两个条件中选一个，补充在上面问题中，并完成解答；（）求证：四边形ABCD 是直角梯形；（）求直线PB 与平面 PCD 所成角的正弦值；（）是否存在点E，使得直线AE平面 PCD，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由【分析】（）选择 ，连结 AC，推出 PAAC，ABBC，CDBC，说明四边形ABCD是直角梯形，选择 ，连结AC，推出PAAC，证明AB BC结合AB CD，证明四边形ABCD是直角梯形（）以C 为原点，CD，CB，CF 所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Cxyz，求出平面PCD 的一个法向量，设直线PB 与平面 PCD 所成的角为，利用空间向量的数量积求解直线PB 与平面 PCD 所成角的正弦值（）设，求出，通过，求解即可解：（）选择，连结 AC，因为 PA平面 ABCD，所以 PAAC，因为 PA2，PC3，所以 AC2PC2PA25，因为 AB2，BC1，所以 AC2AB2+BC2，所以 ABBC，因为 CDBC，所以 ABCD，所以四边形ABCD 是直角梯形，选择 ，连结 AC，因为 PA平面 ABCD，所以 PAAC，因为 PA2，PC3，所以 AC2PC2PA25，因为 AB2，BC1，所以 AC2AB2+BC2，所以 ABBC因为 CD平面 PAB，CD?平面 ABCD，平面 PAB平面 ABCD AB，所以 ABCD，所以四边形ABCD 是直角梯形（）在平面PAC 内过 C 作 CFPA，则 CF 平面 ABCD，由（）知CDBC，所以以 C 为原点，CD，CB，CF 所在直线分别为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系C xyz，则 C（0，0，0），D（1，0，0），B（0，1，0），A（2，1，0），P（2，1，2）则，设平面 PCD 的一个法向量，则即，令 z1，则 y 2，x0，则设直线 PB 与平面 PCD 所成的角为，所以，所以直线PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为（）设，则，所以 E（22，1，22），若 AE平面 PCD，则，即（2）0+0（2）+（22）10，所以 1，因为 1?（0，1），所以，线段PB 上不存在点E 使得直线AE平面 PCD20已知函数（）求函数f（x）的单调区间；（）求证：当x（，0）时，；（）当x0 时，若曲线yf（x）在曲线y ax2+4ax1 的下方，求实数a 的取值范围【分析】（I）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系即可求解；（II）结合已知要证不等式，可合理的变形，构造函数，结合导数分析函数的取值范围即可证明；（III）由已知可转化为f（x）ax2+4ax1，构造函数，对其求导，结合a 的范围及导数即可求解解：（）因为，定义域R，所以令 f（x）0，解得 x2，令 f（x）0，解得 x2，所以函数f（x）的单调递增区间为（，2），单调递减区间为（2，+），（）证明：令，由 x0 得 x20，ex10，于是 g（x）0，故函数 g（x）在（，0）上是增函数所以当 x（，0）时，g（x）g（0）0，即（）若曲线yf（x）在曲线y ax2+4ax 1 的下方，则f（x）ax2+4ax1，令，则当时，因为 x0，所以 x20，0ex1，且，则 2a1，所以 h（x）0，h（x）在（，0）上是增函数所以 h（x）h（0）0，符合题意当时，若，则，那么，所以 h（x）0，则 h（x）在上是减函数所以时，h（x）h（0）0，不合题意综上所述，实数a 的取值范围是21已知椭圆的短轴长为2，离心率为，A1、A2分别是椭圆长轴的左右两个端点，P 是椭圆上异于点A1、A2的点（）求出椭圆C 的标准方程；（）设点Q 满足：QA1 PA1，QA2 PA2求 PA1A2与 QA1A2面积的比值【分析】（）由题意短轴长为2，离心率为求出 a，b，即可得到椭圆C 的方程（）通过两个三角形的底边均为A1A2，说明面积之比等于|yp|：|yq|，解法一：设直线PA1，PA2的斜率分别为k，k，则直线PA1的方程为yk（x+2），求出直线 QA1的方程为 将 yk（x+2）代入，求出 P 的坐标，通过QA2PA2，得到直线QA2的方程为y 4k（x2）由，得然后求解即可解法二：设P（x0，y0），则，且 x0 2，A1（2，0），A2（2，0）利用，得到，求出直线，直线，然后求解Q 的纵坐标，通过结果解：（）由题意，得2b2，；又因为 a2b2+c2所以 a2，；故椭圆C 的方程为（）因为两个三角形的底边均为A1A2，所以面积之比等于|yp|：|yq|，解法一：由P 是椭圆上异于点A1、A2的点可知，直线PA1，PA2的斜率存在且不为0，设直线 PA1，PA2的斜率分别为k，k，则直线PA1的方程为yk（x+2），由 QA1PA1，直线 QA1的方程为将 yk（x+2）代入，得（4k2+1）y24ky0，因为 P 是椭圆上异于点A1，A2的点，所以yP所以，由 QA2PA2，所以直线QA2的方程为y4k（x2）由，得所以解法二：设P（x0，y0），则，且 x0 2，A1（2，0），A2（2，0）因为，所以，则直线，同理直线，与 联立，解得：，将 带入，得yQ 4y0，所以