2019-2020学年江苏省扬州中学高二下学期期中数学试卷(解析版).pdf

2019-2020 学年江苏省扬州中学高二第二学期期中数学试卷一、单项选择题（共8 小题）.1化简：?=（）A10B20C30D402下列导数运算正确的是（）A(1?)=1?2B（sinx）cosxC（3x）3xD(?)=1?3（a+b）5的展开式中a3b2的系数为（）A20B10C5D14已知?(?)=310，?(?)=35，则 P（B|A）等于（）A950B12C910D145在某项测试中，测量结果服从正态分布N（1，2）（0），若P（0 1）0.4，则 P（0 2）（）A0.4B0.8C0.6D0.26设 a Z，且 0a 13，若 512020+a 能被 13 整除，则a（）A0B1C11D127公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是：3.1415926 3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把 3.1415926 称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7 位数字 1，4，1，5，9，2，6 进行随机排列，整数部分3 不变，那么可以得到大于3.14 的不同数字有（）A2280B2120C1440D7208若关于x 的不等式（1?）?127有正整数解，则实数的最小值为（）A9B8C7D6二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共计 20 分在每小题所给的A.B.C.D.四个选项中，有多项是正确的，全部选对的得5 分，部分选对的得3 分，有选错的得0 分请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑.9定义在 R 上的可导函数y f（x）的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（）A 3 是 f（x）的一个极小值点B 2 和 1 都是 f（x）的极大值点Cf（x）的单调递增区间是（3，+）Df（x）的单调递减区间是（，3）10将高二（1）班的四个同学分到语文、数学、英语三个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一名同学的分配方法有多少种？下列结论正确的有（）A?B?C?D1811已知（a+b）n的展开式中第5 项的二项式系数最大，则n 的值可以为（）A7B8C9D1012关于函数f（x）ex+asinx，x（，+），下列说法正确的是（）A当 a1 时，f（x）在（0，f（0）处的切线方程为2xy+10B当 a1 时，f（x）存在唯一极小值点x0且 1f（x0）0C对任意a0，f（x）在（，+）上均存在零点D存在 a0，f（x）在（，+）上有且只有一个零点三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，计 20 分只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题卡相应位置13已知甲、乙、丙3 名运动员击中目标的概率分别为0.7，0.8，0.85，若他们3 人向目标各发 1 枪，则目标没有被击中的概率为14已知函数f（x）x2，则?(1+?)-?(1)?=15 设随机变量 的概率分布列为：P（k）=?+1，k0，1，2，3，则 P（2）16若对任意x0，恒有?(?+?)?(?+1?)?，则实数a 的取值范围为四、解答题：本大题共6 小题，计70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17高二某班级有5 名男生，4 名女生排成一排（以下结果用数字作答）（1）从中选出3 人排成一排，有多少种排法？（2）若 4 名女生互不相邻，有多少种不同的排法？18已知函数f（x）ax3+bx23x 在 x 1 和 x 3 处取得极值（1）求 a，b 的值（2）求 f（x）在 4，4内的最值19 某次数学知识比赛中共有6 个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这 6 个题目中，甲只能正确作答其中的4 个，而乙正确作答每个题目的概率均为23，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的（1）求乙同学答对2 个题目的概率；（2）若甲、乙两位同学答对题目个数分别是m，n，分别求出甲、乙两位同学答对题目个数 m，n 的概率分布和数学期望20已知 f（x）（x+2）n，n N*（1）设 f（x）a0+a1x+a2x2+anxn，求 a0+a1+a2+an；若在 a0，a1，a2，an中，唯一的最大的数是a4，试求 n 的值；（2）设 f（x）b0+b1（x+1）+b2（x+1）2+bn（x+1）n，求?=?1?+1?21已知函数f（x）x2x+alnx（a0），且 f（x）的最小值为0（1）求实数 a 的值；（2）若直线 yb 与函数 f（x）图象交于A，B 两点，A（x1，f（x1），B（x2，f（x2），且 x1x2，A，B 两点的中点M 的横坐标为x0，证明：x0122已知函数f（x）lnx x2+ax，g（x）exe，其中 a0（1）若 a1，证明：f（x）0；（2）用 maxm，n表示 m 和 n 中的较大值，设函数h（x）maxf（x），g（x），讨论函数h（x）在（0，+）上的零点的个数参考答案一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，计 40 分在每小题所给的A.B.C.D.四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑.1化简：?=（）A10B20C30D40【分析】直接根据排列数的性质求解即可解：因为?=5 420；故选：B2下列导数运算正确的是（）A(1?)=1?2B（sinx）cosxC（3x）3xD(?)=1?【分析】根据基本初等函数的求导公式对每个选项函数进行求导即可解：(1?)=-1?2，（sinx）cosx，（3x）3xln3，(?)=1?故选：D3（a+b）5的展开式中a3b2的系数为（）A20B10C5D1【分析】直接利用二项展开式的通项公式求得展开式中a3b2的系数解：（a+b）5的展开式的通项公式为：Tr+1=?a5r?br；令 5r 3可得 r 2；（a+b）5的展开式中a3b2的系数为：?=10故选：B4已知?(?)=310，?(?)=35，则 P（B|A）等于（）A950B12C910D14【分析】直接代入条件概率公式即可解：因为?(?)=310，?(?)=35，则 P（B|A）=?(?)?(?)=31035=12故选：B5在某项测试中，测量结果服从正态分布N（1，2）（0），若P（0 1）0.4，则 P（0 2）（）A0.4B0.8C0.6D0.2【分析】由已知结合正态分布曲线的对称性即可求解解：随机变量X 服从正态分布N（1，2），曲线关于x 1 对称，P（0 1）0.4，P（1 2）0.4，P（0 2）P（0 1）+P（1 2）0.4+0.40.8，故选：B6设 a Z，且 0a 13，若 512020+a 能被 13 整除，则a（）A0B1C11D12【分析】令51521，然后将512020展开，求其余数，然后令余数与a 的和能被13 整除即可解：512020（521）2020（152）2020=?-?+?-?+?因为 52 能被 13 整除，所以上式从第二项起，每一项都可以被13 整除，所以上式被13 除，余数为?=?，所以要使512020+a 能被 13 整除，因为a Z，且 0a13，只需 a+113 即可，故 a12故选：D7公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是：3.1415926 3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把 3.1415926 称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7 位数字 1，4，1，5，9，2，6 进行随机排列，整数部分3 不变，那么可以得到大于3.14 的不同数字有（）A2280B2120C1440D720【分析】根据条件得到总共有?77?22种，小于 3.14 的不同情况有2?种，则大于 3.14 的不同情况有?77?22-2?=2280 种解：由于数字1，4，1，5，9，2，6 中有 2 个相同的数字1，故进行随机排列可以得到的不同情况有?77?22种，而只有小数点前两位为11，12 时，排列后得到的数字不大于3.14，故小于 3.14 的不同情况有2?种，故得到的数字大于3.14 的不同情况有?77?22-2?=2280 种故选：A8若关于x 的不等式（1?）?127有正整数解，则实数的最小值为（）A9B8C7D6【分析】原不等式转化为?3?3?=?27?，令 f（x）=?，利用导数和函数的单调性即可求出解：（1?）?127，?(1?)?127，不等式（1?）?127有正整数解，0，?3?3?=?27?，令 f（x）=?，则 f（x）=1-?2，当 x（0，e）时，f（x）0，函数 f（x）单调递增；当 x（e，+）时，f（x）0，函数 f（x）单调递减，2e 3，?(?)=?22=?168，?(?)=?33=?279，f（2）f（3），只需?(?)?27?，即 9 时，即实数的最小值为9，故选：A二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共计 20 分在每小题所给的A.B.C.D.四个选项中，有多项是正确的，全部选对的得5 分，部分选对的得3 分，有选错的得0 分请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑.9定义在 R 上的可导函数y f（x）的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（）A 3 是 f（x）的一个极小值点B 2 和 1 都是 f（x）的极大值点Cf（x）的单调递增区间是（3，+）Df（x）的单调递减区间是（，3）【分析】有图象可知，根据f（x）的符号即可判断f（x）的单调性和极值情况解：当x（，3）时，f（x）0，f（x）单调递减；当x（3，1）时，f（x）0，f（x）单调递增，3 是 f（x）的极小值，故选项A 正确；由图可知，当x（3，+）时，f（x）0，f（x）的递增区间为（3，+），故选项 C 正确；由图可知，当x（，3）时，f（x）0，f（x）的递减区间为（，3），故选项 D 正确；又 f（x）在 x 2 和 x 1 两侧同号，2，1 不是 f（x）的极值点，故选项B错误；故选：ACD 10将高二（1）班的四个同学分到语文、数学、英语三个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一名同学的分配方法有多少种？下列结论正确的有（）A?B?C?D18【分析】根据题意，有2 种解法，解法 1，先将 4 人三组，再将分好的三组全排列，由分布计数原理计算可得B 正确；解法 2，在 3 个小组中选出1个，安排 2 个同学，再将剩下的2人全排列，对应剩下的2个兴趣小组，由分布计数原理计算可得C 正确；即可得答案；解：根据题意，解法 1，先将 4 人三组，有 C42种分组方法，再将分好的三组全排列，对应三个兴趣小组，有 A33种情况，则有C42A33种分配方法，B 正确；解法 2，在 3 个小组中选出1 个，安排2 个同学，有C31C42种情况，再将剩下的2 人全排列，对应剩下的2 个兴趣小组，有A22种情况，则有C31C42A22种分配方法，C 正确；故选：BC11已知（a+b）n的展开式中第5 项的二项式系数最大，则n 的值可以为（）A7B8C9D10【分析】由题意利用二项式系数的性质，求得n 的值解：已知（a+b）n的展开式中第5 项的二项式系数?最大，则n8，故选：AB12关于函数f（x）ex+asinx，x（，+），下列说法正确的是（）A当 a1 时，f（x）在（0，f（0）处的切线方程为2xy+10B当 a1 时，f（x）存在唯一极小值点x0且 1f（x0）0C对任意a0，f（x）在（，+）上均存在零点D存在 a0，f（x）在（，+）上有且只有一个零点【分析】直接法，逐一验证选项，选项A，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程，选项B 通过导数求出函数极值并判断极值范围，选项C、D，通过构造函数，将零点问题转化判断函数与直线y a 的交点问题解：直接法，逐一验证选项 A，当 a1 时，f（x）ex+sin x，x（，+），所以 f（0）1，故切点为（0，1），f（x）ex+cosx，所以切线斜率Kf（0）2，故直线方程为：y 12（x0），即切线方程为：2xy+10 选项 A 符合题意；选项 B，当 a 1 时，f（x）ex+sinx，x（，+），f（x）ex+cosx，f（x）exsinx0 恒成立，所以f（x）单调递增，又 f（-3?4）e-3?4+cos（-3?4）0 f（-?2）20 故 f（x）存在唯一极值点，不妨设 x0（-3?4，-?2），则 f（x0）0，即?+?=?，f（x0）e?+sinx0sinx0 cosx0=?sin（x0-?4）（1，0），选项B 符合题意；对于选项C、D，f（x）ex+asinx，x（，+），令f（x）0，即ex+asinx 0，当 xk，k 1 且 kz 显然没有零点，故x k，k 1 且 kz，所以 a=-?则令 F（x）=-?，F（x）=?(?-?)?2?，令 F（x）0，解得 x=?4?，k 3，k z，所以 x（+k，-34?+?）单调递减，x（-34?+?，k）单调递增，有极小值 f（-34?+?）=?-34?+?-34?，x（k，14?+?）单调递增，x（14?+?，+k）单调单调递减，有极大值f（14?+?）=-?14?+?-?14?，故选项C，任意a0 均有零点，不符合，选项D，存在a0，有且只有唯一零点，此时 a=-?14?，故选：ABD 一、选择题13已知甲、乙、丙3 名运动员击中目标的概率分别为0.7，0.8，0.85，若他们3 人向目标各发 1 枪，则目标没有被击中的概率为0.009【分析】他们3 人向目标各发1 枪，则目标没有被击中是指三人同时没有击中，由此能求出目标没有被击中的概率解：他们3 人向目标各发1 枪，则目标没有被击中是指三人同时没有击中，甲、乙、丙3 名运动员击中目标的概率分别为0.7，0.8，0.85，他们 3 人向目标各发1枪，目标没有被击中的概率为：P（1 0.7）（10.8）（10.85）0.009故答案为：0.00914已知函数f（x）x2，则?(1+?)-?(1)?=2【分析】先求出f（x），?(1+?)-?(1)?=f（1），能求出结果解：f（x）2x，?(1+?)-?(1)?=f（1），f（1）2，故答案为：215设随机变量 的概率分布列为：P（k）=?+1，k0，1，2，3，则P（2）425【分析】由题意可得P（0）+P（1）+P（2）+P（3）1，所以 c=1225，所以 P（k）=1225(?+1)，进而求出答案解：因为所有事件发生的概率之和为1，即 P（0）+P（1）+P（2）+P（3）1，所以?+?2+?3+?4=?，所以 c=1225所以 P（k）=1225(?+1)，所以 P（2）=425故答案为：42516 若对任意x0，恒有?(?+?)?(?+1?)?，则实数 a 的取值范围为2?，+）【分析】由题意可得（eax+1）lneax（x2+1）lnx2，构造函数f（t）（t+1）lnt（t0），求得导数和单调性，原题转化为f（eax）f（x2），结合单调性转化后分离参数，二次构造函数后转化为求解函数的最值，结合不等式恒成立思想可得所求范围解：由不等式?(?+?)?(?+1?)?，可得（eax+1）lneax（x2+1）lnx2，设 f（t）（t+1）lnt（t0），则 f（t）lnt+?+1?，f（t）=1?-1?2=?-1?2，0 t1 时，f（t）0；t 1 时，f（t）0，故 f（t）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，因此 f（t）f（1）20，因此 f（t）在（0，+）上单调递增，由 f（eax）f（x2）得 eaxx2，即 a2?，设 g（x）=2?，g（x）=2-2?2，易得当xe 时，g（x）0，函数g（x）单调递减，当0 xe 时，g（x）0，函数 g（x）单调递增，从而 g（x）的最大值为g（e）=2?，故 a2?故答案为：2?，+）四、解答题：本大题共6 小题，计70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17高二某班级有5 名男生，4 名女生排成一排（以下结果用数字作答）（1）从中选出3 人排成一排，有多少种排法？（2）若 4 名女生互不相邻，有多少种不同的排法？【分析】（1）由排列数公式直接求（2）先把男生排列，再把4 名女生往5 名男生中插空，相乘即可解：（1）从 9 人中选出3 人排成一排有A?=504 种排法（2）5名男生排成一排的排法有A?种，4 名女生插空有A?种，则由乘法原理得4 名女生互不相邻有A?A?=43200 种排法18已知函数f（x）ax3+bx23x 在 x 1 和 x 3 处取得极值（1）求 a，b 的值（2）求 f（x）在 4，4内的最值【分析】（1）先对函数求导，由题意可得f（x）3ax2+2bx30 的两个根为1 和3，结合方程的根与系数关系可求，（2）由（1）可求 f（x），然后结合导数可判断函数的单调性，进而可求函数的最值解：（1）f（x）3ax2+2bx3，由题意可得f（x）3ax2+2bx30 的两个根为1 和 3，则-?+?=-2?3?-?=-1?，解可得 a=13，b 1，（2）由（1）f（x）（x3）（x+1），易得 f（x）在（，1），（3，+）单调递增，在（1，3）上单调递减，又 f（4）=-763，f（1）=53，f（3）9，f（4）=-203，所以 f（x）minf（4）=-763，f（x）maxf（1）=5319 某次数学知识比赛中共有6 个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这 6 个题目中，甲只能正确作答其中的4 个，而乙正确作答每个题目的概率均为23，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的（1）求乙同学答对2 个题目的概率；（2）若甲、乙两位同学答对题目个数分别是m，n，分别求出甲、乙两位同学答对题目个数 m，n 的概率分布和数学期望【分析】（1）由独立重复事件的概率可知，乙同学答对2 个题目的概率为P=?(23)?(13)?=49；（2）由题可知，随机变量m 服从超几何分布，所有可能取值为1，2，3；随机变量n服从二项分布，所有可能取值为0，1，2，3；然后分别根据超几何分布、二项分布求概率的方式逐一求出每个m、n 的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望解：（1）乙同学答对2 个题目的概率为P=?(23)?(13)?=49（2）甲同学答对题目个数m 的所有可能取值1，2，3，P（m1）=?41?22?63=15，P（m2）=?42?21?63=35，P（m3）=?43?63=15m 的分布列为m123P153515数学期望E（m）=?15+?35+?15=?乙同学答对题目个数nB（3，23），n 的所有可能取值为0，1，2，3，P（n0）=?(23)?(13)?=127，P（n1）=?(23)?(13)?=29，P（n2）=49，P（n3）=?(23)?=827n 的分布列为n0123P1272949827数学期望E（n）=?127+?29+?49+?827=?20已知 f（x）（x+2）n，n N*（1）设 f（x）a0+a1x+a2x2+anxn，求 a0+a1+a2+an；若在 a0，a1，a2，an中，唯一的最大的数是a4，试求 n 的值；（2）设 f（x）b0+b1（x+1）+b2（x+1）2+bn（x+1）n，求?=?1?+1?【分析】（1）可令 x1，代入计算可得所求和；可得 f（x）（x+2）n（2+x）n的通项公式，ar最大即为arar1，且 ar ar+1，化简计算，结合不等式的解，可得所求值；（2）由 f（x）1+（x+1）n，可得 brC?，r0，1，n，推得1?+1C?=1?+1C?+?+?，再由二项式定理，计算可得所求和解：（1）由（x+2）na0+a1x+a2x2+anxn，可令 x1，可得 3n a0+a1+a2+an，即 a0+a1+a2+an3n；f（x）（x+2）n（2+x）n，可得 ar=?2nrxr，r0，1，n，若在 a0，a1，a2，an中，ar最大，可得?-?-?-?+?-?+?-?-?，即为?!?!(?-?)!?!(?-1)!(?-?+1)!?!?!(?-?)!?!(?+1)!(?-?-1)!，化为?-?+?，由于 r 4时为 a4唯一的最大值，可得 n12，13；（2）由 f（x）b0+b1（x+1）+b2（x+1）2+bn（x+1）n，且 f（x）1+（x+1）n，可得 brC?，r0，1，n，则?=?1?+1?=12?+13C?+?+1?+1C?，由1?+1C?=1?+1?!?!?(?-?)!=1?+1?(?+1)!(?+1)!(?-?)!=1?+1C?+?+?，则?=?1?+1?=1?+1（C?+?+C?+?+?+C?+?+?）=1?+1（2n+12n）21已知函数f（x）x2x+alnx（a0），且 f（x）的最小值为0（1）求实数 a 的值；（2）若直线 yb 与函数 f（x）图象交于A，B 两点，A（x1，f（x1），B（x2，f（x2），且 x1x2，A，B 两点的中点M 的横坐标为x0，证明：x01【分析】（1）先对f（x）求导，然后判断f（x）的单调性，求出f（x）的最小值，再根据 f（x）的最小值为0 求出 a 的值；（2）由（1）得 a 1，设 f（x1）f（x2）b，得到0 x11x2，再设 h（x）f（x）f（2x）（0 x1），然后判断h（x）的单调性，然后结合条件证明x0 1 成立即可解：（1）?(?)=?-?+?=2?2-?+?（x0）a0，18a 0，令 f（x）0，得?=1-1-8?4，?=1+1-8?4且 x10，x20，在(1+1-8?4，+)上 f（x）0；在(?，1+1-8?4)上 f（x）0，函数 f（x）在?=1+1-8?4时，取最小值0，又 f（1）0，1+1-8?4=?，解得 a 1（2）证明：由（1）得 a 1，函数 f（x）x2xlnx，设 f（x1）f（x2）b（b0），则 0 x11x2，设 h（x）f（x）f（2 x）（0 x1），则 h（x）x2xlnx（2x）2+（2x）+ln（2x）2x2lnx+ln（2x），令?(?)=?-1?-12-?=?-2?(2-?)?-2(?+2-?2)2=?，h（x）为减函数，h（x1）h（1）0，即 h（x1）f（x1）f（2x1）0，f（2x1）f（x1），即 f（2x1）f（x2），又 x11，2x11，又当 x1 时，f（x）为增函数，2x1x2，x1+x22，x0122已知函数f（x）lnx x2+ax，g（x）exe，其中 a0（1）若 a1，证明：f（x）0；（2）用 maxm，n表示 m 和 n 中的较大值，设函数h（x）maxf（x），g（x），讨论函数h（x）在（0，+）上的零点的个数【分析】（1）对 f（x）求导，然后求出f（x）的零点，再判断f（x）的单调性，然后求出 f（x）的最大值，进而证明f（x）0 成立；（2）由条件知h（x）在区间（1，+）上不可能有零点，然后根据条件考虑在区间（0，1）上和 x1 处时 h（x）的零点情况即可解：（1）?(?)=1?-?+?=-(?-1)(2?+1)?（x0），令 f（x）0，则 x1 或?=-12（舍），当 x（0，1）时，f（x）0，f（x）单调递增，当 x（1，+）时，f（x）0，f（x）单调递减，f（x）f（x）maxf（1）0（2）在区间（1，+）上，g（x）0，h（x）maxf（x），g（x）g（x）0，h（x）在区间（1，+）上不可能有零点下面只考虑区间（0，1）上和 x1 处的情况由题意 f（x）的定义域为（0，+），?(?)=1?-?+?=-2?2+?+1?令 f（x0）0 可得?=?+?2+84（负值舍去）在（0，x0）上 f（x）0f（x）为增函数，在（x0，+）上 f（x）0，f（x）为减函数，f（x）maxf（x0）当 a1 时，x0 1，f（x）maxf（1）0在区间（0，1）上，g（x）0，且 g（1）0，此时 h（x）存在唯一的零点x1 当 0a1 时，?=?+?2+84?(?)=1?0-?+?=?，?=?-1?0?(?)=?-?+?(?-1?0)=?+?-?+?-?=?，于是 f（x）0 恒成立，结合函数g（x）的性质，可知此时h（x）存在唯一的零点x1 当 a1 时，?=?+?2+84?，f（x）在（0，1）上递增又 f（1）a10，?(12?)=?12?-14?2+1212?-?-14?2+12=-(12?-12)?-14?，f（x）在区间（0，1）上存在唯一的零点x x1结合函数g（x）的性质，可知xx1是 h（x）唯一的零点综上，当0a1 时，h（x）在（0，+）上有唯一的零点x1；当 a1 时，h（x）在（0，+）上也有1 个零点