2020届甘肃省武威第六中学高三下学期第二次诊断考试数学(理)试题(解析版).pdf

-1-武威六中 2020 届高三第二次线上诊断考试理科数学试题一、选择题（每小题5分，共 60分下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.集合220Ax xx，10Bx x，则AB=()A.1x xB.11xxC.2x xD.21xx【答案】C【解析】【分析】先化简集合A,B，结合并集计算方法，求解，即可【详解】解得集合21012Axxxxx，1Bx x所以2ABx x，故选 C【点睛】本道题考查了集合的运算，考查了一元二次不等式解法，关键化简集合A,B，难度较小2.纯虚数z 满足124zzi，则 z 的共轭复数为（）A.2iB.2iC.4iD.4i【答案】B【解析】【分析】设0zbib，由复数的模和共轭复数的概念，结合复数相等的条件，解方程可得b，进而得到所求z的共轭复数【详解】由题意，设0zbib，则1124,zzbibbb b ii则复数相等的条件可得2,2,2,2.4bbzi zib b故选 B.【点睛】本题考查复数的模和共轭复数的概念，以及复数相等的条件，考查运算能力，属于基础题3.各项均为正数的等比数列na中，12a，数列na的前n项和为3,23 2nS S.则7a（）-2-A.8 2B.7 2C.8D.15 214【答案】A【解析】【分析】设等比数列na的公比为,q利用等比数列通项公式,结合3123Saaa得到关于q的方程,解方程求出公比q,然后代入等比数列通项公式求出7a即可.【详解】设等比数列na的公比为q，由题意知,则231232 123 2,Saaaqq解得2q,由等比数列通项公式可得,6671228 2aa q.故选:A【点睛】本题考查等比数列通项公式和前n 项和公式;考查运算求解能力;熟练掌握等比数列通项公式和前n项和公式是求解本题的关键;属于基础题.4.在ABC中，2CMMB，0ANCN，则（）A.2136MNABACB.2736MNABACC.1263MNACABD.7263MNACAB【答案】C【解析】【分析】利用平面向量基本定理分析求解即可.【详解】由已知可得点M是靠近点B的三等分点，又点N是AC的中点2132MNMCCNBCCA21()32ACABAC1263ACAB故选C【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，属基础题.5.把不超过实数x的最大整数记为x，则函数()f xx称作取整函数，又叫高斯函数，在2,5上任取x，则2xx的概率为（）-3-A.14B.13C.12D.23【答案】B【解析】【分析】由题意分类，求得使x 2x成立 的 x 的范围，再由长度比计算即可得答案【详解】当 2x3 时，x 2x2；当 3x4 时，x 3，2x2；当 4x 4.5时，x 4，2x2；当 4.5x5 时，x 4，2x3符合条件的x 2，3），由长度比可得，x 2x的概率为321523故选 B【点睛】本题主要考查几何概型的概率、分类讨论思想，属于基础题6.函数1lg1yx的大致图象为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的对称性及在对称轴右侧的单调性即可判断函数图象的大致形状，利用排除法选出答案.【详解】由题意得，函数1lg1yx的关于1x对称，排除B、D；当1x时，函数1lg1yx为单调递减函数，排除A，故选 C.【点睛】本题主要考查了含绝对值的对数型函数的对称性，单调性，图象，属于中档题.7.设向量3,3,1,1ab，若abab，则实数（）A.3 B.1 C.D.3【答案】D-4-【解析】【分析】根据3,3,1,1ab，求得3,3,3,3abab，再根据abab，有2 330求解.【详解】因为向量3,3,1,1ab，所以3,3,3,3abab，因为abab，所以2 330，解得3.故选：D【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8.已知实数a，b满足11122ab，则（）A.11abB.22loglogabC.abD.sinsinab【答案】B【解析】【分析】首先利用指数函数的性质得到a，b的范围，然后逐一考查所给的不等式，即可求得答案.【详解】11122ab由指数函数的单调性,可得：0ab对于 A，由0ab，可得11ab，故 A 错误；对于 B，由0ab，可得22loglogab，故 B 正确；对于 C，由0ab，可得ab，故 C 错误；对于 D，根据sinyx图象可得，由0ab，sina与sinb的大小无法确定，故D 错误；-5-故选：B【点睛】本题主要考查了根据已知不等式判断所给不等式是否正常，解题关键是掌握不等式比较大小方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.9.已知1cos63，则sin26（）A.89B.89C.79D.79【答案】C【解析】【分析】根据二倍角公式求得cos 23，再利用诱导公式求得结果.【详解】1cos63227cos 22cos1136997cos 2cos2sin 2362697sin 269本题正确选项：C【点睛】本题考查二倍角公式、诱导公式的应用，关键是能够利用诱导公式将所求角与已知角联系起来.10.已知双曲线22221xyab的左、右焦点分别为1F，2F，过右焦点2F作垂直于x轴的弦 MN，交双曲线于M、N 两点，若1MF N=2，则双曲线的离心率e=（）A.2B.3C.52D.21【答案】D【解析】【分析】根据过右焦点2F作垂直于x轴的弦MN，则2bMFa，再根据1MF N=2，则有12MFFF，即22bca求解.-6-【详解】因为过右焦点2F作垂直于x轴的弦 MN，所以2bMFa，又因为1MF N=2，所以12MFFF，即22bca，所以2222bcaac，2210ee，解得21e.故选：D【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11.世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割 如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为36的等腰三角形（另一种是顶角为108的等腰三角形）例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC中，512BCAC.根据这些信息，可得sin1314（）A.358B.458C.2 514D.514【答案】D【解析】【分析】在ABC，由正弦定理可知：sinsin 36sinsin 72BCBACACABC，即可求得cos36值，根据诱导公式化简sin1314cos36，即可求得答案.【详解】ABC，由正弦定理可知：-7-sinsin 36sin3615 1sinsin 722sin 36 cos362cos362BCBACACABC，15 1cos36451，又sin1314sin 3360234sin 234sin 18054sin5451sin 9036cos364.故选：D.【点睛】本题主要考查了根据正弦定理和诱导公式求三角函数值，解题关键是掌握正弦定理公式和熟练使用诱导公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.12.22,2()1log,22axx xf xxx的值域为R，则(22)f的取值范围是A.1,2B.5,4C.5,4D.51,42【答案】D【解析】因为22,()21xf xxx，所以1101,log21024aaa因此2 2f14115log 22log2 2224a，2 2f11log 2 222a即2 2f的取值范围是51,42，选 D.点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间,a b上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.二、填空题（每小题5分，共 20 分）13.将函数sin0,0,2fxAxA的图象向右平移12个单位，再将所有点的横坐标-8-扩大为原来的2倍，得到2sing xx的图象，则A_.【答案】46【解析】【分析】根据三角函数平移和伸缩变换可得到sin2sin212Axx，进而对应相等可求得,A的值，从而求得结果.【详解】fx向右平移12个单位得：sin1212fxAx，将12fx横坐标扩大为原来的2倍得：sin2sin212g xAxx2A，2，2126kkZ，又2，6，22466A.故答案为：46.【点睛】本题考查根据三角函数图象的变换求解函数解析式的问题，关键是能够熟练掌握三角函数的平移变换和伸缩变换的基本原则.14.已知数列na，若数列13nna的前n项和11655nnT，则5a的值为 _.【答案】16【解析】【分析】利用前 n 项和公式可得第五项的值.【详解】数列13nna的前n项和11655nnT，5 15454554111113666655555aTT=46445462163a，故答案为16【点睛】本题考查由前n 项和公式求项值，考查计算能力，解题关键是理解前n 项和与项的关系.15.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13 种商品，第三天售-9-出 18 种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4 种，则该网店这三天售出的商品最少有_种【答案】29【解析】【分析】由第一天售出19 种商品，第二天售出13 种商品，前两天都售出的商品有3种，可以得到第一天售出但第二天未售出的商品种数，同理得到第二天售出但第一天未售出的商品种数，进而得到前两天共售出的商品的种数，根据第三天售出但第二天未售出的商品种数，当这些商品都在第一天售或第二天售出时，三天售出的商品种数最少.【详解】由题意，第一天售出19种商品，第二天售出13 种商品，前两天都售出的商品有3种，所以第一天售出但第二天未售出的商品有19-3=16 种，第二天售出但第一天未售出的商品有13-3=10 种，所以前两天共售出的商品有19+10=29 种，如图所示：第三天售出18 种商品，后两天都售出的商品有4 种，得第三天售出但第二天未售出的商品有18-4=14 种，当这 14 种商品都在第一天售出或第二天售出商品中时，三天售出的商品种数最少有29 种.故答案为：29【点睛】本题主要考查集合的应用，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.16.在三棱锥ABCD中，ABAC，DBDC，4ABDB，ABBD，则三棱锥ABCD外接球的体积的最小值为_【答案】8 23【解析】【分析】：先将三棱锥还原到长方体中，根据题意建立长方体体对角线与AB的函数关系式，求解体对角线的最小值，由此得出外接球的体积的最小值【详解】：如图所示，三棱锥ABCD的外接圆即为长方体的外接圆，外接圆的直径为长方体的体对角线-10-AD，设ABACx，那么4DBDCx,ABBD,所以22ADABDB由题意，体积的最小值即为AD最小，22(4)ADxx，所以当2x时，AD的最小值为2 2，所以半径为2，故体积的最小值为8 23【点睛】：根据题意把三棱锥还原到长方体是解决三棱锥外接球问题的常见解法，不同题目背景，还原方法不一样，但三棱锥的四个顶点一定是长方体的顶点三、解答题（本大题共6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在公差不为0 的等差数列na中，148,a aa成等比数列，数列na的前 10 项和为 45（1）求数列na的通项公式；（2）若11nnnba a，且数列nb的前项和为nT，求nT【答案】（1）83nna；（2）9nn.【解析】【分析】（1）根据条件列关于公差与首项的方程组，再将结果代入通项公式得结果，（2）利用裂项相消法求和.【详解】(1)设等差数列na的公差为d，由148,a a a成等比数列可得，2418?aaa，即211137adaad，22211116+97aa ddaa d，0d，1=9ad.由数列na的前 10 项和为 45，得101104545Sad，即904545dd，故13d，13a.-11-故数列na的通项公式为83nna；（2）1191198989nnnba annnn，111111111199+=9=19101011111289999nTnnnn9nn【点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如1nnca a(其中na是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列.裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如1(1)(3)nn或1(2)n n.18.如图，正三棱柱111ABCA B C的所有棱长均2，D为棱1BB（不包括端点）上一动点，E是AB的中点（）若1ADAC，求BD的长；（）当D在棱1BB（不包括端点）上运动时，求平面1ADC与平面ABC的夹角的余弦值的取值范围【答案】（）BD=1；（）（217，22.【解析】【试题分析】(I)由1,CEAB CEAA得到CD平面11ABB A,所以CEAD,由于1ADA C,所以AD平面1ACE,所以1ADA E,由此得到D为1BB的中点,所以1BD.(I)以E为空间坐标原点建立空间直角坐标系,利用两个平面的法向量来求得它们夹角的余弦值的取值范围.【试题解析】-12-证明：（），由 AC=BC，AE=BE，知 CE AB，又平面 ABC 平面ABB1A1，所以 CE 平面 ABB1A1而 AD?平面 ABB1A1，AD CE，又AD A1C所以 AD 平面 A1CE，所以 AD A1E易知此时D为 BB1的中点，故BD=1（）以E为原点，EB为 x 轴，EC为 y 轴，过 E作垂直于平面ABC的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，设BD=t，则 A（-1，0，0），D（1，0，t），C1（0，3，2），AD=（2，0，t），1AC=（1，3，2），设平面ADC1的法向量n=（x，y，z），则120320n ADxtzn ACxyz，取 x=1，得4121,33ntt，平面 ABC的法向量m=（0，0，1），设平面 ADC1与平面 ABC的夹角为，cos=mnm n=222414133ttt=2327tt=2316t由于 t（0,2）,故 cos（217，22 即平面 ADC1与平面 ABC的夹角的余弦值的取值范围为（217，22 19.某学校共有1000名学生，其中男生400人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额分布在450 950之间根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示：-13-将月消费金额不低于750元的学生称为“高消费群”（1）求a的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在550,650)，750,850)内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望；（3）若样本中属于“高消费群”的女生有10人，完成下列22列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？（参考公式：22()()()()()n adbcKab cd ac bd，其中nabcd）【答案】（1）0.0035a，平均数：670元；（2）分布列见解析，9()10E X；（3）列联表见解析，有【解析】【分析】（1）根据频率和为1，列方程解出a的值，再由频率分布直方图求样本平均数，即可得解；（2）由题意可知随机变量X服从超几何分布，确定X的取值，求出对应概率，可得X的分布列，再计算数学期望即可；（3）由题可知，样本中男生40人，女生60人，属于“高消费群”的25人，由此完成列联表，并由公式计算2K，查表判断即可.【详解】（1）由题意知，100(0.00150.00250.00150.001)1a，解得0.0035a，-14-样本的平均数为：500 0.15600 0.35700 0.25800 0.15900 0.10670 x（元），所以估计该校学生月消费金额的平均数为670元（2）由题意，从550,650)中抽取 7 人，从750,850)中抽取3人随机变量X的所有可能取值有0，1，2，3，337310kkC CP XkC（0,1,2,3k），所以，随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望35632119()012312012012012010E X（3）由题可知，样本中男生40人，女生60人，属于“高消费群”的25人，其中女生10人；得出以下22列联表：222()100(10251550)505.5565.024()()()()406025759n adbcKabcdac bd，所以有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关【点睛】本题考查了频率分布直方图、离散型随机变量的分布列、列联表以及独立检验的应用，考查了计算能力与数据分析能力，属于中档题.20.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆C的短轴长为2 3（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在过点0,2P的直线l与椭圆C相交于不同的两点,M N，且满足2OM ON（O为坐标原点）若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由-15-【答案】(1)22143xy；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）根据椭圆的几何意义，22222 32bacabc得到椭圆方程；（2）联立直线和椭圆，得到二次方程，向量坐标化得到221612234kk，进而求得参数值解析：（1）由题意得：22222 32bacabc，解得23ab椭圆C的标准方程是22143xy（2）当直线l的斜率不存在时，0,3M，0,3N3OM ON，不符合题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为2ykx，11,Mx y，22,N xy由221432xyykx消y整理得：22341640kxkx221616 340kk，解得12k或12k1221634kxxk，122434x xk1212OM ONx xy y21212124kx xk xx2222224 13216124343434kkkkkk2OM ON221612234kk解得22k，满足0-16-所以存在符合题意的直线，其方程为222kx点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用21.已知函数21lnfxa xx，aR.（1）当2a时，求函数yfx在点1,1Pf处的切线方程；（2）当1a时，令函数ln21g xfxxxm，若函数g x在区间1,ee上有两个零点，求实数m的取值范围.【答案】（1）切线方程为1yx；（2）实数m的取值范围是211,2e.【解析】【试题分析】（1）当2a时，求出切点和斜率，利用直线方程点斜式可求得切线方程.（2）先化简得到22lng xxxm.利用导数求得其最小值为g e，由此得到g x在区间1,ee上有两个零点的条件是21101120gmgmee，解这个不等式求得m的范围.【试题解析】（1）当2a时，221lnfxxx224ln2xxx.当1x时，10f，所以点1,1Pf为1,0P，又144fxxx，因此 11kf.因此所求切线方程为0111yxyx.（2）当1a时，22lng xxxm，则21122xxgxxxx.-17-因为1,xee，所以当0gx时，1x，且当11xe时，0gx；当1xe时，0gx；故g x在1x处取得极大值也即最大值11gm.又2112gmee，22g eme，221122g egmemee24e210e，则1g ege，所以g x在区间1,ee上的最小值为g e，故g x在区间1,ee上有两个零点的条件是21101120gmgmee2112me，所以实数m的取值范围是211,2e.【点睛】本题主要考查函数导数与切线，考查函数导数与零点问题，考查化归与转化的数学思想方法.第一问要求函数在某一点的切线方程，只需求出切点和斜率，利用点斜式即可求得对应的切线方程.第二问利用导数研究g x图像得到其最小值后列不等式组来求m的取值范围.22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cos,22sinxy（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线M的极坐标方程为2sin 232 02.（1）求曲线C的极坐标方程；（2）已知为锐角，直线:lR与曲线C的交点为A（异于极点），l与曲线M的交点为B，若16 2OAOB，求l的直角坐标方程.【答案】(1)4sin；(2)2yx【解析】-18-【分析】(1)先消去参数，得到曲线C的普通方程，再化成极坐标方程；(2)由题意知，直线l是过原点的，所以求出l的斜率k或 tan的值即可写出l的方程.【详解】解：（1）由题意知曲线C的直角坐标方程为2224xy，即224xyy，所以24sin，即4sin，故曲线C的极坐标方程为4sin.（2）因为曲线M的极坐标方程为2sin232 02，所以32sin 2，将代入，得4 2sin 2OB因为曲线C的极坐标方程为4sin，所以4sinOA所以2sin16 216 tan16 2sin2OAOB，则tan2，故l的直角坐标方程为2yx【点睛】设P为平面上一点，其直角坐标为,x y，极坐标为,，则cosx，siny，222+xyOP，tan0yxx23.已知函数120fxxaxaa.（1）当1a时，解不等式1fx；（2）若不等式3fx恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）(,1.（2）1,12【解析】【分析】-19-（1）120fxxaxaa，当1a，1fx，可得|2|1|1xx，即可求得答案；（2）由3fx，可得111|2|22xaxxaxaaaa，结合已知，即可求得答案.【详解】（1）120fxxaxaa当1a，1fx可得|2|1|1xx若2x则2(1)1xx，即31，显然成立若21x，2(1)1,xx可得22x，故1x若1x，2(1)1,xx可得31，显然不成立.综上所述，(,1x（2）3fx111|2|22xaxxaxaaaa1112|2|2axaxaaaa要保证不等式3fx恒成立，只需保证123aa，解得112a综上所述，1,12a【点睛】本题主要考查了求解带绝对值不等和根据不等式恒成立求参数，解题关键是掌握带绝对值不等式和不等式恒成立求参数范围的解法，考查了分析能力和计算能力,属于中档题.