2020年浙江省绍兴市嵊州市高考数学二模试卷(解析版).pdf

2020 年绍兴市嵊州市高考数学二模试卷一、选择题（共10 小题）.1已知集合Ax|0 x 2，集合 Bx|1x3，则（）AAB x|0 x1BABx|0 x3CABx|1x2DABx|0 x32双曲线?22-?=1 左、右焦点坐标分别是（）A（2，0），（2，0）B（-?，0），（?，0）C（-?，0），（?，0）D（1，0），（1，0）3若实数x，y满足约束条件?-?+?，?+?+?，?-?，则 zx2y（）A既有最大值也有最小值B有最大值，但无最小值C有最小值，但无最大值D既无最大值也无最小值4设 a，b 是空间中的两条直线，则“a，b 是异面直线”是“a，b 不平行”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5（1x）（1+2x）4展开式中x2的系数为（）A 24B 8C16D246已知函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）可能的解析式是（）Af（x）sinx?2?+12?-1B f（x）cosx?2?+12?-1Cf（x）sinx?2?+12?-1Df（x）cosx?2?+12?-17设 0p12，随机变量X 的分布列是X101Pp（1p）12pp（1+p）则当 p 在（0，12）内增大时（）AE（X）增大，D（X）增大BE（X）减小，D（X）增大CE（X）增大，D（X）减小DE（X）减小，D（X）减小8如图，圆O 是 ABC 的外接圆，过点O 的直线 l 与圆 O 相交于 M，N 两点，已知A60，BC=?，设?=x，?=y，则（）A2x+y3B2x+y 3C2xy3D2x y 39已知函数f（x）=?-?，?-?-?，?，若存在唯一的整数x，使得 x?（f（x）a）0成立，则实数a 的取值范围是（）A1a2B0a1 或 2a8C2a8D 1a1 或 2a 810已知数列 an满足 a11，an+1 an+1?2，n N*，则（）A52a183B3a1872C72a184D4a1892二、填空题：本大题共7 小题，多空题每小题6 分，单空题每小题6 分，共 36 分11 已知 a，b R，（1+ai）（1+bi）2+i（i 为虚数单位），则 a+b，|a+bi|12齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为13某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是，表面积（单位：cm2）是14 在 ABC 中，D 是 BC 边的中点，若 AB2?，AC2，CAD=?3，则 sinBAD，AD15已知 P 是椭圆?24+?=1 上任意一点，AB 是圆 x2+（y2）21 的任意一条直径（A，B 为直径两个端点），则?的最小值为，最大值为16已知 a R，设 f（x）a（x+a）（xa+1），g（x）2x 4，若同时满足：对任意的x R，有 f（x）+g（x）|f（x）g（x）|，存在 x（，2），使得f（x）?g（x）0，则实数 a的取值范围是17如图，已知正四面体ABCD 的棱长为2，E 是棱 CD 上一动点，若BFAE 于 F，则线段 CF 的长度的最小值是三、解答题：本大题共5 小题，共74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18已知函数?(?)=?-?(?-?4)（1）若 f（x0）=24，?，?2求 x0的值；（）设0，若 f（x）在区间?，?2上是单调函数，求 的最大值19如图，已知四棱锥P ABCD，平面 PAD 平面 ABCD，PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，ABCD，ABBC，PDCDBC=12AB，E 为 AB 的中点（I）证明：AD PE；（）求直线PE 与平面 PBC 所成角的正弦值20设数列 an的前 n 项的积为Tn，满足 Tn1an，n N*，记 SnT12+T22+Tn2（）证明：数列11-?是等差数列；（）记dnan+1Sn，证明：13dn1221如图，已知抛物线C：x24y，设直线l 经过点 Q（1，2）且与抛物线C 相交于 AB 两点，抛物线C 在 A，B 两点处的切线相交于点P，直线 PA，PB 分别与 x 轴交于 D，E两点（）求点P 的轨迹方程；（）当点P 不在 x 轴上时，记PDE 的面积为S1，PAB 的面积为S2，求?2?1的最小值22已知函数f（x）x（lnx+ax2）a R，记 g（x）为 f（x）的导函数（）当a=12时，若存在正实数x1，x2（x1x2）使得|g（x1）|g（x2）|，证明：x1x21；（）若存在大于1 的实数 t，使得当1x t 时都有|f（x）|2x2成立，求实数a的取值范围参考答案一、选择题：本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合Ax|0 x 2，集合 Bx|1x3，则（）AAB x|0 x1BABx|0 x3CABx|1x2DABx|0 x3【分析】进行交集和并集的运算即可解：Ax|0 x2，Bx|1x 3，ABx|1x 2，A B x|0 x3故选：D2双曲线?22-?=1 左、右焦点坐标分别是（）A（2，0），（2，0）B（-?，0），（?，0）C（-?，0），（?，0）D（1，0），（1，0）【分析】由双曲线方程求得a2，b2，再由隐含条件求得c，则答案可求解：由双曲线?22-?=1，可知双曲线的焦点在x 轴上，又 a22，b21，?=?+?=?则双曲线?22-?=1 左、右焦点坐标分别是（-?，0），（?，0）故选：B3若实数x，y满足约束条件?-?+?，?+?+?，?-?，则 zx2y（）A既有最大值也有最小值B有最大值，但无最小值C有最小值，但无最大值D既无最大值也无最小值【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可解：由 zx2y 得 y=12?-?2，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）平移直线y=12?-?2，由图象可知当直线y=12?-?2，过点 A 时，直线y=12?-?2的截距最大，此时z最小，由?-?+?=?+?+?=?，解?=-?=?，即 A（1，0），代入目标函数z x2y，得 z 120 1目标函数zx2y 的最小值是 1目标函数有最小值，但无最大值故选：C4设 a，b 是空间中的两条直线，则“a，b 是异面直线”是“a，b 不平行”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】由a，b 是异面直线?a，b 不平行反之不成立，可能相交即可判断出结论解：由 a，b 是异面直线?a，b 不平行，反之不成立，可能相交“a，b 是异面直线”是“a，b不平行”的充分不必要条件故选：A5（1x）（1+2x）4展开式中x2的系数为（）A 24B 8C16D24【分析】根据（1+2x）4的展开式，求得（1x）（1+2x）4的展开式中，x2的系数解：含 x2的项为 1?（2x）2+（x）?2x16x2，所以，x2的系数等于16，故选：C6已知函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）可能的解析式是（）Af（x）sinx?2?+12?-1B f（x）cosx?2?+12?-1Cf（x）sinx?2?+12?-1Df（x）cosx?2?+12?-1【分析】先从奇偶性上排除不符合题意的选项，然后结合特殊点的函数值的正负即可判断解：因为 ysinx 为奇函数，g（x）=2?+12?-1（x0），则 g（x）=2-?+12-?-1=1+2?1-2?=-g（x），即 g（x）为奇函数，结合函数图象可知，函数图象关于原点对称，故函数为奇函数，故排除选A，C，先考虑 x0 时，当 x 0 时，cosx0，1+2x0，2x1 0，故当 x0 且 x0 时，f（x）0，结合选项可排除D，故选：B7设 0p12，随机变量X 的分布列是X101Pp（1p）12pp（1+p）则当 p 在（0，12）内增大时（）AE（X）增大，D（X）增大BE（X）减小，D（X）增大CE（X）增大，D（X）减小DE（X）减小，D（X）减小【分析】计算当p=14和 p=13时对应的数学期望和方差，得出结论解：令p=14，则E（X）1316+012+1516=18，D（X）（1-18）2316+（0-18）212+（1-18）2516=3164令 p=13，则 E（X）129+013+149=29，D（X）（1-29）229+（0-29）213+（1-29）249=50811829，31645081当 p 在（0，12）内增大时，E（X）增大，D（X）增大故选：A8如图，圆O 是 ABC 的外接圆，过点O 的直线 l 与圆 O 相交于 M，N 两点，已知A60，BC=?，设?=x，?=y，则（）A2x+y3B2x+y 3C2xy3D2x y 3【分析】计算圆的半径r1，建立平面直角坐标系，设 C（cos，sin），则 B（cos（-2?3），sin（-2?3），用表示出各向量，计算x，y 得出结论解：设圆O 的半径为r，则 2r=?=3?60=2，r1连接 OB，OC，则 BOC2A120，以 O 为原点，以MN 为 x 轴建立平面直角坐标系，则M（1，0），N（1，0），设 C（cos，sin），则 B（cos（-2?3），sin（-2?3），?=（1+12cos-32sin，12sin+32cos），?=（1cos，sin），?=（2，0），?=（32cos-32sin，32sin+32cos），x=?=（1+12cos-32sin）（1 cos）sin（12sin+32cos）=-32+32cos-32sin，y=?=3cos-?sin，2xy 3故选：D9已知函数f（x）=?-?，?-?-?，?，若存在唯一的整数x，使得 x?（f（x）a）0成立，则实数a 的取值范围是（）A1a2B0a1 或 2a8C2a8D 1a1 或 2a 8【分析】结合指数函数和二次函数的图象画出分段函数f（x）的图象，若存在唯一的整数 x，使得 x?（f（x）a）0 成立，则需要分x0 和 x0 两类进行讨论，然后结合函数的图象，分别找出符合题意的整数x，即可得到对应的a 的取值范围解：函数f（x）的图象如下所示，x?（f（x）a）0，当 x0 时，f（x）a 0，即存在唯一的整数x0 使得 f（x）a，由图可知，该整数为 x 1，0a1；当 x0 时，f（x）a0，即存在唯一的整数x0 使得 f（x）a，由图可知，该整数为 x1，2a8综上，实数a 的取值范围是0 a1 或 2a8故选：B10已知数列 an满足 a11，an+1 an+1?2，n N*，则（）A52a183B3a1872C72a184D4a1892【分析】易知数列an单调递增，而?+?=?+?+3?3+1?6?+?，可得?72；?+?=?+?+3?3+1?6?+?+4?3，可得 a184；综合即可得出正确选项解：?+?-?=1?2?，故数列 an单调递增，由?+?=?+?+3?3+1?6?+?，则?+?=?，故?72；又?+?=?+?+3?3+1?6?+?+4?3，则?+?+4?13+4?23+?+4?173?+4?23?=?，故 a184；故选：C二、填空题：本大题共7 小题，多空题每小题6 分，单空题每小题6 分，共 36 分11已知 a，b R，（1+ai）（1+bi）2+i（i 为虚数单位），则 a+b1，|a+bi|?【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简等式左边，再由复数相等的条件可得?-?=?+?=?，利用整体运算思想方法求解|a+bi解：由（1+ai）（1+bi）2+i，得（1ab）+（a+b）i2+i，则?-?=?+?=?，由 a+b1，得 a2+b2+2ab1，即 a2+b212ab，由 1ab2，得 ab 1a2+b2 3|a+bi|=?+?=?故答案为：1，?12齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为13【分析】基本事件总数n 339，田忌的马获胜包含的基本事件有：m3 种，由此能求出田忌的马获胜的概率解：现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，基本事件总数n339，田忌的马获胜包含的基本事件有：m3 种，田忌的马获胜的概率p=?=39=13故答案为：1313 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是8-23，表面积（单位：cm2）是243【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积和表面积解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为一个棱长为2 的正方体挖去一个半径为 1的半个球如图所示：所以该几何体的体积为：V=?-1243?=?-2?3S=?+?-?+12?=243 故答案为：?-2?3，?-?14在 ABC 中，D 是 BC 边的中点，若AB2?，AC2，CAD=?3，则 sinBAD 2114，AD 3【分析】设BDCDx，由于 ADB+ADC ，可得 sinADB sinADC，由正弦定理可得2 7?=2?3?，解得sinBAD=2114利用同角三角函数基本关系式可求 cosBAD 的值，进而根据余弦定理即可解得AD 的值解：D 是 BC 边的中点，若AB2?，AC2，CAD=?3，设 BD CDx，在 ABD中，由正弦定理?=?，可得sin ADB=?=27?，在 CAD 中，由正弦定理?=?，可得 sinADC=?=2?3?，ADB+ADC ，可得：sin ADB sinADC，可得2 7?=2?3?，可得：sin BAD=2114cos BAD 5 714，BD2CD2，在 ABD，ACD 中，由余弦定理可得：AB2+AD2 2AB?AD?cos BAD AD2+AC22AD?AC?cos CAD，（2?）2+AD2 22?AD（5 714）AD2+222AD 212，整理可得：2422?AD（5 714）+2AD 0，解得 AD 3，或 2（舍去）故答案为：2114，315已知 P 是椭圆?24+?=1 上任意一点，AB 是圆 x2+（y2）21 的任意一条直径（A，B 为直径两个端点），则?的最小值为0，最大值为253【分析】由题意画出图形，利用向量的加减运算可得?=?-?设 P（x0，y0），得?=?-?可得?=-?(?+23)?+283，再由 y0的范围求出?的范围，可得?的最小值与最大值解：设圆C：x2+（y2）21 的圆心为C，则?=（?-?）?（?-?）（-?-?）?（?-?）=?-?=?-?P 是椭圆?24+?=1 上的任意一点，设P（x0，y0），?024+?=?，即?=?-?点 C（0，2），?=?+(?-?)?=?-?+?-?+?=-?(?+23)?+283y0 1，1，当 y0 1 时，?取得最小值1，当?=-23时，?取得最大值283?的最小值为0，最大值为283-?=253故答案为：0；25316已知 a R，设 f（x）a（x+a）（xa+1），g（x）2x 4，若同时满足：对任意的x R，有 f（x）+g（x）|f（x）g（x）|，存在 x（，2），使得f（x）?g（x）0，则实数 a的取值范围是 2a 1【分析】根据条件 可判断出x（，2）时，f（x）R；x 2，+）时，f（x）0，根据条件 讨论可得 a0 时均不满足题意，舍去，故只能a0，列出不等式即可解：由题g（x）在 R 上单调递增，g（2）0，由 对任意的x R，有 f（x）+g（x）|f（x）g（x）|可得：当 x（，2）时，g（x）0，则 f（x）R，当 x 2，+）时，g（x）0，则 f（x）0，存在 x（，2），使得f（x）?g（x）0，等价于存在x（，2），使得 f（x）0，当 a0 时，即有f（x）0，显然不满足条件，舍去，当 a0 时，存在x 2，+）使得f（x）0，不满足 ，舍去；当 a0 时，有x（，a 1）（a，+）等价于f（x）0，x（a1，a）等价于 f（x）0，故只需?-?-?-?，解得 2a 1，故答案为：2a 117如图，已知正四面体ABCD 的棱长为2，E 是棱 CD 上一动点，若BFAE 于 F，则线段 CF 的长度的最小值是 21-33【分析】取AB 中点 O，则 F 在以 O 为球心，1 为半径的球上，从而F 的轨迹是一段圆弧，设 O 在平面 ACD 上的投影点为O1，当 F 在 CO1上时，CF 取到最小值解：取 AB 中点 O，BF AF，F 在以 O 为球心，1 为半径的球上，OF 1，点 F 平面 ACD 上，F 的轨迹是一段圆弧，设 O 在平面 ACD 上的投影点为O1，正四面体ABCD 的棱长为2，OO1等于点 B 到平面 ACD 的距离的一半，OO1=12?-(23?-?)?=63，O1F=?-(63)?=33，F 点轨迹如图所示，当 F 在 CO1上时，CF 取到最小值，OO1平面 ACD，CF?平面 ACD，OO1CO1，CFCO1 O1F=?-?-O1F=?-23-33=21-33故答案为：21-33三、解答题：本大题共5 小题，共74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18已知函数?(?)=?-?(?-?4)（1）若 f（x0）=24，?，?2求 x0的值；（）设0，若 f（x）在区间?，?2上是单调函数，求 的最大值【分析】（1）由题意利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再根据条件求出x0的值（）由题意利用余弦函数的单调性求得的最大值解：（1）函数?(?)=?-?(?-?4)=1+?2?2-1+?(2?-?2)2=12（cos2xsin2x）=22cos（2x+?4），若 f（x0）=24，?，?2，则 cos（2x0+?4）=12，且 2x0+?4?4，5?4，2x0+?4=?3，x0=?24（）0，若 f（x）=22cos（2x+?4）在区间?，?2上是单调函数，在区间?，?2上，2 x+?4?4，+?4，+?4 ，求得 34，故 的最大值为3419如图，已知四棱锥P ABCD，平面 PAD 平面 ABCD，PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，ABCD，ABBC，PDCDBC=12AB，E 为 AB 的中点（I）证明：AD PE；（）求直线PE 与平面 PBC 所成角的正弦值【分析】（）取AD 中点 F，连接 EF，PF，由 PAPD，得 PFAD，再证明AD EF然后利用直线与平面垂直的判定可得AD 平面 PEF，从而得ADPE；（）由已知利用平面与平面垂直的性质可得PF平面ABCD，求出三棱锥PBCE的体积取BC 的中点 G，连接 FG，PG，得 FG BC，证明 BC平面 PFG，得 BCPG再求出三角形PBC 的面积，利用等体积法求得E 到平面 PBC 的距离为h，求出 PE，可得直线 PE 与平面 PBC 所成角的正弦值为?【解答】（）证明：取AD 中点 F，连接 EF，PF，PA PD，PF AD，又 EF 为 ABD 的中位线，EF BD设 PDCDBC1，则 AB2，AD=?，BD=?，AD2+BD2AB2，得 AD BD，故 AD EF又 EF PF F，AD平面 PEF，得 ADPE；（）解：平面PAD 平面 ABCD，且平面PAD 平面 ABCD AD，PF?平面 PAD，PFAD，PF平面 ABCD，三棱锥 PBCE 的体积?-?=13?=1312?22=212取 BC 的中点 G，连接 FG，PG，FG BC，又由 PF平面 ABCD，知 PFBC，而 FG PFF，BC平面 PFG，故 BCPGFG=32，PF=22，PG=?+?=112，则?=12?112=114设 E 到平面 PBC 的距离为 h，则由 VPBCEVEPBC，知13?=212，即 h=2211又 PE=?+?=?，直线 PE 与平面 PBC 所成角的正弦值为?=221120设数列 an的前 n 项的积为Tn，满足 Tn1an，n N*，记 SnT12+T22+Tn2（）证明：数列11-?是等差数列；（）记dnan+1Sn，证明：13dn12【分析】（）由已知数列递推式求得首项，由题意可知，?+?=?+1?=1-?+11-?，变形整理可得11-?+1-11-?=?则数列11-?是公差为1 的等差数列，且首项为11-?1=?；（）由（）求得Tn 1an=1?+1，分两步把?=1(?+1)2分别缩小与放大，再由裂项相消法求和即可证明13dn12【解答】证明：（）Tn1an，a11a1，即?=12由题意可知，?+?=?+1?=1-?+11-?，?+11-?+1=11-?，即11-?+1-11-?=?数列 11-?是公差为1 的等差数列，且首项为11-?1=?；（）由（）知，11-?=?+(?-?)?=?+?，则 Tn1an=1?+1，首先，?=1(?+1)21(?+1)(?+2)=1?+1-1?+2，SnT12+T22+Tn2（12-13）+（13-14）+（1?+1-1?+2）=12-1?+2又?+?=?+1?+2，dnan+1Sn?+1?+2+1?+2-12=12；其次，?=1(?+1)21(?+1)2-14=1?+12-1?+32=?(12?+1-12?+3)SnT12+T22+Tn22(13-15)+(15-17)+?+(12?+1-12?+3)=?(13-12?+3)dnan+1Sn?+1?+2-?(13-12?+3)?+1?+2+22?+4-23=13综上所述，13dn1221如图，已知抛物线C：x24y，设直线l 经过点 Q（1，2）且与抛物线C 相交于 AB 两点，抛物线C 在 A，B 两点处的切线相交于点P，直线 PA，PB 分别与 x 轴交于 D，E两点（）求点P 的轨迹方程；（）当点P 不在 x 轴上时，记PDE 的面积为S1，PAB 的面积为S2，求?2?1的最小值【分析】（）因为抛物线C：y=?24，其导数为y=?2，设 A（x1，y1），B（x2，y2），分别写出切线PA，PB 的方程分别，求出交点P 的坐标，设直线 l 的方程为yk（x1）+2，代入 x24y，得：关于x 的一元二次方程，结合韦达定理得x1+x2，x1x2，且 0，得 xP2k，yPk 2，消去参数k，即可得点P 的轨迹方程（）解法1：因为切线PA 的方程为y=?12?-?124，所以xD=?12，同理得：xE=?22，得|DE|=|?2-?1|2，又 P（2k，k2），故 S1=12?|?|?|?-?|，由（）可知|AB|=?+?|?-?|，又点 P 到直线 AB 的距离 dP，所以 S2=12?|?|?，所以?2?1=4|?2-?+2|?-2|，令 k2t，则?2?1=4|?2+3?+4|?|=4|t+4?+3|，分两种情况 当 t0 时，当 t0 时，得?2?1的最小值解法 2：（）设A（x1，y1），B（x2，y2）写出切线PA，PB 的方程，设P（x0，y0）代入切线PA，PB 方程，得x1x02（y0+y1），且 x2x02（y0+y2），进而得直线AB 的方程为 x0 x2（y0+y）将点Q（1，2）坐标代入AB 直线方程，所以x02（y0+2），进而得点P 的轨迹方程（）写出切线 PA 的方程为x1x2（y+y1），得 xD=?12，同理得：xE=?22，得|DE|=|?2-?1|2，又 P（x0，?0-42），故 S1=12?|?|?|?|，由（）知，直线 AB 的方程为 x0 x2（y0+y），且 x02y040，所以直线AB 的方程为x0 x2y x0+40，过 P 作 y 轴的平行线交AB于点 G，得交点G 坐标 xG，yG，进而得|GP|，得 S2=12?|?|?|?-?|，再分析?2?1，令x04 t，则?2?1=2|t+16?+6|，分两种情况 当 t0时，当 t0 时讨论，进而得?2?1的最小值【解答】解法1：（）因为抛物线C：x24y，所以 y=?24，其导数为y=?2，设 A（x1，y1），B（x2，y2），则切线 PA，PB 的方程分别为y=?12?-?124，和 y=?22?-?224，联立解得它们的交点P 的坐标为xP=?1+?22，yP=?1?24，设直线 l 的方程为yk（x1）+2，代入 x24y 消去 x 化简整理得：x24kx+4k 80，所以 x1+x24k，x1x24k8，且 0，所以 xP 2k，yPk2，于是 xP2yP+4，故点 P 的轨迹方程为x2y40（）因为切线PA 的方程为y=?12?-?124，所以 xD=?12，同理得：xE=?22，所以|DE|=|?2-?1|2，又 P（2k，k2），故 S1=12?|?|?|?-?|=|?2-?1|?|?-2|4，由（）可知|AB|=?+?|?-?|，又点 P 到直线 AB 的距离 dP=|2?2-2?+4|1+?2，所以 S2=12?|?|?=|k2k+2|?|x2 x1|，所以?2?1=4|?2-?+2|?-2|，令 k2 t，则?2?1=4|?2+3?+4|?|=4|t+4?+3|，当 t0 时，?2?1 28；当 t0 时，?2?14综上所述，?2?1的最小值为4解法 2：（）设A（x1，y1），B（x2，y2）则切线 PA，PB 的方程分别为x1x2（y+y1）和 x2x2（y+y2），设 P（x0，y0），则 x1x02（y0+y1），且 x2x02（y0+y2），所以（x1，y1），（x2，y2）是方程x0 x2（y0+y）的两组解，即直线 AB 的方程为x0 x2（y0+y）因为直线AB 经过点 Q（1，2），所以x0 2（y0+2），所以点 P 的轨迹方程为x2y 40（）因为切线PA 的方程为x1x2（y+y1），所以xD=2?1?1=?12，同理得：xE=?22，所以|DE|=|?2-?1|2，又 P（x0，?0-42），故 S1=12?|?|?|?|=|?2-?1|?|?0-4|8，由（1）知，直线AB 的方程为 x0 x2（y0+y），且 x02y040，所以直线AB 的方程为x0 x2yx0+4 0，过 P 作 y 轴的平行线交AB 于点 G，则 xGxPx0，yG=?0?-?0+42=?02-2?0+42，所以|GP|?02-?0+42-?|=?02-2?0+82，所以 S2=12?|?|?|?-?|=?02-2?0+84?|?-?|，所以?2?1=2|?02-2?0+8|?0-4|，令 x04t，则?2?1=2|t+16?+6|，当 t0 时，?2?1 28；当 t0 时，?2?14综上所述，?2?1的最小值为422已知函数f（x）x（lnx+ax2）a 一、选择题，记g（x）为 f（x）的导函数（）当a=12时，若存在正实数x1，x2（x1x2）使得|g（x1）|g（x2）|，证明：x1x21；（）若存在大于1 的实数 t，使得当1x t 时都有|f（x）|2x2成立，求实数a的取值范围【分析】（1）把a=12代入后对函数求导，然后结合导数与单调性关系可分析出x1+x22ln（x1x2），结合基本不等式及单调性可证；（2）当 1xt 时，都有|f（x）|2x2成立，等价于|lnx+ax 2|2x，即 a22-?或a+22-?，构造函数h（x）=2-?，结合导数与最值的关系可求解：（I）当 a=12时，g（x）f（x）lnx+x1，所以?(?)=?+1?0，故 g（x）在（0，+）上单调递增，又|g（x1）|g（x2）|，所以 g（x1）+g（x2）0，则 lnx1+x11+lnx2+x21 0，整理可得，x1+x22ln（x1x2），x2x10，x1+x2?，于是?-?(?)?，整理可得，?(?)+?-?，即 g（?）0g（1），又函数 f（x）在（0，+）上单调递增，故?1，（II）当 1xt 时，都有|f（x）|2x2成立，等价于|lnx+ax2|2x，即 a22-?或 a+22-?，设 h（x）=2-?，则?(?)=?-3?，当 1x e3时，h（x）0，函数 h（x）单调递减，当x e3时，h（x）0，函数h（x）单调递增，考虑存在大于1 的实数 t，使得当1x t 时，都有a22-?，取 1te3，则 1x t 时，要使得 a2h（x）恒成立，只要 a2 h（x）maxh（1）2，所以 a4，考虑存在大于1 的实数 t，使得当1x t 时，都有a22-?，若 a+2h（1）2，即 a0，则由 h（x）在 1，e3上单调递减且h（1）2 可知，必存在 1t e3，使得当1xt 时，a+22 恒成立，故 a0 符合题意，若 a0，则 a+2h（1）2，结合 h（x）在1，e3上单调递减可知，当x（1，e3时，a+22-?，故不存在大于1 的实数 t，使得 a+22-?成立