《分类计数原理与分步计数原理使用技巧》.pdf

分类计数原理与分步计数原理使用技巧分类计数原理与分步计数原理既是理解排列、组合的概念，推导排列数、组合数公式的原则和依据，又是求解计数问题的一种最基本的方法。运用分类原理，应注意“类”与“类”之间具有独立性和并列性；运用分步原理，应注意“步”与“步”之间的连续性。在理解和使用两个原理时应注意以下几个问题。一.正确区分“类”与“步”是解题的关键例 1.一个口袋里有 5 封信，另一个口袋里有4 封信，各封信内容均不相同。（1）从两个口袋里，各取1 封信，有多少种不同的取法？（2）从两个口袋里，任取1 封信，有多少种不同的取法？（3）把这两个口袋里的9 封信，分别投入 4 个邮筒，有多少种不同的放法？分析：（1）各取 1 封信，无论从哪个口袋里取，都不能算完成了这件事，因此应分两个步骤完成。由分步计数原理知，取法有：5420（种）。（2）任取 1 封信，无论从哪个口袋里取，都能单独完成这件事，因此有两类办法。由分类计数原理知，取法共有：549（种）。（3）从每封信投入邮筒的可能性考虑，第1 封信投入邮筒有 4 种可能，第2 封信仍有 4 种可能，,，第 9 封信仍有 4 种可能。由分步计数原理可知，共有49种不同的放法。二.注意分类的独立性、分步的连续性例 2.某艺术小组有 9 人，每人至少会钢琴和小号中的1 种乐器，其中 7 人会钢琴，3 人会小号，从中选出会钢琴和会小号的各1 人，有多少种不同的选法？分析：由题意知，在艺术小组9 人中，有且仅有 1 人既会钢琴又会小号（称为“多面手”），只会钢琴的有6 人，只会小号的有 2 人。把“多面手”的选法分为两类：（1）“多面手”入选，则有8 种选法；（2）“多面手”不入选，则选法有：6212（种）因此选法共有：86220（种）注意：像本题中的“多面手”可称为“特殊对象”，在解题中按“特殊对象”进行分类是常用的方法，要注意分类的独立性。在综合运用两个原理时，既要会合理分类，又要会合理分类，一般是先分类，后分步。例 3.用 6 种不同的颜色为广告牌着色，要求在、四个区域中相邻的区域用不同的颜色，共有多少种不同的着色方法？分析：完成着色这件事，共分四个步骤，为着色有6 种方法，为着色有5 种方法，为着色有4 种方法，为着色也有4 种方法，故着色方法共有：6544480（种）注意：解这种问题应注意分步的连续性，必要时，分步中再分类。三.两个原理是求解计数问题的一种最基本的方法例 4.同班 4 人各写 1 张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿1 张恰好是别人送出的贺年卡，则4 张贺年卡不同的分配方式有（）A.6 种B.9 种C.11 种D.23 种分析：设 4 人为甲、乙、丙、丁，则甲送出的卡片可以且只可以由其他三人中的一人收到，故有 3 种分配方式。以乙收到为例，其他人收到卡片的情况可分为两类：第一类，甲收到乙送出的卡片，这时丙、丁只有互送卡片 1 种分配方式；第二类，甲收到的不是乙送出的卡片，这时，甲收到卡片的方式有2 种（分别是丙或丁送出的），对每一种情况，丙、丁收到卡片的方式只有1 种。因此，根据分步计数原理，不同的分配方式有：3（12）9（种）。注意：解题的关键在第 2 个人和第 3 个人的拿法，只要给他们规定一个拿卡的顺序，依次进行，则根据分步计数原理即可求得，也可画示意图帮助思考。四.使用两个原理，也要注意间接法的使用例 5.在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品，从这 100 件产品中任意抽出 3 件，至少有 1 件次品的抽法有多少种？分析：抽出 3 件，至少有 1 件次品的抽法的种数，就是从100 件中抽出 3件的抽法总数减去3 件都是合格品的抽法的种数，即：CC10039839604（种）。注意：所有问题的解决都是分类或分步进行的，只不过排列、组合把一些程序化的步骤简化成一步，因此，两个原理贯穿本章始终。