【数学】甘肃省张掖市2019-2020学年高二下学期期中考试(理)2.pdf
甘肃省张掖市 2019-2020学年高二下学期期中考试（理）（考试时间：120 分钟试卷满分：150 分）测试范围：选修 2-2一、选择题（本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知复数1izi（i为虚数单位），则复数z的虚部是（）A1B-1CiDi2曲线sin(02)yxx与x轴所围成的封闭图形的面积为（）A2B2CD43已知复数z 满足134zii，则|z()A52B54C52D5 224利用反证法证明“若|2|2|0 xy，则2xy”时，假设正确的是（）A,x y都不为 2B xy 且,x y都不为 2C,x y不都为 2D xy 且,x y不都为 25设3443izi，21fxxx，则fz（）AiBiC1iD1i6 若曲线3222yxaxax上任意一点处的切线的倾斜角都是锐角，那么整数a等于（）A0B1C2D17欧拉公式eixcosxisin x(i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限8 用数学归纳法证明22nn（*nN，5n）成立时，第二步归纳假设的正确写法为（）A假设nk时，命题成立B假设nk（*kN）时，命题成立C假设nk（5n）时，命题成立D假设nk（5n）时，命题成立9函数|()sin|2xf xex的部分图象大致为（）ABCD10 在复平面内，复数,zabi aR bR对应向量OZ（O为坐标原点），设OZr，以射线Ox为始边，OZ为终边逆时针旋转的角为，则cossinzri，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：1111cossinzri，2222cossinzri，则121 21212cossinz zrri，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：cossincossinnnnzrirnin，则1013i（）A10241024 3iB102410243iC5125123iD5125123i11定义方程fxfx的实根0 x叫做函数fx的“新驻点”，若函数21xg xe，ln1h xx，31xx的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（）A abcBcbaCcabDbca12某莲藕种植塘每年的固定成本是1 万元，每年最大规模的种植量是8 万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5 元.如果销售额函数是32191()8162f xxaxx（x是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，a是常数），若种植2 万斤，利润是2.5 万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕（）A8 万斤B6 万斤C3 万斤D5 万斤二、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分）13一辆汽车沿直线方向行驶，刹车后汽车速度29v tt（v 的单位：m/s，t 的单位：s），则该汽车刹车后至停车时的距离为_米.14在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为1S，外接圆面积为2S，则1214SS，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体PABC的内切球体积为1V，外接球体积为2V，则12VV_.15在等差数列na中，若100a，则有等式12121919,nnaaaaaannN成立，类比上述性质，相应地：在等比数列nb中，若91b，则有等式 _ 成立.16已知函数331fxxx，若函数21g xfxafxa有四个零点，则实数的a的取值范围是_三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）已知复数3i()zb bR，且13iz为纯虚数（1）求复数z；（2）若2zwi，求复数w的模w18（12 分）已知1322i（i 为虚数单位），求：（1）222222；（2）221；（3）类比21i i，探讨（31，为虚数）的性质，求nnR的值.19（12 分）已知yfx是二次函数，方程0fx有两个相等的实根，且22fxx.（1）求fx的解析式（2）求曲线yfx与曲线241yxx所围成的图形的面积.20（12 分）某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量根据调查数据，该昆虫的数量y（万只）与时间x（年）（其中*xN）的关系为2xye为有效控制有害昆虫数量、保护生态环境，环保部门通过实时监控比值21ayMxx（其中a为常数，且0a）来进行生态环境分析（1）当1a时，求比值M取最小值时x的值；（2）经过调查，环保部门发现：当比值M不超过4e时不需要进行环境防护为确保恰好3年不需要进行保护，求实数a的取值范围（e为自然对数的底，2.71828e）21（12 分）某公司为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t 百万元，可增加销售额约为27tt百万元.（）若该公司将一年的广告费控制在4 百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此增加的收益最大？（）现该公司准备共投入5 百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费(15)xx百万元，可增加的销售额约为214ln2xx百万元，请设计一个资金分配方案，使该公司由此增加的收益最大.（注：收益=销售额-投入，这里除了广告费和技术改造费，不考虑其他的投入）22（12 分）已知函数()(2)2(1ln)f xa xxa（1）当1a时，求()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间10,2上无零点，求a的最小值.参考答案123456789101112BDDCABBCDDBB13 18141271512121717,nnb bbb bbnnN16,31,.17（本小题满分10 分）【答案】（1）3iz（2）2271()()255w【解析】1 133339ibibb i13iz是纯虚数330b，且90b1b，3iz3237712222555iiiiwiiii2271()()255w18（本小题满分12 分）【答案】（1）3（2）1（3）1,3,32,31nnknkkZnk【解析】（1）1322i，21322i，31，210，1，22223423422244445583.（2）42222221111.（3）由（1）可知21322i，31，1,3,32,31nnknkkZnk.19（本小题满分12 分）【答案】（1）221fxxx（2）9【解析】（1）设20fxaxbxc a，则240,222,bacaxbx所以1,2,1abc，221fxxx.（2）2221,341yxxxyxx或0 x.02232033241213|93Sxxxxdxxx.20（本小题满分12 分）【答案】（1）2x（2）13 7,22e【解析】（1）当1a时，22(1)1xeMxxx，222121xxxeMxx列表得：20单调减极小值单调增M在1,2上单调递减，在2,上单调递增M在2x时取最小值；（2）22212(0)1xa xxeMaxx根据（1）知：M在1,2上单调减，在2,上单调增,确保恰好3 年不需要进行保护43444122372413MeeaeMeaeMe，解得：13722ea,实数a的取值范围为13 7,22e21（本小题满分12 分）【解析】（）设投入t 百万元的广告费后增加的收益为f(t)百万元，则由2227639 04ftttttttt，当 t=3 时，f(t)取得最大值9，即投入 3 百万元的广告费时，该公司由此增加的收益最大.（）用于技术改造的资金为x 百万元，则用于广告促销的资金为(5-x)百万元，设由此增加的收益是g(x)百万元.则222114ln57 5534ln522g xxxxxxxx.2414343,15xxxxgxxxxxx.则当14x时，0gx；当45x时，0gx.当 x=4 时，g(x)取得最大值.即 4 百万元用于技术改造，1 百万元用于广告促销，该公司由此增加的收益最大.22（本小题满分12 分）【答案】（）fx的单调递减区间为0,2，单调递增区间为2,（2）24ln2.【解析】（1）当1a时，12lnfxxx，定义域为0,，则21fxx，令0fx，得2x，令0fx，得02xfx的单调递减区间为0,2，单调递增区间为2,（2）函数fx在区间10,2上无零点，在区间10,2上，0fx恒成立或0fx恒成立，22 1ln212lnfxa xxaaxx，111122 1 ln4ln 222222faaa，当102f时，24ln 2a，在区间10,2上，212ln4ln 212lnfxaxxxx，记4ln 212lnxg xx，114ln 212ln02212g则24ln 2gxx，在区间10,2上，24ln 24ln 240 xgx，在区间10,2上，g x单调递减，102g xg，即4ln 212ln0 xx，4ln 212ln0fxxx，即0fx在区间10,2上恒成立，满足题意；当102f时，4ln 22a，24ln 2110162aee，222222 1ln21aaaafea eeaae，24ln 20a，210ae，22210aafeae，fx在21,2ae上有零点，即函数fx在区间10,2上有零点，不符合题意.综上所述，24ln 2a，此时，函数fx在区间10,2上无零点，a的最小值为24ln 2.
