最新江苏省南通市实验中学高三数学高考模拟测试卷三.pdf
数学试卷一、填空题1.已知集合2,1,0M，102xNx，则MNI_2.已知 i 是虚数单位，且复数z 满足 1Z2i，则 Z _3.底面半径为1，母线长为3 的圆锥的体积是_4.某学校选修网球课程的学生中，高一、高二、高三年级分别有50 名、40 名、40 名现用分层抽样的方法在这130 名学生中抽取一个样本，已知在高二年级学生中抽取了8 名，则在高一年级学生中应抽取的人数为_5.根据如图所示的伪代码，已知输出值y 为 3，则输入值x为 _Read x0If xThensinyxElse21yxEnd IfPrinty6.甲乙两人各有三张卡片，甲的卡片分别标有数字1、2、3，乙的卡片分别标有数字0、1、3.两人各自随机抽出一张，甲抽出的卡片上的数字记为a，乙抽出的卡片上的数字记为b，则 a与 b 的积为奇数的概率为_7.若直线1:240lxy与2:430lmxy平行，则两平行直线1l,2l 间的距离为 _8.已知等比数列na的前 n 项和为nS，若37S，663S，则1a _9.设双曲线222210,0 xyabab的一条渐近线方程为20 xy,则该双曲线的离心率为_.10.已知直线:4lyx与圆22:211Cxy相交于 P，Q 两点，则 CP CQuuu ruuu r_.11.已知正实数x，y 满足40 xyxy，若xym恒成立，则实数m 的取值范围为 _12.设 a，b 是非零实数，且满足sincos1077tan21cossin77abab，则ba_13.已知函数43fxaxax有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a的值为 _14.若存在正实数x，y，z 满足223310yzyz，且 lnlneyxzz，则xy的最小值为 _二、解答题15.已知函数22cos2 3sincossinfxxxxx，Rx.(1)求函数fx 的单调增区间；(2)求方程0fx在 0,上的所有解16.如图，在三棱柱111ABCA BC 中，四边形11AA B B 为矩形，11AA B BABC平面平面，E，F 分别是侧面11AA BB，11BBC C 对角线的交点求证：(1)EFABC/平面；(2)1BBAC.17.为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD，其中3AB百米，5AD百米，且BCD是以 D 为直角顶点的等腰直角三角形拟修建两条小路AC，BD(路的宽度忽略不计)，设,2BAD.(1)当5cos5时，求小路AC 的长度；(2)当草坪 ABCD 的面积最大时，求此时小路BD的长度18.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:10 xyMabab的离心率为12，左、右顶点分别为A、B，线段AB的长为 4.点 P 在椭圆 M 上且位于第一象限，过点A，B 分别作1lPA，2lPB，直线1l，2l 交于点 C.(1)若点 C 的横坐标为-1，求点 P 的坐标；(2)直线1l 与椭圆 M 的另一交点为Q，且 ACAQu uu ruuu r，求的取值范围19.已知函数3xfxx e，Rg xxa a(e 是自然对数的底数，2.718eL)(1)求函数fx 的极值；(2)若函数 yfx g x 在区间 1,2 上单调递增，求实数a 的取值范围；(3)若函数fxg xh xx在区间0,上既存在极大值又存在极小值，并且函数h x 的极大值小于整数b，求 b的最小值20.记无穷数列na的前 n 项中最大值为nM，最小值为nm，令2nnnMmb，数列na的前 n 项和为nA，数列nb的前 n 项和为nB.(1)若数列na是首项为2，公比为2 的等比数列，求nB；(2)若数列nb是等差数列，试问数列na是否也一定是等差数列？若是，请证明；若不是，请举例说明；(3)若nn2100bn，求nA.21.按要求回答下列问题：(1)选修 4-2：矩阵与变换 已知矩阵12aAb，满足1638A，求矩阵 A 的特征值(2)选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，直线 l 的参数方程为22xtyt(t 为参数)在极坐标系中(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，极轴与x 轴的非负半轴重合)，圆 C 的极坐标方程为42cos4，求直线l 被圆 C 截得的弦长22.如图，将边长为2 的正方形 ABCD 沿对角线BD折叠，使得ABDCBD平面平面，又AEABD平面.(1)若2AE，求直线DE与直线 BC 所成的角；(2)若二面角ABED的大小为3，求AE的长度23.已知直线2x上有一动点Q，过点 Q 作直线1l 垂直于 y 轴，动点P 在1l 上，且满足0OP OQu uu ruu u r(O 为坐标原点)，记点 P的轨迹为曲线C.(1)求曲线 C 的方程；(2)已知定点1,02M，1,02N，A 为曲线 C 上一点，直线AM交曲线 C 于另一点B，且点 A 在线段MB上，直线AN 交曲线 C 于另一点D，求MBD的内切圆半径r 的取值范围参考答案1.答案：2解析：2.答案：2解析：3.答案：2 23解析：4.答案：10 解析：5.答案：-2 解析：6.答案：49解析：7.答案：52解析：8.答案：1 解析：9.答案：52解析：10.答案：0 解析：11.答案：,9解析：12.答案：3解析：13.答案：116或3 312解析：14.答案：2e解析：15.答案：(1)22cos2 3sincossinfxxxxx3sin2cos22sin26xxx.由2 22 262kxk，Zk，解得36kxk，Zk，所以函数fx的单调增区间为,36kk，Zk.(2)由0fx得2sin206x，解得26xk，即122kx，Zk.因为0,x，所以512x或1112x.解析：16.答案：(1)因为三棱柱111ABCA BC，所以四边形11AA B B，四边形11BBC C均为平行四边形因为 E，F 分别是侧面11AAB B，11BBC C对角线的交点，所以 E，F 分别是1AB，1CB的中点，所以/EFAC.因为EFABC平面，ACABC平面，所以EFABC/平面.(2)因为四边形11AAB B为矩形，所以1BBAB.因为平面11AA B BABC平面平面，111BBABB A平面，11ABB AABCABI平面平面，所以1BBABC平面.因为ACABC平面，所以1BBAC.解析：17.答案：(1)在ABD中，由2222cosBDABADAB AD，得2146 5cosBD，又5cos5，所以2 5BD.因为,2，所以2252sin1cos155.由sinsinBDABBADADB，得2 532sin5ADB，解得3sin5ADB.因为BCD是以 D 为直角顶点的等腰直角三角形，所以2CDB且2 5CDBD，所以3coscossin25ADCADBADB.在ACD中，2222232cos52 5252 5375ACADDCADDCADC,所以37AC.(2)由上题得2146 5 cosBD，21135sin22ABCDABDBCDSSSBD3 57sin3 5 cos23 5157sin2cos7sin22，此时2sin5，1cos5且0,2，当2时，四边形ABCD 的面积最大，即2，此时1sin5，2cos5，所以22146 5 cos146 5265BD，即26BD，所以当草坪ABCD 的面积最大时，小路BD的长度为26百米.解析：18.答案：(1)设直线AP的斜率为k，00,P xy，由题意得 24a，12ca，所以2,1,3acb，所以椭圆 M 的方程为22143xy.因为点 P 在椭圆 M 上，且位于第一象限，所以302k，2200143xy，直线AP的方程为2yk x因为2000200032244APBPyyykkxxx，所以34BPkk，所以直线BP的方程为324yxk联立2324yk xyxk，解得22268431243kxkkyk即2226812,43 43kkPkk.因为1lPA，所以AC1kk，则直线 AC 的方程为12yxk因为2lPB，所以BC43kk，则直线 BC 的方程为423yk x联立12423yxkyk x，解得22286431643kxkkyk即2228616,43 43kkCkk.因为点 C 的横坐标为 1，所以2286143kk，解得12k.因为302k，所以12k，所以点 P 的坐标为31,2.(2)设QQCC,Q xyC xy，又直线AC 的方程为12yxk联立2212143yxkxy，消去 y，整理得222341616120kxxk，所以2Q21612234kxk，解得2Q26834kxk.因为 ACAQuuu ruuu r，所以2222222228621634274316821291243234CQkkkxkkxkkkk.因为302k，所以25 16,189.解析：19.答案：(1)3xfxx e，2xfxx e，令0fx，解得2x，列表如下：x,22 2,fx+0-fxZ极大值所以当2x时，函数fx取得极大值，极大值22fe，无极小值(2)由3xyfx g xxxa e，得223323123xxyexa xaxaexa xa因为0 xe，令2123m xxa xa，所以函数yfx g x在区间1,2上单调递增等价于对任意的1,2x，函数0m x恒成立，所以1020mm，解得3a，故 a 的取实范围是3,(3)由题意得3xfxg xx exah xxx，则2233xexxahxx.令233xr xexxa,因为h x在区间0,上既存在极大值又存在极小值，所以0hx在区间0,上有两个不等的实数根，即2330 xr xexxa在区间0,上有两个不等的实数根1212,x xxx因为2233231xxxrxexxxexxxx e，所以当0,1x时，0rx，rx单调递增；当1,x时，0rx，rx单调递减，则101x，所以0010rr，解得3ae，所以332233330244reae.因为rx在区间0,上连续且010rr，3102rr，所以0rx在区间0,1和区间31,2上各有一个实数根，所以函数h x在区间0,上既存在极大值又存在极小值时，有3ae，并且在区间0,1上存在极小值1fx，在区间31,2上存在极大值2fx，所以222223xexxah xx，且2222222330exxxahxx，所以222233aexxx，所以22222222222133321h xxexxexxxexxx，令2xHxex，则1xHxex，当1,x时，0Hx，Hx单调递减，因为231,2x，所以2312hh xh，即32211,12h xee，则32131142ee.因为h x的极大值小于整数b，所以满足题意的整数b 的最小值为4.解析：20.答案：(1)因为数列na是首项为2，公比为2 的等比数列，所以nn2a，所以n2m，nnn2Ma，则nn 1n22122b，所以nn 1n121212Bnn.(2)若数列nb是等差数列，设其公差为d.因为111112222nnnnnnnnnnMmMmMmmmbbd.根据nM，nm的定义，有以下结论：1nnMM，1nnmm，且两个不等式中至少有一个取等号若0d，则必有1nnMM，所以11nnnnaMMa，即对2n，Nn都有1nnaa，所以nnMa，1nma，111111122222nnnnnnnnnnMmMmaaaaaabbd，所以12nnaad，即na为等差数列；当0d时，则必有1nnmm，所以11nnnnamma，即对2n，Nn都有1nnaa，所以1nMa，nnma，111111122222nnnnnnnnnnMmMmaaaaaabbd，所以12nnaad，即na为等差数列；当0d时，11122nnnnnnMmMmbb，11022nnnnMMmm，因为1nnMM，1nnmm中必有一个为0，所以根据上式，一个为0，则另一个亦为0，即nn 1MM，1nnmm，所以na为常数数列，所以na为等差数列，综上，数列na也一定是等差数列(3)因为n 1nnn 1n2100121002100bbnn，所以当7n时，n1n0bb，即1267bbbbL，当7n时，n1n0bb，即789bbbL以下证明：1267aaaaL，789aaaL当7n时，若nn1nmaM，则n+1nMM，n+1nmm，所以n1nbb，不合题意；若n1naM，则n+1n 1Ma，n+1nmm，则nnn 1n22MmMM，得nn1bb，与nn 1bb矛盾，不合题意；所以n1nnaMa，即1267aaaaL；同理可证：789aaaL，即7n，Nn时，nn 1aa.当7n时，n1Ma，nnma，所以1nn2aab，所以nn12aba，1198ab，因为nn2100bn，所以n+1n220098an，所以nn 22n4 12120098210024122n nAnnn；当7n时，1267aaaaL，且789aaaL，所以8n722007981046ma，则nM为1a或na.若nM为1a，则nb为常数，与题意不符，所以nnMa，所以n7n2aab，所以n 1nn7222001046aban，所以9n79n 22n789n21287249001442001046721009466640122nnAAaaannnL，所以n22nn227210024,821009466640,nnnAnnn,Nn.解析：21.答案：(1)因为1113632368aaAbb，所以32ab，所以矩阵A的特征多项式为23132254022f.令0f，解得矩阵A 的特征值为1 或 4.(2)将直线l的参数方程为22xtyt化为普通方程为240 xy.将圆 C 的极坐标方程4 2 cos4化为直角坐标方程为22440 xyxy，即22228xy，其圆心2,2，半径为2 2，所以圆心 C 到直线 l 的距离244255d，所以直线l 被圆 C 截得的弦长为22212 522255.解析：22.答案：(1)因为正方形ABCD 的边长为2，所以ABAD，CBCD，2ABADCDBC.又AEABD平面，所以以点 A 为原点，AB，AD，AE所在直线为x 轴，y 轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系过点C作 CFBD，垂足为F.因为ABDCBD平面平面，CFCBD平面，ABDCBDBDI平面平面，所以AEABD平面.因为2CBCD，所以 F 为BD的中点，2CF.因为2AE，所以0,0,2E，2,0,0B，0,2,0D，1,1,0F，1,1,2C，所以0,2,2DEuuu r，1,1,2BCuuu r，所以0DEBCuuu ru uu r，所以DEBCuuu ruuu r，所以直线DE与直线 BC 所成的角为2.(2)设AE的长度为0a a，则0,0,Ea因为ADABE平面,所以平面ABE的一个法向量为10,1,0n设平面BDE的法向量为2111,nx yz因为2,0,BEauuu r，2,2,0BDuuu r，所以2nBEuuu r，2nBDu uu r，所以21121120220nBExaznBDxyuuu ruu u r，解得11112axzxy，取12z，则11xya，所以平面BDE的一个法向量为2,2na a，所以121222212cos,4124nnaan nnnaaa.因为二面角ABED的大小为3，所以21224aa，解得2a，所以AE的长度为2.解析：23.答案：(1)设点,P x y，则2,Qy，所以,OPx yuuu r，2,OQyuuu r因为0OP OQuuu ru uu r，所以220OP OQxyuuu ru uu r，即22yx.(2)设11,A xy，22,B xy，33,D xy，直线BD与 x 轴交点为E，直线 AB 与内切圆的切点为T.设直线 AM 的方程为12ykx，则联立方程组2122yk xyx，得2222204kk xkx，所以1214x x且120 xx，所以1212xx，所以直线 AN 的方程为111122yyxx，与方程22yx 联立得22222111111122024y xyxxxy，化简得221111122022x xxxx，解得114xx或1xx.因为32114xxx，所以 BDx轴，设MBD的内切圆圆心为H，则点 H 在 x轴上且HTAB.令212tx，则1t，所以2111121rttt在区间1,上单调递增，则121r，即 r 的取值范围为21,解析：
