2019-2020学年山西省高二下学期期中(文科)数学试卷(解析版).pdf

2019-2020 学年山西省高二第二学期期中数学试卷（文科）一、选择题（共12 小题）.1设集合?=?|?=?-?，Bx|x23x 100，则 AB（）A3，5）B（5，3C（3，5D（5，3）2已知复数z 满足（23i）z 3+11i，则 z 在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知|a|2，|b|5，则|a2b|的最大值是（）A14B10C12D74 曲线 C 的方程为2x2+3y21，曲线 C 经过伸缩变换?=?=?，得到新曲线的方程为（）A8x2+27y21B18x2+12y21C?22+?23=?D?24+?29=?5已知实数a，b，c 满足 a+b+c0，则 a，b，c 三个数一定（）A都小于0B都不大于0C至少有1个小于 0D至多有1 个小于 06已知 a90.7，b31.3，?=?5，则（）AabcBcabCcbaDba c7若球 O 是圆锥 M 的内切球，且圆锥M 的轴截面是一个边长为2 的正三角形，则球O 的体积为（）A43B4327C439D498函数?(?)=?(?-?)-?(?，|?|?2)的最小正周期为，则“?=?4”是“f（x）为奇函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件9史记中讲述了田忌与齐王赛马的故事：“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马”若双方各自拥有上、中、下等马各1 匹，从中随机选1 匹进行 1 场比赛，则齐王的马获胜的概率为（）A23B13C12D1610人的正常体温在36.3至37.2之间，下图是一位病人在治疗期间的体温变化图现有下述四个结论：此病人已明显好转；治疗期间的体温极差小于3；从每 8 小时的变化来看，25 日 0 时 8 时体温最稳定；从 3 月 22 日 8 时开始，每8 小时量一次体温，若体温不低于38.5就服用退烧药，根据图中信息可知该病人服用了3 次退烧药其中所有正确结论的编号是（）ABCD11已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S33，S939，则 S6（）A24 或 16B18 或 3C12 或 9D36 或 1212已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点F 在 x 轴上，其准线为l，过 F 的直线交抛物线于 M，N 两点，作MSl，NT l，垂足分别为S，T若?=?，且 STF 的面积为8 33，则抛物线C 的方程为（）Ay2 xBy2 2xCy2 3xDy2 4x二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分.将答案填在答题卡中的横线上.13在 ABC 中，a，b，c 分别为角A，B，C 的对边，?=3?4，?=?6，b2，则 a14已知双曲线C：?2?2-?2?2=1（a0，b 0）的一条渐近线方程为2x3y0，则双曲线C 的离心率为15已知数列 an为等差数列，a7a56，a1124，若 Sm 75，则 m16已知椭圆W：?2?2+?2?2=?(?)的右焦点为?(?，?)，且离心率为 32，ABC的三个顶点都在椭圆W 上，直线AB，BC，AC 的斜率存在且均不为0，记它们的斜率分别为k1，k2，k3，设 AB，BC，AC 的中点分别为M，N，P，O 为坐标原点，若直线OM，ON，OP 的斜率之和为34，则1?1+1?2+1?3=三、解答题：共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17学生学习的自律性很重要某学校对自律性与学生成绩是否有关进行了调研，从该校学生中随机抽取了100 名学生，通过调查统计得到22 列联表的部分数据如表：自律性一般自律性强合计成绩优秀40成绩一般20合计50100（1）补全 22 列联表中的数据；（2）判断是否有99.9%的把握认为学生的自律性与学生成绩有关参考公式及数据：K2=?(?-?)2(?+?)(?+?)(?+?)(?+?)P（K2k0）0.100.050.0100.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.82818在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为?=?+?=-?+?（为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为?(?4-?)=?（1）写出 C1的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点 P 的直角坐标为（1，3），直线l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求|PA|?|PB|的值19已知函数f（x）|2x1|x+3|（1）解不等式f（x）10；（2）若 f（x）2a1 恒成立，求a 的取值范围20在直角坐标系xOy 中，已知点Q（6，2），曲线 C1的参数方程为?=?-?=?-?（t 为参数），点 P是曲线 C1上的任意一点，点M 为 PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求点 M 的轨迹 C2的极坐标方程；（2）已知直线l：y kx 与曲线 C2交于点 O，A，射线 OA 逆时针旋转90交曲线C2于点 B，且|OA|?|OB|=6433，求 k21已知实数a，b，c 均为正数（1）若 a2b，求 a2+2?(?-2?)的最小值；（2）若 2a+2b+2c5，证明：(52?-?)(52?-?)(52?-?)?22已知函数f（x）aex+b 的图象在（0，f（0）处的切线方程为xy+20（1）讨论函数F（x）f（mx）xm 的单调性；（2）证明：f（x）+lnx4?-3?+1（注：（emx）memx，m 是常数）参考答案一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合?=?|?=?-?，Bx|x23x 100，则 AB（）A3，5）B（5，3C（3，5D（5，3）【分析】求出集合A，B，由此能求出AB|解：因为A x|x 3 或 x 3，Bx|2x5，所以 ABx|3x5故选：A2已知复数z 满足（23i）z 3+11i，则 z 在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】先化简所求复数，根据复数的几何意义，即可得到结论解：因为（23i）z 3+11i，z=-3+11?2-3?=(-3+11?)(2+3?)(2-3?)(2+3?)=-39+13?13=-3+i，在复平面内对应的点（3，1）位于第二象限故选：B3已知|a|2，|b|5，则|a2b|的最大值是（）A14B10C12D7【分析】直接根据绝对值的几何意义及性质求解即可解：因为|a|2，|2b|10，所以|a2b|a|+|2b|12故选：C4 曲线 C 的方程为2x2+3y21，曲线 C 经过伸缩变换?=?=?，得到新曲线的方程为（）A8x2+27y21B18x2+12y21C?22+?23=?D?24+?29=?【分析】直接利用关系式的变换的应用求出结果解：由?=?=?，得?=?2?=?3，代入 2x2+3y21，可得?22+?23=?，即?22+?23=?故选：C5已知实数a，b，c 满足 a+b+c0，则 a，b，c 三个数一定（）A都小于0B都不大于0C至少有1个小于 0D至多有1 个小于 0【分析】若3 个数都大于等于0，则 a+b+c0 矛盾，由此得解a，b，c 至少有 1 个小于0解：由于a+b+c0，若 3 个数都大于等于0，则 a+b+c0，矛盾，则 a，b，c 至少有 1 个小于 0故选：C6已知 a90.7，b31.3，?=?5，则（）AabcBcabCcbaDba c【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可得出?.?.?，从而得出a，b，c 的大小关系解：90.731.4 31.33，?=?，abc故选：A7若球 O 是圆锥 M 的内切球，且圆锥M 的轴截面是一个边长为2 的正三角形，则球O 的体积为（）A43B4 327C4 39D49【分析】利用圆锥的轴截面，转化求解内切球的半径，然后求解球的体积即可解：设球O 的半径为r，则(12?)?=12?32，得?=33，故球 O 的体积?=43?(33)?=4327?，故选：B8函数?(?)=?(?-?)-?(?，|?|?2)的最小正周期为，则“?=?4”是“f（x）为奇函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】化简f（x）4cos2（x）2 2cos（2x2）+22，最小正周期为，可得2?2?=?，解得 1，可得 f（x）2cos（2x2）令-?=?2+?(?)，根据|?|?2，解得，进而判断结论解：因为f（x）4cos2（x）22cos（2x2）+22，所以2?2?=?，所以 1，所以 f（x）2cos（2x2）令-?=?2+?(?)，则?=-?4-?2(?)，又因为|?|?2，所以?=?4若 f（x）为奇函数，则?=?4“?=?4”是“f（x）为奇函数”的充分不必要条件故选：A9史记中讲述了田忌与齐王赛马的故事：“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马”若双方各自拥有上、中、下等马各1 匹，从中随机选1 匹进行 1 场比赛，则齐王的马获胜的概率为（）A23B13C12D16【分析】记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a，b，c，齐王的上等马、中等马、下等马分别为A，B，C利用列举法能求出齐王的马获胜的概率解：依题意，记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a，b，c，齐王的上等马、中等马、下等马分别为A，B，C由题意可知，可能的比赛为aA，bA，cA，aB，bB，cB，aC，bC，cC，共 9种，其中田忌可以获胜的事件为aB，aC，bC，共 3 种，则齐王的马获胜的概率?=?-39=23故选：A10人的正常体温在36.3至37.2之间，下图是一位病人在治疗期间的体温变化图现有下述四个结论：此病人已明显好转；治疗期间的体温极差小于3；从每 8 小时的变化来看，25 日 0 时 8 时体温最稳定；从 3 月 22 日 8 时开始，每8 小时量一次体温，若体温不低于38.5就服用退烧药，根据图中信息可知该病人服用了3 次退烧药其中所有正确结论的编号是（）ABCD【分析】根据题干条件和观察图象，逐一进行判断即可解：从治疗过程看，此病人已明显好转；正确；治疗期间体温最高为39C，最低略高于36C，极差小于3C；正确；从每 8 小时的变化来看，25 日 0 时 8 时最稳定；正确；有 2 次不低于38.5 C，可知服用2 次退烧药 不正确；故选：D11已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S33，S939，则 S6（）A24 或 16B18 或 3C12 或 9D36 或 12【分析】由已知结合等比数列的性质可知S3，S6S3，S9S6仍成等比数列，代入即可求解解：因为 an为等比数列，所以S3，S6S3，S9S6仍成等比数列设 S6x，则（x3）23（39 x），解得 x12 或 x 9故选：C12已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点F 在 x 轴上，其准线为l，过 F 的直线交抛物线于 M，N 两点，作MSl，NT l，垂足分别为S，T若?=?，且 STF 的面积为8 33，则抛物线C 的方程为（）Ay2 xBy2 2xCy2 3xDy2 4x【分析】过点 N 作 NH l 交直线 MS 于点 H，交 x 轴于点 P设点 M（x1，y1）、N（x2，y2），当焦点在x 轴的正半轴时，设抛物线C：y22px（p0），结合抛物线的定义和?=?，可知?+?2=?(?+?2)，即x13x2p 再由HM PF，可得|?|=14|?|=14|?-?|=14(?-?)，所 以|?|=|?|+|?|=?+14(?-?)=?2 由 解得?=3?2，?=?6 然后在 Rt HMN 中，利用勾股定理求出|HN|的长，也就是线段|ST|的长，最后由?=833，可列出关于p 的方程，解之得p 2当焦点在 x 轴的负半轴时，同理可得p 2，从而得解解：如图所示，过点N 作 NH l 交直线 MS 于点 H，交 x 轴于点 P设点 M（x1，y1）、N（x2，y2），当焦点在x 轴的正半轴时，设抛物线C：y22px（p0），由?=?，得?+?2=?(?+?2)，即 x13x2p HM PF，|?|=14|?|=14|?-?|=14(?-?)，|?|=|?|+|?|=?+14(?-?)=?2 由 可解得?=3?2，?=?6在 Rt HMN 中，|?|=?+?+?=83?，|?|=?-?=43?，|?|=|?|=(83?)?-(43?)?=433?，?=12?433?=833，解得 p2，此时抛物线C 的方程为 y24x同理，当焦点在x 轴的负半轴时，可得p 2，此时抛物线C 的方程为y2 4x综上所述，抛物线C 的方程为y2 4x故选：D二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分.将答案填在答题卡中的横线上.13 在 ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，?=3?4，?=?6，b 2，则 a?【分析】利用正弦定理即可算出结果解：根据正弦定理，得?=?=22212=?故答案为：?14已知双曲线C：?2?2-?2?2=1（a0，b 0）的一条渐近线方程为2x3y0，则双曲线C 的离心率为 132【分析】因为双曲线?2?2-?2?2=?的渐近线方程为?=?，所以?=23，而离心率?=?2?2=?+?2?2，代入即可得解解：由题可知，双曲线的渐近线方程为?=?，因为有一条渐近线方程为2x3y0，即?=23?，所以?=23，所以双曲线C 的离心率?=?2?2=?+?2?2=?+(32)?=132故答案为：13215已知数列 an为等差数列，a7a56，a1124，若 Sm 75，则 m10【分析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出解：由 a7 a52d6，可知 d3，由 a11a1+10 324，得 a1 6，所以?=?(-?)+?(?-1)2?=?，解得 m10 或 m 5（舍去）故答案为：1016已知椭圆W：?2?2+?2?2=?(?)的右焦点为?(?，?)，且离心率为 32，ABC的三个顶点都在椭圆W 上，直线AB，BC，AC 的斜率存在且均不为0，记它们的斜率分别为k1，k2，k3，设 AB，BC，AC 的中点分别为M，N，P，O 为坐标原点，若直线OM，ON，OP 的斜率之和为34，则1?1+1?2+1?3=3【分析】先根据?=?，?=32，求得 a2，b1，从而得椭圆W 的方程为为?24+?=?，再设 A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），利用点差法可得1?=-?，1?=-?，1?=-?，所以1?1+1?2+1?3=-?(?+?+?)=-?解：由题意可得，?=?，?=32，所以 a2，b1，椭圆 W 的标准方程为?24+?=?设 A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则?124+?=?，?224+?=?，两式作差得，(?2-?1)(?2+?1)4=-(?+?)(?-?)，?2-?1?2-?1=-4(?2+?1)?2+?1，即1?=-?同理可得，1?=-?，1?=-?，1?1+1?2+1?3=-?(?+?+?)=-?故答案为：3三、解答题：共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17学生学习的自律性很重要某学校对自律性与学生成绩是否有关进行了调研，从该校学生中随机抽取了100 名学生，通过调查统计得到22 列联表的部分数据如表：自律性一般自律性强合计成绩优秀40成绩一般20合计50100（1）补全 22 列联表中的数据；（2）判断是否有99.9%的把握认为学生的自律性与学生成绩有关参考公式及数据：K2=?(?-?)2(?+?)(?+?)(?+?)(?+?)P（K2k0）0.100.050.0100.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.828【分析】（1）根据题目所给的数据填写22 列联表即可；（2）计算 K 的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论解：（1）因为总人数为100，可填写列联表如下：自律性一般自律性强合计成绩优秀103040成绩一般402060合计5050100（2）根据表中数据，得?=100 (40 30-20 10)240 60 50 50=503?.?.?，所以有 99.9%的把握认为学生的自律性与学生成绩有关18在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为?=?+?=-?+?（为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为?(?4-?)=?（1）写出 C1的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点 P 的直角坐标为（1，3），直线l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求|PA|?|PB|的值【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果解：（1）曲线C1的参数方程为?=?+?=-?+?（为参数），转换为C1的普通方程为（x4）2+（y+2）24直线 l 的极坐标方程为?(?4-?)=?，整理得：cos sin 4由?=?=?，得直线l 的直角坐标方程xy40（2）把直线 l 的直角坐标方程转换为直线l 的参数方程为?=?+22?=-?+22?（t 为参数），代入 C1的普通方程（x4）2+（y+2）24，得?-?+?=?设 A，B 两点对应的参数分别为t1，t2，|PA|?|PB|t1|?|t2|t1t2|619已知函数f（x）|2x1|x+3|（1）解不等式f（x）10；（2）若 f（x）2a1 恒成立，求a 的取值范围【分析】（1）运用分段函数的形式，写出f（x）的解析式，由绝对值的意义和零点分区间法，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）作出 f（x）的图象，可得f（x）的最小值，f（x）2a1 恒成立，即为f（x）min2a1 恒成立，解不等式可得所求范围解：（1）f（x）|2x1|x+3|=?-?，?-?-?-?，-?12?-?，?12，不等式 f（x）10 等价于?-?-?+?或-?12-?-?或?12?-?，解得 6x 3 或-?12或12?综上，原不等式的解集为x|6 x14；（2）如图，作出f（x）的图象由图可知?(?)?=?(12)=-72，因为 f（x）2a1 恒成立，所以-72?-?，即?-54，即 a 的取值范围为(-，-5420在直角坐标系xOy 中，已知点Q（6，2），曲线 C1的参数方程为?=?-?=?-?（t 为参数），点 P是曲线 C1上的任意一点，点M 为 PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求点 M 的轨迹 C2的极坐标方程；（2）已知直线l：y kx 与曲线 C2交于点 O，A，射线 OA 逆时针旋转90交曲线C2于点 B，且|OA|?|OB|=6433，求 k【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换（2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果解：（1）设 P（8t6，8t22），M（x，y）因为点 M 为 PQ 的中点，所以?=?=?，可得 C2的直角坐标方程为x24y，由?=?=?，得曲线C2的极坐标方程为 cos2 4sin（2）设射线 OA：?=?(?，?2)将 （0）代入 cos2 4sin，得?=4?2?OA 逆时针旋转90，得射线 OB：?=?+?2(?)，则?=4?(?+?2)?2(?+?2)=4?2?因为|?|?|?|=6433，所以?=4?2?4?2?=16?=6433，所以?=34，则?=32，又?(?，?2)，即?=?6或?=?3故 k 的值为?或 3321已知实数a，b，c 均为正数（1）若 a2b，求 a2+2?(?-2?)的最小值；（2）若 2a+2b+2c5，证明：(52?-?)(52?-?)(52?-?)?【分析】（1）由?=?+(?-?)?(?-?)，即 2b（a2b）?24，得42?(?-2?)16?2，再利用基本不等式的性质即可得出（2）由2a+2b+2c5，得52?-?=?+?2?，52?-?=?+?2?，52?-?=?+?2?，再由不等式的可乘积性得结论【解答】（1）解：?+2?(?-2?)=?+42?(?-2?)，又?=?+(?-?)?(?-?)，2b（a2b）?24，42?(?-2?)16?2，则?+42?(?-2?)?+16?2?16?2=?，当且仅当a2，?=12时等号成立，故?+2?(?-2?)的最小值为8；（2）证明：由2a+2b+2c5，得52?-?=?+?2?（当且仅当bc 时取等号），52?-?=?+?2?（当且仅当ac 时取等号），52?-?=?+?2?（当且仅当ab 时取等号），又实数a，b，c 均为正数，由 ，得(52?-?)(52?-?)(52?-?)?（当且仅当?=?=?=56时取等号），故(52?-?)(52?-?)(52?-?)?得证22已知函数f（x）aex+b 的图象在（0，f（0）处的切线方程为xy+20（1）讨论函数F（x）f（mx）xm 的单调性；（2）证明：f（x）+lnx4?-3?+1（注：（emx）memx，m 是常数）【分析】（1）求出函数的导数，求出a，b 的值，求出F（x）的解析式，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；（2）求出 f（x）的最小值，结合?-1?，得到?(?+?)?(?+?+?-1?)=?+?-?，令?(?)=?+?-?-(?-?)，根据函数的单调性证明即可【解答】（1）解：因为f（x）aex，所以 f（0）ae0a1因为 f（0）ae0+b 2，所以 b1，所以 f（x）ex+1所以 F（x）emx+1xm，F（x）memx1，当 m0 时，F（x）memx10，F（x）在一、选择题上单调递减当 m0 时，令 F（x）memx 10，得?-1?；令 F（x）memx1 0，得?-1?，F（x）在(-1?，+)上单调递增，在(-，-1?)上单调递减（2）证明：由题意，要证?+?+?4?-3?+?，即证?(?+?)?-?由（1）知，当m 1 时，F（x）minF（0）1，所以 exx1，即 exx+1（x0），由 ex1x（x1），两边同时取自然对数，可得lnxx1，于是?1?1?-?，即?-1?，故?(?+?)?(?+?+?-1?)=?+?-?令?(?)=?+?-?-(?-?)，则?(?)=(?+?)?-?+?(?)?-?+?=(?-?)?，因为 x1 和?=14不能同时取到，故?+?-?-?因为 x（ex+lnx）x2+2x1，所以?(?+?)?-?，所以原不等式成立