2019-2020学年北京人大附中八年级上学期期中数学试卷(学生版+解析版).pdf
2019-2020 学年北京人大附中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10 个小题）1下列倡导节约的图案中是轴对称图形的是()ABCD2分式12x有意义，x 的取值范围是()A2xB2xC2xD2x3在下列运算中，正确的是()A3412aaagB2 366()aba bC347()aaD43aaa4小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线 OP 就是BOA 的角平分线”他这样做的依据是()A角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B角平分线上的点到这个角两边的距离相等C三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D以上均不正确5如图，5ABAC，DBDC，若ABC 为 60，则 BE 长为()A5B3C2.5D26如图，ABC 中，点 D 在 BC 边上，将点D 分别以 AB、AC 为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF 根据图中标示的角度，可得EAF 的度数为()A108B115C122D1307如图（一)，在边长为 a 的正方形中，挖掉一个边长为b 的小正方形()ab，把余下的部分剪成一个矩形（如图（二)，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是()A222()2abaabbB22()()abab abC222()2abaabbD22(2)()2ab abaabb8如图，AD 是ABC 的角平分线，作AD 的垂直平分线EF 交 BC 的延长线于F 下列结论不一定成立的是()A AFDFBBAFACFC BFACD:ABDACDSSABAC9已知 a，b，c 是ABC 的三边长，且满足222()acb acb，则此三角形是()A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D无法确定10在坐标系xOy 中，已知点(3,1)A关于 x 轴、y 轴的对称点分别为P、Q 若坐标轴上的点 M 恰使MAP、MAQ 均为等腰三角形，则满足条件的点有()A4 个B5 个C8 个D9 个二、填空题（每空2 分，共 18 分）11分式1xx的值为0，则x的值是120(2)1a，则 a的取值范围为13计算2019201813()314若(1)(2)xkx的展开式中不含有x的一次项，则k 的值是15如图：ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，3AEcm，ABD 的周长为 13cm，则ABC的周长为16已知5mn，2mn，则32232m nm nmn 的值为17在ABC 中，ABAC，ADBC，30CBE，若以 C 为圆心，CB 长为半径画圆交 BE 延长线于F，且6EF，则 BF18如图等腰ABC 中，ABAC，M 为其底角平分线的交点，将BCM 沿 CM 折叠，使B点恰好落在AC 边上的点D 处，若 DADM，则ABC 的度数为19在等边ABC 中，M、N、P 分别是边AB、BC、CA 上的点（不与端点重合），对于任意等边ABC，下面四个结论中：存在无数个MNP 是等腰三角形；存在无数个MNP 是等边三角形；存在无数个MNP 是等腰直角三角形；存在一个MNP 在所有MNP 中面积最小所有正确结论的序号是三、解答题（21，22 题，每小题，4 分 22-27 题，每小题8 分 28 题 6 分，共 52 分）20分解因式：（1）2233mamb（2）244axaxa21计算：（1）(1)(2)(3)xxxx（2）2(5)(5)(2)ab abab22先化简，再求值：322(53)(1)7xxxxx，其中261xx23下面是小康设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程已知直线 l 及直线 l 外一点 P求作：直线l 的垂线，使它经过点P 做法：如图，以 P 为圆心，以大于P 到直线 l 的距离的长度为半径画弧，交直线l 于 A、B 两点；连接 PA、PB；作APB的角平分线PQ 直线 PQ 即为所求根据小康设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：PAQ，PQ 平分APB，(PQl)（填推理的依据）24如图，AC 和 BD 相交于点 O，且/ABDC，OAOB 求证：OCOD 25阅读：在一次数学活动中，“揭秘”学习小组发现：53573021383212168486722471795609这组计算蕴含着简算规律：十位数字相同，个位数字和为10 的两个两位数相乘，结果末两位的是个位数字的乘积前几位是十位数字与十位数字加一的乘积小乐同学用所学知识做了如下解释：将相同的十位数字设为a，个位数字为b，d，则2(10)(10)10010()ab adabadaa bdbdg，10bdQ原式2100100100(1)aabda abd（1）请你利用小组发现的规律计算：6367；（2）小乐同学进一步思考，个位数字相同，十位数字之和为10 的两个两位数相乘会不会也有 简 算 规 律 呢？于 是，小 乐 计 算 了 35752625，83231909，48683264，17971649，但是还是没有发现规律，你能帮助小乐发现规律，并用所学知识解释吗？26如图，在四边形ABCD 中，对角线BD 平分ABC，120A，60C，17AB，12AD（1）求证：ADDC；（2）求四边形ABCD 的周长27等腰ABC 中，ABAC，60ACB，点 D 为边 AC 上一点，满足 BDBC，点 E 与点 B 位于直线AC 的同侧，ADE 是等边三角形（1）请在图 1 中将图形补充完整；若点 D 与点 E 关于直线 AB 轴对称，ACB；（2）如图 2 所示，若80ACB，用等式表示线段BA、BD、BE 之间的数量关系，并说明理由28在平面直角坐标系xOy 中，我们称横纵坐标都是整数的点为整点，若坐标系内两个整点(,)A p q、(B m，)()n m n,满足关于 x 的多项式2xpxq能够因式分解为()()xmxn，则称点 B 是 A的分解点例如(3,2)A、(1,2)B满足232(1)(2)xxxx，所以 B 是 A 的分解点（1）在点1(5,6)A、2(0,3)A、3(2,0)A中，请找出不存在分解点的点：；（2）点 P、Q 在纵轴上(P 在 Q 的上方），点 R 在横轴上，且点P、Q、R 都存在分解点，若PQR 面积为 6，请直接写出满足条件的PQR 的个数及每个三角形的顶点坐标；（3）已知点 D 在第一象限内，D 是 C 的分解点，请探究OCD 是否可能是等腰三角形？若可能请求出所有满足条件的点D 的坐标；若不可能，请说明理由参考答案一、选择题（每小题分，共30 分）1下列倡导节约的图案中是轴对称图形的是()ABCD解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：B 2分式12x有意义，x 的取值范围是()A2xB2xC2xD2x解：根据题意得：20 x，解得：2x故选：B 3在下列运算中，正确的是()A3412aaagB2 366()aba bC347()aaD43aaa解：A、底数不变指数相加，即347aaag，故 A 错误；B、积得乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即2336()aba b，故 B 错误；C、底数不变指数相乘，即3412()aa，故 C 错误；D、底数不变指数相减，即43aaa，故 D 正确；故选：D 4小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线 OP 就是BOA 的角平分线”他这样做的依据是()A角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B角平分线上的点到这个角两边的距离相等C三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D以上均不正确解：（1）如图所示：过两把直尺的交点P 作 PEAO，PFBO，Q 两把完全相同的长方形直尺，PEPF，OP 平分AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选：A 5如图，5ABAC，DBDC，若ABC 为 60，则 BE 长为()A5B3C2.5D2解：ABACQ，60ABC，ABC 是等边三角形，A在 BC 的垂直平分线上，5BCAB，DBDCQ，点 D 在 BC 的垂直平分线上，AD 垂直平分 BC，12.52BEBC故选：C 6如图，ABC 中，点 D 在 BC 边上，将点D 分别以 AB、AC 为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF 根据图中标示的角度，可得EAF 的度数为()A108B115C122D130解：连接 AD，DQ点分别以 AB、AC 为对称轴，画出对称点E、F，EABBAD，FACCAD，61BQ，54C，180615465BACBADDAC，2130EAFBAC，故选：D 7如图（一)，在边长为 a 的正方形中，挖掉一个边长为b 的小正方形()ab，把余下的部分剪成一个矩形（如图（二)，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是()A222()2abaabbB22()()abab abC222()2abaabbD22(2)()2ab abaabb解：由题意可得：22()()ab abab故选：B 8如图，AD 是ABC 的角平分线，作AD 的垂直平分线EF 交 BC 的延长线于F 下列结论不一定成立的是()A AFDFBBAFACFC BFACD:ABDACDSSABAC解：A、EFQ是 AD 的垂直平分线，AFDF，故选项 A 不符合题意；B、AFDFQ，DAFADF，ADQ是ABC 的角平分线，BADCAD，DAFCADCAFQ，ADFBADB，BCAF，BAFBACCAFQ，ACFBACB，BAFACF，故选项 B 不符合题意；C、根据已知不能得出BFAC，故选项 C 符合题意；D、ADQ是ABC 的角平分线，点 D 到 AB 和 AC 的距离相等，:ABDACDSSABAC，故选：C 9已知 a，b，c 是ABC 的三边长，且满足222()acb acb，则此三角形是()A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D无法确定解：222()acb acbQ，2222220acbbbabc，22()()0abbc，abc，ABC 是等边三角形，故选：A 10在坐标系xOy 中，已知点(3,1)A关于 x 轴、y 轴的对称点分别为P、Q 若坐标轴上的点 M 恰使MAP、MAQ 均为等腰三角形，则满足条件的点有()A4 个B5 个C8 个D9 个解：如图，1AQAM，5AQAM，2AQAM，4QAQM，33AMQM，故坐标轴上的点M 恰使MAP、MAQ 均为等腰三角形，则满足条件的点有5 个，故选：B 二、填空题（每空2 分，共 18 分）11分式1xx的值为0，则x的值是1 解：Q分式1xx的值为0，10 x且0 x，1x故答案为1 120(2)1a，则 a的取值范围为2a解：0(2)1a，20a，2a，故答案为2a13计算2019201813()33解：原式20181(3)333故答案为：314若(1)(2)xkx的展开式中不含有x的一次项，则k 的值是2解：(1)(2)xkx，222kxxkx，2(2)2kxkx，Q 不含有 x 的一次项，20k，解得：2k故答案为：215如图：ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，3AEcm，ABD 的周长为 13cm，则ABC的周长为19cm解：DEQ是 AC 的垂直平分线，ADCD，26ACAEcm，又ABDQ的周长13ABBDADcm，13ABBDCDcm，即13ABBCcm，ABC 的周长13619ABBCACcm故答案为 19cm 16已知5mn，2mn，则32232m nm nmn 的值为34解：5mnQ，2mn，32232m nm nmn22(2)mn mmnn2()4mn mnmn22(542)2(258)21734，故答案为：3417在ABC 中，ABAC，ADBC，30CBE，若以 C 为圆心，CB 长为半径画圆交 BE 延长线于F，且6EF，则 BF9解：ABACQ，ADBC，BDCD，90ADB，设 BDCDx，则2BCx，2CFBCx，30CBEQ，2 33BEx，6EFQ，2 363BFx，过 C 作 CHBF 于 H，22BFBHFH，2 336BHx，12CHBCx，222BHCHBCQ，2222 3(3)(2)6xxx，解得：3 32x（负值舍去），2 3693BFx，故答案为：918如图等腰ABC 中，ABAC，M 为其底角平分线的交点，将BCM 沿 CM 折叠，使B点恰好落在AC 边上的点D 处，若 DADM，则ABC 的度数为72解：MQ为其底角平分线的交点，AM 平分BAC，ABACQ，ABCACB，设2Ax，则DAMx，1452MBCMCBx，DADMQ，DAMDMA，由折叠的性质可得：1452MDCMBCx，则11801352ADMMDCx，在ADM 中，180DAMDMAADM，即11351802xxx，解得：18x，则236Ax72ABC，故答案为：72 19在等边ABC 中，M、N、P 分别是边AB、BC、CA 上的点（不与端点重合），对于任意等边ABC，下面四个结论中：存在无数个MNP 是等腰三角形；存在无数个MNP 是等边三角形；存在无数个MNP 是等腰直角三角形；存在一个MNP 在所有MNP 中面积最小所有正确结论的序号是解：如图 1 中，满足AMBNPC，可证PMN 是等边三角形，这样的三角形有无数个如图 2 中，当 NMNP，90MNP时，MNP 是等腰直角三角形，这样的三角形有无数个故 正确，PNM 的面积不存在最小值故答案为 三、解答题（21，22 题，每小题，4 分 22-27 题，每小题8 分 28 题 6 分，共 52 分）20分解因式：（1）2233mamb（2）244axaxa解：（1）原式223()3()()m abm ab ab；（2）原式22(441)(21)axxax21计算：（1）(1)(2)(3)xxxx（2）2(5)(5)(2)ab abab解：（1）原式22326xxxxx26x；（2）原式222225(44)ababab22222544ababab2294bab 22先化简，再求值：322(53)(1)7xxxxx，其中261xx解：原式22531217xxxx267xx，当261xx时，原式176 23下面是小康设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程已知直线 l 及直线 l 外一点 P求作：直线l 的垂线，使它经过点P 做法：如图，以 P 为圆心，以大于P 到直线 l 的距离的长度为半径画弧，交直线l 于 A、B 两点；连接 PA、PB；作APB的角平分线PQ 直线 PQ 即为所求根据小康设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：PAQPB，PQ 平分APB，(PQl)（填推理的依据）解：（1）如图所示，直线PQ 即为所求（2）证明：PAPBQ，PQ 平分APB，PQl（等腰三角形底边上的高线与顶角平分线互相重合）故答案为：PB，等腰三角形底边上的高线与顶角平分线互相重合24如图，AC 和 BD 相交于点 O，且/ABDC，OAOB 求证：OCOD【解答】证明：AOBOQ，AB，/DCABQ，DB，CA，CD，CODO 25阅读：在一次数学活动中，“揭秘”学习小组发现：53573021383212168486722471795609这组计算蕴含着简算规律：十位数字相同，个位数字和为10 的两个两位数相乘，结果末两位的是个位数字的乘积前几位是十位数字与十位数字加一的乘积小乐同学用所学知识做了如下解释：将相同的十位数字设为a，个位数字为b，d，则2(10)(10)10010()ab adabadaa bdbdg，10bdQ原式2100100100(1)aabda abd（1）请你利用小组发现的规律计算：63674221；（2）小乐同学进一步思考，个位数字相同，十位数字之和为10 的两个两位数相乘会不会也有 简 算 规 律 呢？于 是，小 乐 计 算 了 35752625，83231909，48683264，17971649，但是还是没有发现规律，你能帮助小乐发现规律，并用所学知识解释吗？解：（1）由规律得，63671006(61)374200214221，故答案为：4221；（2）规律：个位数字相同，十位数字和为10 的两个两位数相乘，结果末两位的是个位数字的平方（或乘积），前几位是十位数字的乘积与与个位数字的和理由：设将相同的个位数字设为m，十位数字分别为p，q，则10pq，(10)(10)pm qmpmqmg21001010pqpmqmm210010()pqm pqm2100100pqmm2100()pqmm，即：个位数字相同，十位数字和为10 的两个两位数相乘，结果末两位的是个位数字的平方（或乘积），前几位是十位数字的乘积与与个位数字的和26如图，在四边形ABCD 中，对角线BD 平分ABC，120A，60C，17AB，12AD（1）求证：ADDC；（2）求四边形ABCD 的周长【解答】证明：（1）在 BC 上取一点E，使 BEAB，连结 DE BDQ平分ABC，ABDCBD 在ABD 和EBD 中，ABBEABDEBDBDBD()ABDEBD SAS；12DEAD，BEDA，17ABBE，120AQ，60DEC60CQ，DECC DEDC，ADDC（2）60CQ，DEDC，DEC 为等边三角形ECCDAD 12ADQ，12ECCD，四边形 ABCD 的周长171712121270 27等腰ABC 中，ABAC，60ACB，点 D 为边 AC 上一点，满足 BDBC，点 E 与点 B 位于直线AC 的同侧，ADE 是等边三角形（1）请在图 1 中将图形补充完整；若点 D 与点 E 关于直线 AB 轴对称，ACB75；（2）如图 2 所示，若80ACB，用等式表示线段BA、BD、BE 之间的数量关系，并说明理由解：（1）根据题意，补全图形如图1 所示，当点 D 与点 E 关于直线 AB 轴对称时，ABDE，ADEQ是等边三角形，60DAE，ADAE，1302BACDAE，ABACQ，1(180)752ACBBAC，故答案为 75；（2）如图 2，在 BA 上取一点 F，使 BFBD，DE 与 AB 的交点记作点H，ADEQ是等边三角形，ADED，60EADAED，在ABC 中，ABAC，80ACB，80ABCACB，18020BACACBABC，40BAEDAEBAC，在BCD 中，BCBD，80BDCACB，18020DBCACBBDC，60ABDABCDBC，BFBDQ，BDF 是等边三角形，60AEDABDQ，AHEBHD，40BDEBAE，60BDF，BDFDBF，18040ADFBDCBDFADF，DEADQ，()BDEFDA SAS，FABE，BABFFABDBE 28在平面直角坐标系xOy 中，我们称横纵坐标都是整数的点为整点，若坐标系内两个整点(,)A p q、(B m，)()n m n,满足关于 x 的多项式2xpxq能够因式分解为()()xmxn，则称点 B 是 A的分解点例如(3,2)A、(1,2)B满足232(1)(2)xxxx，所以 B 是 A 的分解点（1）在点1(5,6)A、2(0,3)A、3(2,0)A中，请找出不存在分解点的点：2A；（2）点 P、Q 在纵轴上(P 在 Q 的上方），点 R 在横轴上，且点P、Q、R 都存在分解点，若PQR 面积为 6，请直接写出满足条件的PQR 的个数及每个三角形的顶点坐标；（3）已知点 D 在第一象限内，D 是 C 的分解点，请探究OCD 是否可能是等腰三角形？若可能请求出所有满足条件的点D 的坐标；若不可能，请说明理由解：（1）对于1(3,2)A，232(1)(2)xxxx，故1(1,2)B是1A 的分解点对于3(2,0)A，22(2)xxx x，故3(0B，2是3A 的分解点点2A 不存在分解点故答案为2A（2）PQ，Q 在纵轴上，P，Q 都存在分解点，P，Q 的纵坐标只能是0，1，4，16，当1(1,0)R时，PQRQ的面积为 6，12PQ，PQ在 Q 的上方，1(0,4)P，1(0,16)Q，同法当2(1,0)R时，可得2(0,4)P，2(0,16)Q，当3(3,0)R时，可得3(0,0)P，3(0,4)Q，当4(3,0)R时，可得4(0,0)P，4(0,4)Q，当5(4,0)R时，可得5(0,1)P，5(0,4)Q，当6(4,0)R时，可得6(0,1)P，6(0,4)Q，当7(12,0)R时，可得7(0,0)P，7(0,1)Q，当8(12,0)R时，可得8(0,4)P，8(0,1)Q，综上所述，PQR的个数为8（3）如图，设(,)D m n，则 m，n是正整数，2()()()xm xnxmn xmnQ且 D 为 C 的分解点，(,)C mn mn 当1m时，(1,)Dn，(1,)C nn，此时 OCODCD，不可能构成等腰三角形当1m时，则mnm，mnm，则点 C 必在直线 xm，yn 相交直线的右上角区域，此时 OCOD，OCCD，若OCD 为等腰三角形，只可能ODCD，如图，过 C 作 CN直线 yn，过点 D 作 DMx 轴于 M 在 Rt ODM 和 RtCDN 中，DMDNn，若 ODCD，则 RtODMRtCDN(HL)，DMCN，即 mmnn，此式子可以化为(1)(1)1mn，mQ，n为正整数，2m，2n，即(2,2)D，(4,4)C，此时 O，C，D 共线，OCD 不存在，综上所述，OCD 不可能为等腰三角形
