2019-2020学年浙江省温州市十五校联合体高二下学期期中数学试卷(解析版).pdf

2019-2020 学年浙江省温州市十五校联合体高二第二学期期中数学试卷一、选择题（共10 小题）.1已知集合A1，0，1，2，Bx|x22，则 A B（）A0，1B1，1C1，0，1D0，1，22若函数f（x）|2x+a|的单调递减区间是（，3，则 a 的值为（）A 3B3C 6D63 点 P 从（l，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动2?3弧长到达Q 点，则 Q 点的坐标为（）A(-12，32)B(-32，-12)C(-12，-32)D(-32，12)4已知 alog32，b 212，c 313，则（）AabcBacbCcbaDbc a5函数 f（x）（x+2a）（x a）2的导数为（）A2（xa）B2（x+2a）（xa）C3（x2 a2）D3（x2+a2）6函数 ysin（2x+?3）的图象（）A关于原点对称B关于点（-?6，0）对称C关于 y 轴对称D关于直线x=?6对称7对任意向量?，?，下列关系式中不恒成立的是（）A|?|?|?|B|?-?|?|?|C（?+?）2|?+?|2D（?+?）?（?-?）|?|2|?|28函数 f（x）x2-?|?|（a R）的图象不可能是（）ABCD9设函数f（x）=-?+?，?1?，?，若关于 x 的方程 f（f（x）t 有三个不相等的实数根，则实数t 的取值范围是（）A（，1B12，2C（12，2D（12，2）10已知函数f（x）=12x2+mx+mlnx（m0），若对于区间1，2上的任意两个实数x1，x2，都有|f（x1）f（x2）|x12x22|成立，则实数m 的最大值为（）A12B14C1?D1二、填空题（本大题共7 小题，多空悬每小题6 分，单空题每小题6 分，共 36 分）11已知复数z满足（1+i）z2i，i 为虚数单位，则z 的虚部是，|z|12若角 终边过点P（4，m），且 sin=35，则 m 等于13在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，若 A=?6，a2+b2c2ab，c3，则角 C，a14函数 f（x）=13x34x+4 在0，3上的最大值与最小值之和为15函数 f（x）2|x+1|x 1|的值域为；若函数g（x）f（x）a 的两个不同零点 x1，x2，满足 2|x1x2|10，则实数a的取值范围是16已知函数f（x）x2+ax+b 和 g（x）=?+ax+b，若 f（x）?g（x）0 恒成立，则a，b17已知?为单位向量，平面向量?，?满足|?+2?|2，|?-?|1则?的取值范围是三、解答题（本大题共5 小题，共74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18在平面直角坐标系xOy 中，已知向量?=（1，-?），?=（sinx，cosx），x（0，?2）（）若?，求 tan2x 的值；（）若?与?的夹角为2?3，求 x 的值19设函数f（x）sinx+cosx，x R（）已知 ，函数 f（x+）是偶函数，求的值；（）设 ABC 的三边 a，b，c 所对的角分别为A，B，C，若 a2，f（?4+?2）=62，求 ABC 的面积的最大值20设函数f（x）ln（x+1），g（x）xf（x），x0，其中 f（x）是 f（x）的导函数（）求函数f（x）的图象在原点处的切线方程；（）令 g1（x）g（x），gn+1（x）g（gn（x），n N*，请猜想 gn（x）的表达式，并用数学归纳法证明结论21已知函数f（x）x|x 2a|+1（x R）（）当a1 时，求函数yf（x）的零点；（）当a（0，32），求函数yf（x）在 x 1，2上的最大值；（）对于给定的正数a，有一个最大的正数T（a），使 x 0，T（a）时，都有|f（x）|1，试求出这个正数T（a）的表达式22已知函数f（x）lnx ax+a（）讨论函数f（x）的单调性（）若函数f（x）有一个大于1 的零点，求实数a 的取值范围；（）若f（x0）0，且 x01，求证：x0+12?参考答案一、选择题（本题共10 小题，每小题4分，共 40 分）1已知集合A1，0，1，2，Bx|x22，则 A B（）A0，1B1，1C1，0，1D0，1，2【分析】可以求出集合B，然后进行交集的运算即可解：A1，0，1，2，?=?|-?，AB1，0，1故选：C2若函数f（x）|2x+a|的单调递减区间是（，3，则 a 的值为（）A 3B3C 6D6【分析】根据绝对值函数、一次函数的性质，求出a 的值解：函数f（x）|2x+a|的单调递减区间是（，3，-?2=3，a 6，故选：C3 点 P 从（l，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动2?3弧长到达Q 点，则 Q 点的坐标为（）A(-12，32)B(-32，-12)C(-12，-32)D(-32，12)【分析】由题意推出QOx 角的大小，然后求出Q 点的坐标解：点 P 从（0，1）出发，沿单位圆逆时针方向运动2?3弧长到达Q 点，所以 QOx=2?3，所以 Q（cos2?3，sin2?3），所以Q(-12，32)故选：A4已知 alog32，b 212，c 313，则（）AabcBacbCcbaDbc a【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解解：log31log32log33，0a 1，?=(?12)?=?=?，?=(?13)?=?=?，c b1，abc，故选：A5函数 f（x）（x+2a）（x a）2的导数为（）A2（xa）B2（x+2a）（xa）C3（x2 a2）D3（x2+a2）【分析】把给出的函数采用多项式乘多项式展开后直接运用和函数的导数求导即可解：由 f（x）（x+2a）（x a）2（x+2a）（x22ax+a2）x33a2x+2a3，所以，f（x）（x33a2x+2a3）3（x2 a2）故选：C6函数 ysin（2x+?3）的图象（）A关于原点对称B关于点（-?6，0）对称C关于 y 轴对称D关于直线x=?6对称【分析】令2x+?3=k+?2，k z，可得对称轴方程为：x=?2+?12，k z令 2x+?3=k，k z，解得对称中心的横坐标x=?2-?6，故对称中心为（?2-?6，0），k z解：在函数?=?(?+?3)中，令 2x+?3=k+?2，k z，可得x=?2+?12，k z，故对称轴为xx=?2+?12，k z故 C、D 均不正确令 2x+?3=k，k z，解得x=?2-?6，故对称中心为（?2-?6，0），k z，故选：B7对任意向量?，?，下列关系式中不恒成立的是（）A|?|?|?|B|?-?|?|?|C（?+?）2|?+?|2D（?+?）?（?-?）|?|2|?|2【分析】由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得解：选项A 恒成立，|?|?|?|cos?，?|，又|cos?，?|1，|?|?|?|恒成立；选项 B 不恒成立，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得|?-?|?|?|；选项 C 恒成立，由向量数量积的运算性质可得（?+?）2|?+?|2；选项 D 恒成立，由向量数量积的运算可得（?+?）?（?-?）=?2-?2|?|2|?|2故选：B8函数 f（x）x2-?|?|（a R）的图象不可能是（）ABCD【分析】当a 0 时容易判断选项C 符合，当a0 或 a0 时，利用极限思维可知，选项 D 一定不符合解：当 a0 时，f（x）x2，其图象如选项C；当 a0 或 a0 时，若 x+，则 f（x）+，观察选项可知，只有D 选项不合题意故选：D9设函数f（x）=-?+?，?1?，?，若关于 x 的方程 f（f（x）t 有三个不相等的实数根，则实数t 的取值范围是（）A（，1B12，2C（12，2D（12，2）【分析】求出函数的解析式，利用数形结合转化求解即可解：函数f（x）=-?+?，?1?，?，f（f（x）=-?(?)+?，?(?)?1?(?)，?(?)?=-(-?+?)?+?，?-?-1?2+?，?1-?2+2，-?，函数的图象如图：关于 x 的方程f（f（x）t 有三个不相等的实数根，解得yf（f（x）的图象与yt 的图象由 3 个交点，由图形可知：t（12，2）故选：D10已知函数f（x）=12x2+mx+mlnx（m0），若对于区间1，2上的任意两个实数x1，x2，都有|f（x1）f（x2）|x12x22|成立，则实数m 的最大值为（）A12B14C1?D1【分析】依题意，?(?)-?(?)-?(?)+?(?)+?，进而可构造函数?(?)=?(?)-?=-12?+?+?，?，?，函 数?(?)=?(?)+?=32?+?+?，?，?，可知函数g（x）在 1，2上单调递减，函数h（x）在 1，2上单调递减，由此利用导数可求得实数m 的取值范围，进而求得最大值解：依 题 意，不妨 令2 x1 x2 1，则?-?(?)-?(?)?-?，即?(?)-?(?)-?(?)+?(?)+?，构造函数?(?)=?(?)-?=-12?+?+?，?，?，则函数 g（x）在1，2上单调递减，?(?)=-?+?+?=-?2-?-?在 1，2 上 恒 成 立，即?2?+1=(?+1)2-2(?+1)+1?+1=?+?+1?+1-?在1，2上恒成立，又?=?+?+1?+1-?在1，2上单调递增，故m12，构造函数?(?)=?(?)+?=32?+?+?，?，?，则函数h（x）在 1，2上单调递增，?(?)=?+?+?=3?2+?+?在1，2恒成立，即?-3?2?+1在1，2上恒成立，又函数?=-3?2?+1在 1，2上单调递减，故?-32，又 m0，故?12，实数 m 的最大值为12故选：A二、填空题（本大题共7 小题，多空悬每小题6 分，单空题每小题6 分，共 36 分）11已知复数z满足（1+i）z2i，i 为虚数单位，则z 的虚部是1，|z|?【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案解：因为复数z 满足（1+i）z 2i，i 为虚数单位，所以：z=2?1+?=2?(1-?)(1+?)(1-?)=i（1i）1+i；z 的虚部是：1；|z|=?+?=?；故答案为：1，?12若角 终边过点P（4，m），且 sin=35，则 m 等于3【分析】根据任意角的三角函数定义，列方程求出m 的值解：角 的终边经过点P（4，m），则 r=?+?=?+?，又 sin=?2+16=35，解得 m3故答案为：313在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，若 A=?6，a2+b2c2ab，c3，则角 C?3，a?【分析】由已知利用余弦定理可求cosC=12，结合范围C（0，），可求C=?3，结合已知可求B=?2，进而可求a=?的值解：a2+b2c2ab，cosC=?2+?2-?22?=?2?=12，C（0，），C=?3，A=?6，c3，B=?2，a=?=33=?故答案为：?3，?14函数 f（x）=13x34x+4 在0，3上的最大值与最小值之和为83【分析】利用求导公式先求出函数导数，求出导数等于0 时 x 的值，吧x 值代入原函数求出极值，再求出端点值，极值与端点值比较，求出最大值和最小值，做和解：f（x）x2_4f（x）0 则 x 2极值：f（2）=-43端点值：f（0）4 f（3）1所以：最大值为4 最小值为-43，最大值和最小值之和为83故答案为：8315函数f（x）2|x+1|x1|的值域为2，+）；若函数g（x）f（x）a 的两个不同零点x1，x2，满足 2|x1x2|10，则实数a 的取值范围是-12，5【分析】根据条件得到函数f（x）的解析式，作出其图象，数形结合求出当|x1x2|2时 a=-12，|x1x2|10 时，a5解：f（x）=-?-?，?-?+?，-?+?，?，作出函数f（x）图象如图：由图可知，函数f（x）的值域为：2，+）；当|x1x2|2 时，由图可知3x1 1，1x20，且满足 x1 33x2+1，即有 x1 3x24，则|x1x2|x2x1x2（3x24）4x2+42，解得 x2=-12，故此时a 3（-12）+1=-12；当|x1x2|10 时，由图可知x1 7，x21，且满足 x13x2+3，即有 x1 x26，则|x1x2|x2x1x2（x26）2x2+610，解得 x22，故此时ax2+35；综上，当2|x1x2|10 时，a 的取值范围为-12，5故答案为：2，+）；-12，516已知函数f（x）x2+ax+b 和 g（x）=?+ax+b，若 f（x）?g（x）0 恒成立，则a1，b0【分析】由题意可得x0，x 1 恒成立，代入计算即可得到所求a，b 的值，检验可得结论解：由题意可得x0 时不等式恒成立，可得b20，但 b20，即有 b0，又 x1 时，不等式恒成立，可得（1+a）20，但（1+a）2 0，可得 a 1，当 a 1，b 0时，f（x）?g（x）（x2x）（?-x）x?（x1）（1-?），当 x0 时，（x1）（1-?）0，故 f（x）?g（x）0 恒成立故答案为：1，017已知?为单位向量，平面向量?，?满足|?+2?|2，|?-?|1则?的取值范围是8，1【分析】设?=（1，0），?=（x，y），?=（m，n），利用柯西不等式得到?-?+x，利用换元法得到最大值，当两向量反向时最小解：不妨设?=（1，0），?=（x，y），?=（m，n），则根据条件可得（x+2）2+y24，（m1）2+n21，根据柯西不等式，?=mx+ny（m1）x+ny+x(?-?)?+?+?+x=-?+x，令 t=-?0，8，则?=-?+xt-?24=-14（t2）2+11，又因为当?，?反向时，?最小，即有?=（4，0），?=（2，0），此时?=-8，综上，?的取值范围是8，1，故答案为：8，1一、选择题18在平面直角坐标系xOy 中，已知向量?=（1，-?），?=（sinx，cosx），x（0，?2）（）若?，求 tan2x 的值；（）若?与?的夹角为2?3，求 x 的值【分析】（）根据?即可得出?=?，从而可得出?=?，进而得出?=-?；（）根 据 向 量 夹 角 的 余 弦 公 式 即 可 得 出?-3?2=-12，从 而 得 出?=?-?，然后根据sin2x+cos2x1 即可得出?=32，从而可得出x 的值解：（）?，?=?-?=?，且?(?，?2)，?=?，?=?3，?=?2?3=-?；（）?与?的夹角为2?3，?2?3=?|?|?|=?-3?2=-12，?=?-?，(?-?)?+?=?-?+?=?，且?(?，?2)，cosx0，?=32，?=?619设函数f（x）sinx+cosx，x R（）已知 ，函数 f（x+）是偶函数，求的值；（）设 ABC 的三边 a，b，c 所对的角分别为A，B，C，若 a2，f（?4+?2）=62，求 ABC 的面积的最大值【分析】把已知函数解析式利用辅助角公式化简（）由函数 f（x+）是偶函数，得 f（x+）f（x+），进一步得到?+?4-?+?+?4+?=?+?，k Z 恒成立，得到?=?4+?（k Z），再由的范围求得值；（）由f（?4+?2）=62求解角A，由已知结合余弦定理及基本不等式求得bc 的最大值，则 ABC 的面积的最大值可求解：f（x）sinx+cosx=?(?+?4)（）由函数f（x+）是偶函数，得f（x+）f（x+），即?(?+?4-?)=?(?+?4+?)，?+?4-?=?+?4+?+?，k Z（舍）或?+?4-?+?+?4+?=?+?，k Z 恒成立即?=?4+?（k Z），=-3?4或?4；（）由f（?4+?2）=62，得?(?4+?2+?4)=?2=62，即 cos?2=32，0A ，0?2?2，得?2=?6，即 A=?3由余弦定理可得：?=?=?+?-?3=b2+c2bc，4b2+c2bc2bcbc bc（当且仅当bc 时取等号），即 bc4 ABC 的面积 S=12?3?即 ABC 的面积的最大值为?20设函数f（x）ln（x+1），g（x）xf（x），x0，其中 f（x）是 f（x）的导函数（）求函数f（x）的图象在原点处的切线方程；（）令 g1（x）g（x），gn+1（x）g（gn（x），n N*，请猜想 gn（x）的表达式，并用数学归纳法证明结论【分析】（）求出f（x）的导函数，得到函数在x0 处的导数，再由直线方程斜截式求函数 f（x）的图象在原点处的切线方程；（）分别求出g1（x）、g2（x）、g3（x）的解析式，归纳猜测gn（x）=?1+?用数学归纳法证明时，验证n 1 时结论成立；假设nk（k2 且 k N*）时结论成立，即gk（x）=?1+?再由归纳假设及gk+1（x）g（gk（x）证明当nk+1 时结论成立，然后下结论解：（）由f（x）ln（x+1），得 f（x）=1?+1，f（0）1，函数 f（x）的图象在原点处的切线方程为yx；（）由题设得，g（x）=?+1（x0）由已知得，g1（x）g（x）=?+1（x0），g2（x）g（g1（x）=?+1?+1+1=?1+2?，g3（x）g（g2（x）=?1+2?1+?1+2?=?1+3?，归纳可得gn（x）=?1+?下面用数学归纳法证明 当 n1 时，g1（x）=?1+?，结论成立 假设 n k（k2 且 k N*）时结论成立，即gk（x）=?1+?那么，当nk+1 时，gk+1（x）g（gk（x）=?1+?1+?1+?=?1+(?+1)?，即结论成立由 可知，结论对n N*成立gn（x）=?1+?21已知函数f（x）x|x 2a|+1（x R）（）当a1 时，求函数yf（x）的零点；（）当a（0，32），求函数yf（x）在 x 1，2上的最大值；（）对于给定的正数a，有一个最大的正数T（a），使 x 0，T（a）时，都有|f（x）|1，试求出这个正数T（a）的表达式【分析】（）将a1 代入，令f（x）0，去掉绝对值直接求解即可得出零点；（）依题意，最大值在f（1），f（2），f（2a）中取得，然后分类讨论即可得出答案；（）问题可转化为在给定区间内f（x）1 恒成立，分a2+1 1 及 a2+1 1讨论得出答案解：（）由题意得a1 时，f（x）x|x2|+1，令 f（x）0，当 x2 时，x（x2）+10，解得?=?+?；当 x2 时，x（x 2）+10，解得 x1，；故函数 f（x）的零点为?+?和 1；（）?(?)=-?+?+?，?-?+?，?，其中 f（0）f（2a）1，由于?(?，32)，于是最大值在f（1），f（2），f（2a）中取，当 02a1，即?12时，f（x）在 1，2上递减，故 f（x）maxf（1）2a；当 a1 2a2，即12?时，f（x）在 1，2a上递增，在 2a，2上递减，故 f（x）maxf（2a）1；当 1a 22a，即 1a 2 时，f（x）在 1，a上递减，在 a，2上递增，故 f（x）maxmaxf（1），f（2），由于 f（1）f（2）（22a）（54a）2a30，故 f（x）maxf（2）54a；综上，?(?)?=?，?12?，12?-?，?32；（）x（0，+）时，f（x）max 1，故问题可转化为在给定区间内f（x）1恒成立，因为 f（a）a2+1，分两种情况讨论：当 a2+1 1 时，T（a）是方程x22ax+1 1 的较小根，即?时，?(?)=?-?-?；当 a2+1 1 时，T（a）是方程 x2+2ax+1 1 的较大根，即?时，?(?)=?+?+?；综上，?(?)=?-?-?，?+?+?，?22已知函数f（x）lnx ax+a（）讨论函数f（x）的单调性（）若函数f（x）有一个大于1 的零点，求实数a 的取值范围；（）若f（x0）0，且 x01，求证：x0+12?【分析】（）求导，分a0 及 a0 讨论即可得出单调性情况；（）分 a0，0 a1 及 a1 三种情况讨论，结合函数的单调性及零点存在性定理得出结论；（）问题转化为证明?2(?0-1)?0+1，构造函数?(?)=?-2(?-1)?+1，利用导数求其最值，容易得证解：（）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+），?(?)=1?-?=1-?，当 a0 时，f（x）0 恒成立，f（x）在（0，+）上单调递增；当 a0 时，令 f（x）0，解得?=1?，易知 f（x）在(?，1?)上单调递增，在(1?，+)上单调递减；（）由（）知，当a0 时显然不符合题意；当?1?，即 a1 时，f（x）在（1，+）上单调递减，又 f（1）0，故 f（x）0 在（1，+）上恒成立，无零点，不符合题意；当1?，即 0a1 时，f（x）在(?，1?)上单调递增，在(1?，+)上单调递减，?(1?)=?1?+?-?(?)=?，又?(?1?)=1?-?1?+?=?(1?2+?-?1?)，令?=1?，设 g（t）t2+1et，则 g（t）2tet，g（t）2 et0，g（t）在（1，+）上递减，g（t）g（1）2e 0，g（t）在（1，+）上递减，g（t）g（1）2 e0，即?(?1?)?，故 f（x）在(?，1?)上无零点，在(1?，+)有唯一零点；综上，满足条件的a 的取值范围为（0，1）；（）证明：由（）得，?(1?，+)且 0 a1，由 lnx0 a（x01），要证?+?2?，即证(?0+1)?0?0-1?，即证?2(?0-1)?0+1，令?(?)=?-2(?-1)?+1，则?(?)=1?-4(?+1)2=(?-1)2?(?+1)2?，h（x）在（1，+）上递增，h（x）h（1）0，故?2(?0-1)?0+1，即?+?2?