2019届浙江省十校联盟高三下学期4月高考适应性考试数学试题(解析版).pdf
第 1 页 共 23 页2019 届浙江省十校联盟高三下学期4 月高考适应性考试数学试题一、单选题1已知集合2340,13Ax xxBxx，则R()ABIe()A1,3B1,3C1,4D1,4【答案】B【解析】先由2340 xx得4x或1x，再计算R()e ABI即可.【详解】由2340 xx得4x或1x，,14,A，R1,4e A,又13Bxx，R()1,3ABIe.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的交集，补集的运算，考查学生的运算求解能力.2双曲线22:21Cxy的渐近线方程为()A20 xyB20 xyC20 xyD20 xy【答案】A【解析】将双曲线方程化为标准方程为22112yx，其渐近线方程为22012yx，化简整理即得渐近线方程.【详解】双曲线22:21Cxy得22112yx，则其渐近线方程为22012yx，整理得20 xy.第 2 页 共 23 页故选：A【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用.3如图所示，已知某几何体的三视图及其尺寸（单位：cm），则该几何体的表面积为()A152cmB212cmC242cmD332cm【答案】C【解析】由三视图知，该几何体是一个圆锥，其母线长是5cm，底面直径是6cm，据此可计算出答案.【详解】由三视图知，该几何体是一个圆锥，其母线长是5cm，底面直径是6cm，该几何体的表面积233524S.故选：C【点睛】本题主要考查了三视图的知识，几何体的表面积的计算.由三视图正确恢复几何体是解题的关键.4若复数12bizi（bR,i为虚数单位）的实部与虚部相等，则b的值为()A3B3C3D3【答案】C【解析】利用复数的除法，以及复数的基本概念求解即可.【详解】第 3 页 共 23 页221125bbibizi，又 z的实部与虚部相等，221bb，解得3b.故选:C【点睛】本题主要考查复数的除法运算，复数的概念运用.5将函数2()3sin 22cosf xxx图象上各点的横坐标伸长到原来的3 倍（纵坐标不变），再向右平移8个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（）A3,08B3,18C3,08D3,18【答案】D【解析】先化简函数解析式,再根据函数yAsinx的图象变换规律,可得所求函数的解析式为22sin134yx,再由正弦函数的对称性得解.【详解】23sin 22cosyxxQ3sin 21cos2xx2sin216x,将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3 倍,所得函数的解析式为22sin136yx,再向右平移8个单位长度,所得函数的解析式为22sin1386yx22sin134x,233,3428xkxkkZ，0k可得函数图象的一个对称中心为3,18，故选 D.【点睛】第 4 页 共 23 页三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解6已知,m n表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，且,mn，则“”是“/mn”的()条件.A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要【答案】B【解析】根据充分必要条件的概念进行判断.【详解】对于充分性：若，则,m n可以平行，相交，异面，故充分性不成立；若/mn，则,nn，可得，必要性成立.故选：B【点睛】本题主要考查空间中线线，线面，面面的位置关系，以及充要条件的判断，考查学生综合运用知识的能力.解决充要条件判断问题，关键是要弄清楚谁是条件，谁是结论.7已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止某考生一次发球成功的概率为01pp，发球次数为X，若X的数学期望1.75E X，则p的取值范围为()A10,2B70,12C1,12D7,112【答案】A【解析】根据题意，分别求出123P XP XP X，再根据离散型随机变量期望公式进行求解即可【详解】由题可知1P Xp，21P Xp p，第 5 页 共 23 页2323111P Xpppp，则21232 13 11.75E XP XP XP Xpp pp+2+3解得5122pp或，由0,1p可得10,2p，答案选 A【点睛】本题考查离散型随机变量期望的求解，易错点为第三次发球分为两种情况：三次都不成功、第三次成功8已知方程1x xy y表示的曲线为()yfx的图象，对于函数()yf x有如下结论：()f x 在+，上单调递减；函数()()F xfxx至少存在一个零点；()yfx的最大值为1；若函数()g x和()f x 图象关于原点对称，则()yg x由方程1y yx x所确定；则正确命题序号为()ABCD【答案】C【解析】分四类情况进行讨论，然后画出相对应的图象，由图象可以判断所给命题的真假性.【详解】（1）当00 xy，时，221xy，此时不存在图象；（2）当00，xy时，221-yx，此时为实轴为y轴的双曲线一部分；（3）当00，xy时，221xy，此时为实轴为x轴的双曲线一部分；（4）当00，xy时，221xy，此时为圆心在原点，半径为1 的圆的一部分；画出()yf x的图象，第 6 页 共 23 页由图象可得：对于，()f x 在+，上单调递减，所以正确；对于，函数()yf x与yx的图象没有交点，即()()F xf xx没有零点，所以 错误；对于，由函数图象的对称性可知错误；对于，函数()g x和()f x 图象关于原点对称，则1x xy y中用x代替x，用y代替y，可得1y yx x，所以 正确.故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的图象与性质，函数的零点概念，考查了数形结合的数学思想.9已知三棱柱111ABCA B C的所有棱长均相等，侧棱1AA平面ABC，过1AB作平面与1BC平行，设平面与平面11ACC A的交线为l，记直线l与直线,AB BC CA 所成锐角分别为，则这三个角的大小关系为()ABCD【答案】B【解析】利用图形作出空间中两直线所成的角，然后利用余弦定理求解即可.【详解】第 7 页 共 23 页如图，1111111，D CCCC EAC，设O为11AC的中点，1O为11C E 的中点，由图可知过1AB且与1BC平行的平面为平面11AB D，所以直线l即为直线1AD，由题易知，11，D ABO CB的补角，1D AC分别为，设三棱柱的棱长为2，在1D AB中，112 522 5，D BABAD，2212 542 555coscos1010222 5，D AB；在1O BC中，111125，O BBCOC，221541155coscos1010225，O CB；在1D AC中，11422 5，CDACAD，1255coscos552 5，D AC，coscoscos，Q.故选：B【点睛】本题主要考查了空间中两直线所成角的计算，考查了学生的作图，用图能力，体现了学生直观想象的核心素养.10已知正项数列,nnab满足：1110nnnnnnaabbab，设nnnacb，当34cc最小时，第 8 页 共 23 页5c的值为()A2B145C3D4【答案】B【解析】由1110nnnnnnaabbab得11911nnnnaabb，即1911nncc，所以得3433911cccc，利用基本不等式求出最小值，得到32c，再由递推公式求出5c.【详解】由1110nnnnnnaabbab得1110109111nnnnnnnnnnnnaaabbaababbb，即1911nncc，34339161cccc，当且仅当32c时取得最小值，此时45349914141115，cccc.故选：B【点睛】本题主要考查了数列中的最值问题，递推公式的应用，基本不等式求最值，考查了学生的运算求解能力.二、双空题11“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月共织九匹三丈”其白话意译为：“现有一善织布的女子，从第2 天开始，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织了5尺布，现在一个月（按30 天计算）共织布390 尺”则每天增加的数量为_尺，设该女子一个月中第n 天所织布的尺数为na，则14151617aaaa_【答案】162952 第 9 页 共 23 页【解析】设从第 2 天开始,每天比前一天多织d尺布,由等差数列前n项和公式求出1629d,由此利用等差数列通项公式能求出14151617aaaa.【详解】设从第 2 天开始,每天比前一天多织d 尺布,则3030293053902Sd,解得1629d,即每天增加的数量为1629，14151617111113141516aaaaadadadad1458ad164 5585229，故答案为1629，52.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的求和公式，意在考查利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.12已知821(0)axax的展开式中各项系数之和为256，则a_，展开式中6x的系数为 _.【答案】1 70【解析】（1）由题知当1x时，81256a，解得1a；（2）可得516218rrrTC x，由51662r得4r，即可得展开式中6x项的系数.【详解】（1）由821(0)axax的展开式中各项系数之和为256，所以令1x时，81256a，解得1a，（2）又516218rrrTC x，由51662r得4r，所以展开式中6x项的系数为4870C.故答案为：(1).1(2).70【点睛】本题主要考查了二项式定理，二项展开式通项的应用等，解题关键是利用通项正确进行第 10 页 共 23 页运算.13 若实数,x y满足约束条件1010570 xyxyxy，则该不等式组表示的平面区域的面积为_，目标函数32zxy的最小值为 _.【答案】6 2【解析】（1）由约束条件画出可行域，然后求出不等式组表示的平面区域的面积；（2）利用目标函数的几何意义，结合图形求其最小值.【详解】（1）由题意得，该不等式组表示的平面区域是直角三角形及其内部区域（如图中阴影部分所示），顶点分别为1,01,22,3，ABC，且2 23 2，ABACABAC，所以12 23 262ABCS；（2）又32,032=32,0 xyxzxyxyx，由图知目标函数在点0,1处取得最小值，所以min2z，故答案为：(1).6(2).2【点睛】本题主要考查二元一次不等式组的平面区域的面积计算，目标函数的最值问题，考查了数形结合的思想.1422abrr，1a b-r r，()btabrrr()tR，则2abrr_，t_.第 11 页 共 23 页【答案】2 1【解析】（1）222ababrrrr，将条件代入即得；（2）由()btabrrr得2()0btabta bbrrrr rr，代入解方程可得t.【详解】（1）22222442ababaa bbrrrrrr rr；（2）由()btabrrr得2()0btabta bbrrrr rr，所以10t得1t.故答案为：(1).2(2).1【点睛】本题主要考查了向量模的计算，向量垂直的性质运用.三、填空题15 已知椭圆22221(0)xyCabab：的左右焦点分别为12FF、，过2(1,0)F且斜率为1的直线交椭圆于A B、，若三角形1F AB的面积等于22b，则该椭圆的离心率为_.【答案】31【解析】由题得直线AB的方程为1xy，代入椭圆方程得：222222220abyb yba b，设点1122,AB xyxy，则有2222121222222，bba byyy yabab，由121212122F ABSF Fyyb，且221ab解出a，进而求解出离心率.【详解】由题知，直线AB的方程为1xy，代入22221xyab消x得：222222220abyb yba b，设点1122,AB xyxy，则有2222121222222，bba byyy yabab，第 12 页 共 23 页2222222212121222222222144bba bab abyyyyy yababab，而122212122211212222F ABababSF Fyybab，又221ab，解得：312a，所以离心率131312cea.故答案为：31【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，三角形面积计算与离心率的求解，考查了学生的运算求解能力16安排4名男生和4名女生参与完成3项工作，每人参与一项，每项工作至少由1名男生和1名女生完成，则不同的安排方式共有_种（用数字作答）.【答案】1296【解析】先从 4 个男生选 2 个一组，将4 人分成三组，然后从4 个女生选2 个一组，将4 人分成三组，然后全排列即可.【详解】由于每项工作至少由1名男生和1名女生完成，则先从4个男生选2个一组，将4人分成三组，所以男生的排法共有234336C A，同理女生的排法共有234336C A，故不同的安排共有232343431296C AC A种.故答案为：1296【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，考查了学生应用数学解决实际问题的能力.17已知1()()f xxa aRx，若存在1231,22nxxxx，使得121()()()nf xf xf x()nf x成立的最大正整数n为 6，则a的取值范围为_.【答案】15 1913 21)(,8 1058，【解析】由题意得minmaxminmax56fxfxfxfx，分类讨论作出函数图象，求得最值解不等式组即可.第 13 页 共 23 页【详解】原问题等价于minmaxminmax56fxfxfxfx，当2a时，函数图象如图此时minmax522，fxafxa，则55 2256 22aaaa，解得：1519810a；当924a时，函数图象如图此时minmax502，fxfxa，则55025602aa，解得：a；当9542a时，函数图象如图第 14 页 共 23 页此时minmax02，fxfxa，则5 02602aa，解得：a；当52a时，函数图象如图此时minmax522，fxafxa，则55225622aaaa，解得：132158a；综上，满足条件a的取值范围为15 1913 21)(,81058，.故答案为：15 1913 21)(,81058，【点睛】本题主要考查了对勾函数的图象与性质，函数的最值求解，存在性问题的求解等，考查了分类讨论，转化与化归的思想.四、解答题18已知ABC中，内角,A B C所对边分别是,a b c其中2,3ac.（1）若角A为锐角，且3sin3C，求sin B的值；（2）设2()3sincos3cosf CCCC，求()f C的取值范围.【答案】（1）2 6159；（2）3 3,32 2.第 15 页 共 23 页【解析】（1）由正弦定理直接可求sin A，然后运用两角和的正弦公式算出sin B；（2）化简33 sin 232fCC，由余弦定理得22211cos24abcCbabb，利用基本不等式求出1cos2C，确定角C范围，进而求出()f C的取值范围.【详解】（1）由正弦定理，得：sinsinacACsin2sin3aCAcsinsinCA，且A为锐角65cos,cos33CA2615sinsin()sincoscossin9BACACAC（2）31cos2133sin233sin 2cos222222CfCCCC33sin232C222111cos242abcCbabbQ0,3C233C+，sin 20,13C3 3,32 2fC【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，基本不等式的应用，三角函数的值域等，考查了学生运算求解能力.19如图，在四棱锥PABCD中，侧棱PA底面ABCD，/ADBC，90ABCo，1AD，2PAABBC，M是棱PB中点.第 16 页 共 23 页（1）已知点E在棱BC上，且平面/AME平面PCD，试确定点E的位置并说明理由；（2）设点N是线段CD上的动点，当点N在何处时，直线MN与平面PAB所成角最大？并求最大角的正弦值.【答案】（1）E为BC中点，理由见解析；（2）当点N在线段DC靠近C的三等分点时，直线MN与平面PAB所成角最大，最大角的正弦值357.【解析】(1)E为BC中点,可利用中位线与平行四边形性质证明/MEPC，/AEDC，从而证明平面/AME平面PCD；（2）以 A 为原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x、y、z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出当点N在线段DC靠近C的三等分点时，直线MN与平面PAB所成角最大，并可求出最大角的正弦值.【详解】（1）E为BC中点，证明如下：QME、分别为,PB BC中点，/MEPC又MEQ平面,PDC PC平面PDC/ME平面PDC又/ECADQ，且ECAD四边形EADC为平行四边形，/AEDC同理，/AE平面PDC，又AEMEEQ第 17 页 共 23 页平面/AME平面PDC（2）以 A 为原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x、y、z 轴建立空间直角坐标系则(0 0 0),(0 2 0),(2 2 0),(10 0),(0 0 2)ABCDP，()0 11M，设直线MN与平面PAB所成角为，01DNDCu uu ruuu r则1 211MNMAADDNuuu u vu uu vuuu vuu uv，取平面PAB的法向量为(1,0,0)nr则22221(1)sincos,523(1)(21)1=MN nuuuu r r令11,2+=t，则22222(1)1511523523710()125t=tttt所以35sin7当5233t时，等号成立即当点N在线段DC靠近C的三等分点时，直线MN与平面PAB所成角最大，最大角的正弦值357.【点睛】本题主要考查了平面与平面的平行，直线与平面所成角的求解，考查了学生的直观想象与运算求解能力.20 若数列na前 n 项和为nS，且满足21nntSat（t 为常数，且0,1tt）（1）求数列na的通项公式：第 18 页 共 23 页（2）设1nnbS，且数列nb为等比数列，令3lognnncab，.求证：1232nccc.【答案】（1）2nnat（2）详见解析【解析】（1）利用1nnnaSS可得na的递推关系，从而可求其通项.（2）由nb为等比数列可得13t，从而可得nc的通项，利用错位相减法可得nc的前n项和，利用不等式的性质可证1232nccc.【详解】（1）由题意，得：21nntSat（t 为常数，且0,1tt），当1n时，得1121tSat，得12at.由11212(2)1nnnntSattSant，故111nnnnntSSaaat，1(2)nnatan，故2nnat.（2）由211221111nnnnttbStttt，由nb为等比数列可知：2213bb b，又22312312,122,1222bt bttbttt，故2223122121222tttttt，化简得到3262tt，所以13t或0t（舍）.所以，12,33nnnnba，则3212log333nnnnnc.设nc的前 n 项和为nT.则12242333nnnT23112423333nnnT，相减可得第 19 页 共 23 页12323322 32nnnnTcccL【点睛】数列的通项na与前n项和nS的关系式11,1,2nnnS naSSn，我们常利用这个关系式实现na与nS之间的相互转化.数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.21已知抛物线24Cyx：的焦点为F，准线l与x轴交于点M，点P在抛物线上，直线PF与抛物线C交于另一点A.（1）设直线MP，MA的斜率分别为1k，2k，求证：12kk常数；（2）设PMA的内切圆圆心为(,)G a b的半径为r，试用r表示点G的横坐标a；当PMA的内切圆的面积为12时，求直线PA的方程.【答案】（1）证明见解析；（2）24ra；34108xy.【解析】（1）设过F的直线1xmy交抛物线于11(,)P xy，22(,)A xy，联立24yx，利用直线的斜率公式和韦达定理表示出12kk，化简即可；（2）由（1）知点G在x轴上，故,0G a，设出直线,PA PM方程，求出交点P坐标，因为内心到三角形各边的距离相等且均为内切圆半径，列出方程组求解即可.【详解】（1）设过F的直线1xmy交抛物线于11(,)P xy，22(,)A xy，(1,0)M联立方程组214xmyyx，得：2440ymy.第 20 页 共 23 页于是，有：121244yymyy1212211212121212111yyy xy xyykkxxxxx x，又12211212121211()()(4)44044y xy xyyy yyyyymm，120kk；（2）由（1）知点G在x轴上，故,0G a，联立,PA PM的直线方程：11xmyxny.2,mnPnm nm，又点P在抛物线24yx上，得221nm，又22222222222111141111rmaaarrnmamnrna，24ra；由题得，2211228Srra（解法一）22111128+m348m所以直线PA的方程为34108xy（解法二）设内切圆半径为r，则22r=.设直线PM的斜率为k，则：直线MP的方程为：(1)yk x代入直线PA的直线方程，可得12(,)11mkkPmkmk于是有：221()411kmkmkmk，得22(1)1km，第 21 页 共 23 页又由（1）可设内切圆的圆心为(,0).t则221221(1)221tmk tk，即：2222212(1)2(1)1mtktk，解得：18348tm所以，直线PA的方程为：34108xy.【点睛】本题主要考查了抛物线的性质，直线与抛物线相关的综合问题的求解，考查了学生的运算求解与逻辑推理能力.22已知函数2()ln(0)，f xxbxax abR.（1）设2ba，若()f x 存在两个极值点1x，2x，且121xx，求证：12()()34ln 2f xf x；（2）设()()g xxf x，()g x在1,e不单调，且124bea恒成立，求a的取值范围.（e为自然对数的底数）.【答案】（1）证明见解析；（2）24248844eee eee，.【解析】（1）先求出fx，又由121xx可判断出()f x 在1,2a上单调递减，故212ln142aafxfxa，令22at，记22 ln1h tttt，利用导数求出h t的最小值即可；（2）由()g x在1,e上不单调转化为()0gx在1,e上有解，可得23ln2xaxabx，令ln13aaxFxxxa，分类讨论求F x的最大值，再求解max4F xe即可.【详解】第 22 页 共 23 页（1）已知22(0),()lnbaafxxbxax，(1)(2)()2axxafxxbxx，由()0fx可得1212axx，又由121xx,知22a()f x在1,2a上单调递减，2121ln1242aaafxfxffa令22at，记22 ln1h tttt，则22ln2h ttt22(1)()20th ttt()h t在2+，上单调递增；()(2)2(1ln 2)0h th，()h t 在2+，上单调递增；()(2)3 4ln 20h th-，12()()34ln 2f xf x（2）32()lng xxbxaxx，2()32lng xxbxaxa，()g xQ在1,e上不单调，()g x在1,e上有正有负，()0g x在1,e上有解，23ln2xaxabx，(1,)xe，124beaQ恒成立，记ln13aaxFxxxa，则2223ln3lnxaxxFxaxax，记2ln()xG xx，312ln()xGxx，()G x在1,e上单调增，在,e e上单调减.max1()()2G xGee于是知第 23 页 共 23 页（i）当312ae即6ae时，()0Fx 恒成立，F x在1,e上单调增，2134aF eeeea，2220ae ae，24248844eeeeeea.（ii）当6ae时，313 63312422aeFeeeeeaee，故不满足题意.综上所述，24248844eee eeea，【点睛】本题主要考查了导数的综合应用，考查了分类讨论，转化与化归的思想，考查了学生的运算求解能力.
