2020届江苏省南通市海安高级中学高三下学期3月线上考试数学试题(解析版).pdf
第 1 页 共 26 页2020 届江苏省南通市海安高级中学高三下学期3 月线上考试数学试题一、填空题1已知集合02,1 MxxNx x，则MNI_.【答案】|12xx【解析】根据交集的定义，即得解.【详解】集合02,1MxxNx x根据交集定义，|12MNxxI【点睛】本题考查了集合交集的运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.2复数zi 1i的共轭复数在复平面内对应的点位于第_象限【答案】四【解析】利用复数代数形式的乘法运算化简，求出z的坐标得答案【详解】zi 1i1iQ，z1i，则复数zi 1i的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为1,1，位于第四象限故答案为四【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200 辆汽车的时速，所得数据均在区间40,80中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间40,60内的汽车有 _辆.第 2 页 共 26 页【答案】80【解析】试题分析：时速在区间40,60)内的汽车有200(0.010.03)1080.【考点】频率分布直方图4袋中装有5 个大小相同的球，其中3 个黑球，2 个白球，从中一次摸出2 个球，则摸出 1 个黑球和1 个白球的概率等于_【答案】35【解析】分析：通过枚举法写出摸出2 个球的所有情况，再找出摸出1 个黑球和 1 个白球的情况，由此能求出概率.详解：设3 个黑球用A，B，C 表示；2 个白球用甲，乙表示，摸出 2 个球的所有情况：（A，B）、（A，C）、（A，甲）、（A，乙）、（B，C）、（B，甲）、（B，乙）、（C，甲）、（C，乙）、（甲，乙）共10 种，其中摸出1 个黑球和1 个白球的情况有6种，所以，摸出1 个黑球和1 个白球的概率为63105P.故答案为35.点睛：本题考查利用古典概型的概率公式求事件的概率，解题时要注意枚举法的合理运用.5在一次知识竞赛中，抽取5 名选手，答对的题数分布情况如表，则这组样本的方差为 _答对题数48910人数分布1121【答案】225【解析】根据表中数据计算平均数和方差即可第 3 页 共 26 页【详解】根据表中数据，计算平均数为1x48921085，方差为22222122s(48)(88)(98)2108)55故答案为：225【点睛】本题考查了平均数与方差的计算问题，熟记计算公式，准确计算是关键，是基础题6如图所示的算法流程图中，最后输出值为_【答案】25【解析】分析：由流程图可知，该算法为先判断后计算的当型循环，模拟执行程序，即可得到答案.详解：程序执行如下2018TTi1 5 Y510Y5015Y75020Y1500025第 4 页 共 26 页N输出故2018T不成立时，25i.故答案为25.点睛：本题考查了循环结构的程序框图，正确判断循环的类型和终止循环的条件是解题关键7已知 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面若m，m，则，若m，n，则mn；若m，n，/，则m/n；若m/，m，n，则m/n上述命题中为真命题的是_(填写所有真命题的序号)【答案】【解析】由线面垂直的判定定理可知正确；m与 n 可能平行可能相交；m与 n可能平行或异面；由线面平行的性质定理可知正确【详解】选项正确，由线面垂直的判定定理可知：若m，m，则；选项错误，若m，n，则 m 与 n 可能平行可能相交；选项错误，若m，n，/，则 m 与 n 可能平行或异面；选项正确，由线面平行的性质定理可知：若m/，m，n，则m/n故答案为：【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及线面位置关系的确定，熟记基本定理，准确推理是关键，属基础题8公元五世纪张丘建所著张丘建算经卷 22 题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何”.题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天织得快(每天增加的数量相同)，已知第一天织布5 尺，一个月(30天)共织布 9第 5 页 共 26 页匹3丈，则该女子每天织尺布的增加量为_尺.(1匹4丈，1丈10尺)【答案】1629【解析】分析：设该女子织布每天增加d尺，由等差数列前n项和公式求出d即可.详解：设该女子织布每天增加d尺，由题意知，15a尺，3010(943)390S尺又由等差数列前n项和公式得3013029303902Sa，解得1629d尺故答案为1629点睛：本题考查等差数列的实际应用，解题时要认真审题，注意等差数列性质的合理运用.9若cos 2cos 4，则tan 8_【答案】213【解析】cos 2cos 4，可得 cos 2cos 8888，利用和差公式、同角三角函数基本关系式及其倍角公式即可得出【详解】cos 2cos 4Q，cos 2cos 8888，cos cossin sin2cos cos2sin sin88888888，化为：cos cos3sin sin8888，3tan tan188，22tan8tan141 tan8Q，解得tan218第 6 页 共 26 页121tan 83321（），故答案为213【点睛】本题考查了余弦和正切和差公式、同角三角函数基本关系式及其倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10如图，已知O 为矩形 ABCD 内的一点，且OA2，OC4，AC5，则OB ODuuu r u uu r_【答案】52【解析】建立坐标系，设O m,n，C a,b，根据条件得出O，C 的坐标之间的关系，再计算OB ODu uu r uu u r的值【详解】以 A 为原点，以AB，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，设O m,n，B a,0，D 0,b，则C a,b，OA2Q，OC4，AC5，222222ab25mn4()()16manb，整理可得：13ambn2又OBam,nuuu r，ODm,bnuuu r，第 7 页 共 26 页22135OB ODm man nbmnambn422u uu r u uu r故答案为52【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系是突破点，准确计算是关键，属于中档题11已知关于x 的方程xxa1在2,上有三个相异实根，则实数a 的取值范围是 _【答案】5,22【解析】分析：将方程问题转换为函数()f xxa 与1()g xx的图象在2,上有三个不同交点.根据函数图象可以求出答案.详解：Q方程1x xa在2,上有 3 个相异实根，函数()f xxa与1()g xx的图象在2,上有三个不同交点，在坐标系中画出函数的图象，由图象可知，在(2,0)x上，函数()yf x与()yg x有两个不同的交点，在(0,)x上，函数()yf x与()yg x有一个交点Q1,0()=1,0 xxg xxx，联立1yxyxa，整理得210 xax，24a240(2)(2)agf，即240122aa，解得522a实数a的取值范围为5(,2)2故答案为5,22第 8 页 共 26 页点睛：本题主要考查方程的根与函数图象交点的关系，考查数形结合的思想以及分析问题解决问题的能力.12已知a0，b0，且111ab，则b3a2ba的最小值等于_【答案】11【解析】分析：构造基本不等式模型1132()(32)bbababaaba，化简整理，应用基本不等式，即可得出答案.详解：Q111ab，1132()(32)53()bbbaababaabaabQ0a，0b，0ba，0ab，2baab，当且仅当2ab时取等号.325611baba.32baba的最小值等于11.故答案为11.点睛：本题考查基本不等式的性质与应用，同时考查了整体思想与转化思想的运用.13如图，已知AC8，B 为 AC 的中点，分别以AB，AC 为直径在AC 的同侧作半圆，M，N 分别为两半圆上的动点(不含端点A，B，C)，且BMBN，则AM CNuuu u r uu u r的最大值为 _【答案】4【解析】以 A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，求得 A，B，C 的坐标，可得以AB 为直径的半圆方程，以AC 为直径的半圆方程，设出M，N第 9 页 共 26 页的坐标，由向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变换可得 2，再由余弦函数、二次函数的图象和性质，计算可得最大值【详解】以 A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，可得A 0,0，B 4,0，C 8,0，以 AB 为直径的半圆方程为22(x2)y4(x0,y0)，以 AC 为直径的半圆方程为22(x4)y16(x0,y0)，设M 22cos,2sin，N 44cos,4sin，0，BMBN，可得BM BN22cos,2sin4cos,4sin0u uu u r u uu r，即有8cos 8 cos cos sin sin0，即为cos cos cos sin sin，即有cos cos ，又0，可得 ，即 2，则AM CN22cos,2sin44cos,4sinuuu u r uu u r88cos 8cos 8 cos cos sin sin288cos 16cos 16cos 16cos 2116(cos)42，可得1cos02，即3，23时，AM CNuuu u r uu u r的最大值为4故答案为4【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了圆的方程与应用问题，建立平面直角第 10 页 共 26 页坐标系，用坐标表示向量是解题的关键14若关于 x 的不等式3230 xxaxb对任意的实数1,3x及任意的实数2,4b恒成立，则实数a的取值范围是_【答案】,2【解析】由题意可得323xxaxb先对 b 恒成立，即为3234xxax，再由参数分离和函数的导数，求得单调性和最值，即可得到所求a 的范围【详解】关于 x 的不等式3230 xxaxb对任意的实数1,3x及任意的实数2,4b恒成立，先看成 b 的一次函数，可得323bminxxax（）即为3234xxax，可得243axxx恒成立，设243fxxxx，1,3x，222222432xxxfxxxx，可得12x时，0f x，fx递增；23x时，0f x，fx递减，又12f，433f，可得fx在1,3的最小值为2，可得2a即有 a 的范围是,2故答案为：,2【点睛】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和构造函数，运用导数求单调性和最值，考查转化思想和运算能力，属于中档题二、解答题第 11 页 共 26 页15已知ABCV内接于单位圆，且112tanAtanB，1求角 C2求ABCV面积的最大值【答案】（1）34C（2）212【解析】1变形已知条件可得1tanAtanBtanA tanB，代入可得11tanAtanBtanCtan ABtanAtanB，可得 C 值；2由正弦定理可得c，由余弦定理和基本不等式可得ab 的取值范围，进而可得面积的最值【详解】1112tanAtanBQ1tanAtanBtanA tanB，11tanAtanBtanCtan ABtanAtanB，3C0,4CQ2ABCQV的外接圆为单位圆，其半径1R由正弦定理可得22cRsinC，由余弦定理可得2222cababcosC，代入数据可得2222abab2222ababab，当且仅当a=b 时，“=”成立222ab，ABCV的面积1122122222SabsinC，BA CV面积的最大值为：212【点睛】本题考查两角和与差的正切，涉及正余弦定理和三角形的面积公式，基本不等式的应用，熟记定理，准确计算是关键，属中档题第 12 页 共 26 页16如图，在四面体ABCD中，ABACDBDC，点 E 是BC的中点，点F 在线段AC上，且AFAC.（1）若/EF平面ABD，求实数的值；（2）求证：平面BCD平面AED.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）由线面平行的性质得出/EF AB，可以判断点F 为AC的中点，从而求出的值；（2）由ABACDBDC，点 E 是BC的中点，得到BCAE，BCDE，由面面垂直的判断定理即可证明平面BCD平面AED.【详解】（1）因为/EF平面ABD，得EF平面ABC，平面ABC I平面=ABD AB，所以/EF AB，又点 E 是BC的中点，点F 在线段AC上，所以点 F 为AC的中点，由AFAC，得1=2；（2）因为ABACDBDC，点 E 是BC的中点，所以 BCAE，BCDE，又=AEDE E，AE平面AED，DE平面AED，所以 BC 平面AED，又BC平面BCD，所以平面BCD平面AED.【点睛】本题主要考查线面平行的性质和面面垂直的证明，考查学生空间想象能力，属于基础题.17如图，长方形材料ABCD中，已知2 3AB，4AD.点P为材料ABCD内部一第 13 页 共 26 页点，PEAB于E，PFAD于F，且1PE，3PF.现要在长方形材料ABCD中裁剪出四边形材料AMPN，满足150MPN，点M、N分别在边AB，AD上.（1）设FPN，试将四边形材料AMPN的面积表示为的函数，并指明的取值范围；（2）试确定点N在AD上的位置，使得四边形材料AMPN的面积S最小，并求出其最小值.【答案】(1)见解析;(2)当2 33AN时，四边形材料AMPN的面积S最小，最小值为323.【解析】分析：（1）通过直角三角形的边角关系，得出NF和ME，进而得出四边形材料AMPN的面积的表达式，再结合已知尺寸条件，确定角的范围.（2）根据正切的两角差公式和换元法，化简和整理函数表达式，最后由基本不等式，确定面积最小值及对应的点N在AD上的位置.详解：解：（1）在直角NFP中，因为3PF，FPN，所以3tanNF，所以1113tan322NAPSNA PF，在直角MEP中，因为1PE，3EPM，所以tan3ME，所以113tan1223AMPSAM PE，第 14 页 共 26 页所以NAPAMPSSS31tantan3223，0,3.（2）因为31tantan3223S33tantan322 13tan，令13tant，由0,3，得1,4t，所以234434332332 3ttSttt343322333tt，当且仅当2 33t时，即23tan3时等号成立，此时，2 33AN，min323S，答：当2 33AN时，四边形材料AMPN的面积S最小，最小值为323.点睛：本题考查三角函数的实际应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，注意换元法和基本不等式的合理运用.换元法求函数的值域，通过引入新变量（辅助式，辅助函数等），把所有分散的已知条件联系起来，将已知条件和要求的结果结合起来，把隐藏在条件中的性质显现出来，或把繁琐的表达式简化，之后就可以利用各种常见的函数的图象和性质或基本不等式来解决问题.常见的换元方法有代数和三角代换两种.要特别注意原函数的自变量与新函数自变量之间的关系.18已知椭圆E：2229(0)xymm，直线 l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与E 有两个交点A，B，线段 AB 的中点为M 1若3m，点 K 在椭圆 E 上，1F、2F分别为椭圆的两个焦点，求12KFKFuuu r uuuu r的范围；2证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；3若 l 过点,3mm，射线 OM 与椭圆 E 交于点 P，四边形 OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时直线l 斜率；若不能，说明理由【答案】（1）7,1（2）见证明；（3）见解析第 15 页 共 26 页【解析】13m，椭圆 E：2219xy，两个焦点12 2,0F，222,0F，设,K x y，求出12KFKFu uu r uuuu r的表达式，然后求解范围即可2设 A，B 的坐标分别为11,x y，22,xy，利用点差法转化求解即可3直线 l 过点,3mm，直线 l 不过原点且与椭圆E 有两个交点的充要条件是0k且1.3k设,PPP xy，设直线0,03mlyk xmmk：，代入椭圆方程，通过四边形OAPB 为平行四边形，转化求解即可【详解】13m，椭圆 E：2219xy，两个焦点12 2,0F，22 2,0F设,K x y，122,F Kxyuuu u r，22 2,F Kxyuuuu r，222121222,2 2,881KFKFFKF Kxyxyxyyuuu r uuuu ruuuu r uuuu r，11yQ，12KFKFu uu r uuuu r的范围是7,12设 A，B 的坐标分别为11,x y，22,xy，则222112222299.xymxym两式相减，得1212121290 xxxxyyyy，12121212190yyyyxxxx，即190OMlkk，故19OMlkk；3设,PPP xy，设直线0,03mlyk xmmk：，即3mlykxkm：，由2的结论可知19OMyxk：，代入椭圆方程得，2222991Pm kxk，由3myk xm与19yxk，联立得222933,9191mkmk mkmMkk若四边形OAPB 为平行四边形，那么M 也是 OP 的中点，所以2Mpxx，第 16 页 共 26 页即2222229394()9191k mkmm kkk，整理得29810kk解得，479k经检验满足题意所以当479k时，四边形OAPB 为平行四边形.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，点差法，直线与椭圆的交点，考查分析问题解决问题的能力，准确转化平行四边形是关键，是中档题19已知函数f（x）=aex，g（x）=lnx-ln a，其中a为常数，且曲线y=f（x）在其与y轴的交点处的切线记为l1，曲线 y=g（x）在其与 x 轴的交点处的切线记为l2，且 l1l2（1）求 l1，l2之间的距离；（2）若存在x 使不等式xmxfx成立，求实数m 的取值范围；（3）对于函数f（x）和 g（x）的公共定义域中的任意实数x0，称|f（x0）-g（x0）|的值为两函数在x0处的偏差求证：函数f（x）和 g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于 2【答案】（1）2；（2）0，；（3）见解析【解析】（1）先根据导数的几何意义求出两条切线，然后利用平行直线之间的距离公式求出求 l1，l2之间的距离；（2）利用分离参数法，求出h（x）=x-xex的最大值即可；（3）根据偏差的定义，只需要证明()()f xg x的最小值都大于2【详解】（1）f（x）=aex，g（x）=1x，y=f（x）的图象与坐标轴的交点为（0，a），y=g（x）的图象与坐标轴的交点为（a，0），由题意得f（0）=g（a），即 a=1a，又 a0，a=1 f（x）=ex，g（x）=lnx，函数 y=f（x）和 y=g（x）的图象在其坐标轴的交点处的切线方程分别为：x-y+1=0，x-y-1=0，第 17 页 共 26 页两平行切线间的距离为2.（2）由xmfxx，得xxmex，故 mx-xex在 x0，+）有解，令 h（x）=x-xex，则 mh（x）max，当 x=0 时，m0；当 x0 时，h（x）=1-（12x+x）ex，x0，12 x+x212xx=2，ex 1，（12x+x）ex2，故 h（x）0，即 h（x）在区间 0，+）上单调递减，故 h（x）max=h（0）=0，m0，即实数m的取值范围为（-，0）（3）解法一：函数 y=f（x）和 y=g（x）的偏差为：F（x）=|f（x）-g（x）|=ex-lnx，x（0，+），F（x）=ex-1x，设 x=t 为 F（x）=0 的解，则当 x（0，t），F（x）0；当 x（t，+），F（x）0，F（x）在（0，t）单调递减，在（t，+）单调递增，F（x）min=et-lnt=et-ln1te=et+t，F（1）=e-1 0，F（12）=e-2 0，12t1，故 F（x）min=et+t=e+122.25+12=2，即函数 y=f（x）和 y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2解法二：由于函数y=f（x）和 y=g（x）的偏差：F（x）=|f（x）-g（x）|=ex-lnx，x（0，+），令 F1（x）=ex-x，x（0，+）；令 F2（x）=x-lnx，x（0，+），第 18 页 共 26 页 F1（x）=ex-1，F2（x）=1-1x=1xx，F1（x）在（0，+）单调递增，F2（x）在（0，1）单调递减，在（1，+）单调递增，F1（x）F1（0）=1，F2（x）F2（1）=1，F（x）=ex-lnx=F1（x）+F2（x）2，即函数 y=f（x）和 y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2.【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义解决曲线的切线问题，利用导数求解函数的最值问题,属于难度题.20设数列na的前 n 项和为nS，23nnSa，*nN1求数列na的通项公式；2设数列nb满足：对于任意的*nN，都有11213211()333nnnnna ba ba ba bn成立求数列nb的通项公式；设数列nnnca b，问：数列nc中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由【答案】(1)113nna，*nN.(2)21nbn，*nN.见解析.【解析】分析：（1）当2n时，类比写出1123nnSa，两式相减整理得113nnaa，当1n时，求得10a，从而求得数列na的通项公式.；（2）将113nna代入已知条件，用与（1）相似的方法，变换求出数列nb的通项公式；由nc的通项公式分析，得12345ccccc，假设存在三项sc，pc，rc成等差数列，且spr，则2psrccc，即1112 212121333psrpsr，根据数列nc的单调性，化简得722p，将2p或3p代入已知条件，即可得到结论.第 19 页 共 26 页详解：解：（1）由23nnSa，得11232nnSan，由-得120nnnaaa，即1123nnaan，对 取1n得，110a，所以0na，所以113nnaa为常数，所以na为等比数列，首项为1，公比为13，即113nna，*nN.（2）由113nna，可得对于任意*nN有2111211111333333nnnnnbbbbnL，则2221231111131323333nnnnnbbbbnnL，则23111231111112233333nnnnnbbbbnnL，由-得212nbnn，对 取1n得，11b也适合上式，因此21nbn，*nN.由（1）（2）可知1213nnnnnca b，则114 12121333nnnnnnnncc，所以当1n时，1nncc，即12cc，当2n时，1nncc，即nc在2n且*nN上单调递减，故12345ccccc，假设存在三项sc，pc，rc成等差数列，其中s，p，*rN，由于12345ccccc，可不妨设spr，则2psrccc（），即1112 212121333psrpsr，第 20 页 共 26 页因为s，p，*rN且spr，则1sp且2p，由数列nc的单调性可知，1spcc，即12212333spsp，因为12103rrrc，所以11122 212121233333psrppsrp，即122 212333pppp，化简得72p，又2p且*pN，所以2p或3p，当2p时，1s，即121cc，由3r时，21rcc，此时1c，2c，rc不构成等差数列，不合题意，当3p时，由题意1s或2s，即1sc，又359pcc，代入（）式得19rc，因为数列nc在2n且*nN上单调递减，且519c，4r，所以5r，综上所述，数列nc中存在三项1c，3c，5c或2c，3c，5c构成等差数列.点睛：本题考查了数列递推关系、等比数列与等差数列的定义、通项公式，涉及到等差和等比数列的判断，数列的单调性等知识的综合运用，考查分类讨论思想与逻辑推理能力，属于难题.已知数列na的前n项和nS与na的关系式，求数列的通项公式的方法如下：（1）当1n时，11aS求出1a；（2）当2n时，用1n替换nS中的n得到一个新的关系，利用1nnSS(2)n便可求出当2n时na的表达式；（3）对1n时的结果进行检验，看是否符合2n时na的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n与2n两段来写21如图，四边形ABCD内接于圆O，弧AB与弧AD长度相等，过A点的切线交CB的延长线于E点.求证：2ABBE CD.第 21 页 共 26 页【答案】证明见解析【解析】连结AC，证明ABECDA:，再利用相似比即可得到答案.【详解】连结AC，因为EA切圆O于A，所以EABACB.因为弧AB与弧AD长度相等，所以ACDACB，ABAD.于是EABACD.又四边形ABCD内接于圆O，所以ABED.所以ABECDA:.于是ABBECDDA，即AB DABE CD，所以2ABBE CD.【点睛】本题考查平面几何中圆与三角形相似，考查逻辑推理能力，属于基础题.22已知矩阵2132A，列向量xXy，47B，且AXB.（1）求矩阵A的逆矩阵1A；（2）求x，y的值.【答案】（1）12132A（2）12xy【解析】（1）求出二阶矩阵对应的行列式值不为0，进而直接代入公式求得逆矩阵；（2）由AXB可得1214327XA B，计算矩阵的乘法，即可得答案.【详解】（1）由2132A，det223 110A，所以A可逆，从而12132A.（2）由AXB得到121413272XA B，第 22 页 共 26 页12xy.【点睛】本题考查公式法求矩的逆矩阵及矩阵的乘法计算，考查运算求解能力，属于基础题.23在平面直角坐标系xOy中，已知曲线4cos:3sinxCy（为参数，R），直线232:232xtlyt（t为参数，tR），求曲线C上的动点P到直线l的距离的最小值.【答案】22.【解析】试题分析：根据已知中直线的参数方程，消参求出直线的一般式方程，代入点到直线距离公式，结合三角函数的图象和性质，可得曲线C 上的动点P到直线 l 的距离的最小值试题解析：将直线l的参数方程化为普通方程为60 xy.因为点P在曲线4cos:3sinxCy上，所以可设(4cos,3sin)P.因为点P到直线l距离4cos3sin6 5cos()622d，其中3tan,4是锐角，所以当cos()1时，min22d，所以点P到直线l的距离最小值为22.24已知 x、y、z 均为正数，求证：111xyzyzzxxyxyz【答案】证明见解析【解析】【详解】x，y，z 都是为正数，12()xyxyyzzxzyxz同理，可得2yzzxxyx，2zxxyyzy将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得第 23 页 共 26 页111xyzyzzxxyxyz25如图所示，在直三棱柱111ABCA B C中，4CA，4CB，12 2CC，90ACB，点M在线段11A B上.（1）若113A MMB，求异面直线AM和1AC所成角的余弦值；（2）若直线AM与平面1ABC所成角为 30，试确定点M的位置.【答案】（1）3939（2）点 M 是线段11A B的中点.【解析】（1）以C为坐标原点，分别以CA，CB，1CC所在直线为x轴，y轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，得到3,3,22AMuuu u r，14,0,22CAuu u r，再代入向量夹角公式计算，即可得答案；（2）设,4,22Mxx，得4,4,22AMxxuuuu r，直线AM与平面1ABC所成角为 30，得到关于x的方程，解方程即可得到点M的位置.【详解】以C为坐标原点，分别以CA，CB，1CC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则0 0 0C,，4,0,0A，14,0,2 2A，10,4,2 2B.（1）因为113A MMB，所以1,3,22M.所以14,0,2 2CAu uu r，3,3,22AMuuuu r.所以111439cos,392426CAAMCA AMCAAMuu u r uuu u ruuu r uuu u ruuu r uuuu r.所以异面直线AM和1A C所成角的余弦值为3939.第 24 页 共 26 页（2）由4,0,0A，0,4,0B，10,0,2 2C，知4,4,0ABuuu r，14,0,22ACu uu u r.设平面1ABC的法向量为,na b cr，由100n ABn ACr uu u rr uu uu r得4404220abac，令1a，则1b，2c，所以平面1ABC的一个法向量为1,1,2nr.因为点M在线段11A B上，所以可设,4,22Mxx，所以4,4,22AMxxuuuu r，因为直线AM与平面1ABC所成角为 30，所以1cos,sin302n AMr uuuu r.由cos,n AMn AMn AMr uu uu rr u uuu rr uuu u r，得22114142 2 224482xxxx，解得2x或6x.因为点M在线段11A B上，所以2x，即点2,2,2 2M是线段11A B的中点.【点睛】本题考查利用向量法求异面直线所成的角、已知线面角确定点的位置，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.26在平面直角坐标系xOy中，已知焦点为F的抛物线24xy上有两个动点A、B，且满足 AFFBuu u ruu r，过A、B两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M.（1）求：OA OBuuu r uu u r的值；（2）证明：FMABuuu u r u uu r为定值.【答案】（1）3（2）证明见解析第 25 页 共 26 页【解析】（1）设211,4xA x，222,4xB x，将向量,OA OBuuu r uuu r分别用坐标表示出来，再进行向量数量积的坐标运算，即可得答案；（2）求出两切线交点M的坐标为12,12xx，再代入FMABu uu u r uu u r进行坐标运算，即可得到定值【详解】（1）设211,4xA x，222,4xB x，焦点0,1F，211,14xAFxuu u r，222,14xFBxu u u r，AFFBuuu ruu r，2212121144xxxx消得22211211044xxxx，化简整理得1212104x xxx，12xx，124x x，221212144xxy y.12123OA OBx xy yuuu r u uu r（定值）.（2）抛物线方程为214yx，12yx，过抛物线A、B两点的切线方程分别为2111124xyxxx和2222124xyxxx，即211124xyx x和222124xyx x，联立解出两切线交点M的坐标为12,12xx，221221212,24xxxxFMABxxuuuu r u uu r22222121022xxxx（定值）.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系中的定值问题，考查逻辑推理能力、运算求解能力，第 26 页 共 26 页求解时注意坐标法思想的应用.
