2020年四川省成都市实验中学高三数学(理)高考模拟测试卷三.pdf
数学试卷一、选择题1.若i是虚数单位，复数2i1i()A.13i22B.13i22C.33i22D.33i222.已知命题:p“20,0aaa”，则命题p为()A.0a,20aaB.20,0aaaC.20000,0aaaD.20000,0aaa3.若双曲线221xym的一条渐近线为20 xy，则实数m()A.2 B.4 C.6 D.8 4.在ABC中，3AB，2AC，120BAC，点D为BC边上一点，且2BDDCuuu ruuu r，则AB ADuuu r uu u r()A.13B.23C.1 D.2 5.如图,某校一文化墙上的一幅圆形图案的半径为6分米,其内有一边长为1 分米的正六边形的小孔,现向该圆形图案内随机地投入一飞镖(飞镖的大小忽略不计),则该飞镖落在圆形图案的正六边形小孔内的概率为()A.324B.324C.16D.366.已知函数()sin()(0,)2f xx图象相邻两条对称轴的距离为2，将函数()yf x 的图象向左平移3个单位后，得到的图象关于y 轴对称则函数()yf x 的图象()A.关于直线23x对称B.关于直线23x对称C.关于点2(,0)3对称D.关于点2(,0)3对称7.下列命题错误的是()A.不在同一直线上的三点确定一个平面B.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面C.如果两个平面垂直,那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面D.如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面8.5(3)x的展开式中不含5x项的系数的和为()A.33B.32C.31D.19.某地环保部门召集6 家企业的负责人座谈，其中甲企业有2 人到会，其余5 家企业各有1 人到会，会上有3 人发言则发言的3人来自 3 家不同企业的可能情况的种数为()A.15 B.30 C.35 D.42 10.已知直线(0)ykxm k与抛物线2:4Cyx及其准线分别交于,M N两点，F为抛物线的焦点，若3FMMNu uu u ruuu u r，则m等于()A.2B.2 2C.2 3D.2 611.已知正项等比数列na的前n项和nS，满足4223SS，则64SS的最小值为()A.14B.3 C.4 D.12 12.已知函数32421(2)(21)4452xfxxx，则2018i=1()2019kf()A.0 B.1009 C.2018 D.2019 二、填空题13.已知函数2,1()1,1x xf xxx，则(2)(1)ff_14.已知数列na中，10a，*112(1)(N,2)nnaannn，则数列na的通项公式na_15.九章算术中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形若该阳马的顶点都在同一个球面上，且该球的表面积为24，则该“阳马”的体积为 _16.某车间租赁甲、乙两种设备生产,A B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品 8 件和B类产品 15 件，乙种设备每天能生产A类产品 10 件和 B类产品 25 件，已知设备甲每天的租赁费300元，设备乙每天的租赁费400 元，现车间至少要生产A类产品 100 件，B类产品 200 件，所需租赁费最少为 _元三、解答题17.在ABC中，内角,A B C的对边分别为,a b c,若2 cos2aBbc(1)求A的大小；(2)若7a，2b，求ABC的面积18.某大型商场在2018 年国庆举办了一次抽奖活动抽奖箱里放有3 个红球，3 个黑球和1 个白球(这些小球除颜色外大小形状完全相同)，从中随机一次性取3 个小球，每位顾客每次抽完奖后将球放回抽奖箱活动另附说明如下：凡购物满99(含 99)元者，凭购物打印凭条可获得一次抽奖机会；凡购物满166(含 166)元者，凭购物打印凭条可获得两次抽奖机会；若取得的3 个小球只有1 种颜色，则该顾客中得一等奖，奖金是一个10 元的红包；若取得的3 个小球有3 种颜色，则该顾客中得二等奖，奖金是一个5 元的红包；若取得的3 个小球只有2 种颜色，则该顾客中得三等奖，奖金是一个2 元的红包抽奖活动的组织者记录了该超市前20 位顾客的购物消费数据(单位：元)，绘制得到如图所示的茎叶图(1)求这 20 位顾客中获得抽奖机会的顾客的购物消费数据的中位数与平均数(结果精确到整数部分)；(2)记一次抽奖获得的红包奖金数(单位：元)为X，求X的分布列及数学期望，并计算这20 位顾客在抽奖中获得红包的总奖金数的平均值(假定每位获得抽奖机会的顾客都会去抽奖).19.如图，在棱长为2 的正方体1234ACBDAC B D中，M是线段AB上的动点(1)证明：/AB平面11A B C；(2)若点M是AB中点，求二面角11MA BC的余弦值；(3)判断点M到平面111A BC的距离是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由20.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32，长轴长为4 直线ykxm与椭圆C交于AB、两点且AOB为直角，O为坐标原点(1)求椭圆C的方程；(2)求AB的最大值21.已知函数2(),af xxx其中0a（1）若1x是函数()()lnh xf xxx的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的1,xe(e为自然对数的底数)，都有()1f xe成立，求实数a的取值范围22.已知极点与直角坐标系原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程为sin(0)aa，直线l的参数方程为21222xtyt(t为参数)若2a，直线l与x轴的交点为,M N是圆C上一动点，求MN的最小值；若直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径，求a的值23.已知函数()211()f xxaxaR的一个零点为1（1）求不等式(1)f x的解集；（2）若12(0,1)1a mnmn，求证：211mn参考答案1.答案：B 解析：2.答案：C 解析：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题:p“20,0aaa”，则命题p为20000,0aaa故选：C3.答案：B 解析：线双曲线221xym的一条渐近线为20 xy，可得112m，解得4m，故选：B4.答案：C 解析：因为1111233333ADACCDACCBACABACABACuuu ruuu ruu u ruuu ru uu ruuu ru uu ruu u ru uu ruu u r，所以2122332cos1201333AB ADABAB ACuuu r uuu ruu u ru uu r uu u r，故选：C5.答案：B 解析：因为圆形图案的面积为36，正六边形的面积为13 361 1sin6022，所以该飞镖落在圆形图案的正六边形小孔内的概率为3 3323624故选：B 6.答案：D 解析：函数()sin()(0,)2fxx图象相邻两条对称轴的距离为2，所以：4T，所以：12，将函数()yf x 的图象向左平移3个单位后，得到的图象关于y 轴对称，所以：()62kk，由于3，所以：3所以：1()sin()23f xx，所以函数的图象关于点2(,0)3对称故选：D7.答案：C 解析：由公理3 可得，不在同一直线上的三点确定一个平面，故A正确；由公理 3 和公理 1 可得，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故B正确；由面面垂直的性质定理可得，如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线若与交线垂直，则垂直于另一个平面，故C错误；由面面平行的性质可得，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面，故D正确故选：C8.答案：A 解析：5(3)x的展开式中，所有项的系数和为55(31)232，含5x项的系数为551C，不含5x项的系数的和为32(1)33，故选：A9.答案：B 解析：根据题意，分2 种情况讨论：，选出的3 人中没有人来自甲企业，在其他 5 个企业中任选3 个即可，有3510C种情况，选出的3 人中有人来自甲企业，则甲企业只能有1 人参与，在其他5 个企业中任选2 个即可，有25220C种情况，则不同的情况有30 种；故选：B10.答案：B 解析：如图，0kQ，设直线l的倾斜角为,由抛物线的定义可知，点M到准线的距离MQMF，故1sin()23MQMFMNMN，1cos3，则22sin3，tan2 2k又(1,0)F，0km，即2 2mk故选：B11.答案：D 解析：根据题意，设该等比数列的首项为1a，公比为,q若4223SS，则有4212341222()SSaaaaaa2341212()()(1)()3aaaaqaa，又由数列na为正项的等比数列，则1q，则1223()1aaq，则，4464561223()()1SSaaqaaqq2222113(1)2632(1)1211qqqq当且仅当22q时等号成立；即64SS的最小值为12；故选：D12.答案：B 解析：函数32421()(21)4452xfxxxx，所以：322(21)1()(21)(21)42xf xxx，故函数()f x的图象关于1 1(,)2 2成中心对称图形1201822017()()()()12019201920192019ffff，2018i()10092019kf故选：B13.答案：0 解析：函数2,1()1,1x xf xxx，(2)2f，(1)1 12f，(2)(1)220ff故答案为：014.答案：21n解析：数列na中，110,12(1)nnaaan，则：121nnaan，1223nnaan，213aa，所以：21357(21)1naann，所以：21nan由于首项符合通项公式，故：21nan故答案为：21n15.答案：163解析：如图所示，设“阳马”的外接球半径为R由球的表面积2424R，解得6R；该“阳马”为四棱锥PABCD，底面 ABCD 为矩形，其中PD底面 ABCD，2AB，4AD，则该“阳马”的外接球直径为2222 6PBPDADAB，解得2PD；所以该“阳马”的体积为11642233V故答案为：16316.答案：3800解析：设甲种设备需要生产x天，乙种设备需要生产y天，该公司所需租赁费为z元，则300400zxy，甲、乙两种设备生产,A B两类产品的情况为下表所示：45503540,xyxyxN yN做出不等式表示的平面区域，即：45503540 xyxy解得(10,2)当300400zxy经过的交点(10,2)时，目标函数300400zxy取得最低为3800元故答案为:380017.答案：(1)2 cos2aBbcQ，由正弦定理得：2sincossin2sin2sin()2sincos2cossinABBCABABAB，sin2cossinBAB，sin0BQ，1cos2A，又0A，3A；(2)由余弦定理可得2222cosabcbcA，27,2,230,3,abcccQ，1133 3sin232222ABCSbcA解析：(1)由2 cos2aBbc与正弦定理可得1cos2A，又0A，得3A；(2)由7,2ab与余弦定理可得2230cc，得3c，由1sin2ABCSbcA可得结果18.答案：(1)获得抽奖机会的数据的中位数为110平均数为：1(101 102 105 107 109 110 113 114 188 189200)11143811131(2)X的可能取值为2，5，103722(10)35P XC,11333719(5)35CCP XC,2212333337224(2)35CCC CP XC可得X的分布列为：X2 5 10 P24359352352492113()251035353535E X因此这 20 位顾客，有8 位获得一次抽奖的机会，有3 位获得两次抽奖的机会，故共有14 次抽奖机会这 20 位顾客在抽奖中获得红包的总奖金数的平均值1131445.235元解析：(1)获得抽奖机会的数据的中位数为110.利用平均数计算公式即可得出平均数(2)X的可能取值为2，5，10.利用古典概率计算公式、互斥事件与相互独立事件的概率计算公式即可得出分布列，进而得出结论19.答案：(1)证明：在正方体1111ACBDAC B D中，有1111/,AABBAABB，四边形11ABB A是平行四边形，11/ABA B，11A BQ平面11A B C，AB平面11A B C，/AB平面11A B C；(2)解：以C为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则11(1,1,0),(0,2,2),(2,0,2),(0,0,0)MABC1111(1,1,2),(1,1,2),(2,0,2),(0,2,2)MAMBCBCAu uu u ru uu u ruuu ruu u r设平面11MA B的一个法向量为111(,)mx y zu r，由111111112020m MAxyzm MAxyzu r u uuu ru r uu uu r，取11x，得(1,1,0)mu r；设平面11CA B的一个法向量为222(,)nxyzr，由122122220220n CAyzn CBxzru uu rruuu r，取21x，得(1,1,1)nr6cos,3m nm nmnu r ru r rQu rr，又二面角11MA BC为锐二面角，二面角11MA BC的余弦值为63；(3)解：由(1)知，/AB平面11A B C，点M到平面11A B C的距离等于AB上任意一点到AB的距离，令点M平分AB，则由(2)知，点M到平面11A B C的距离122 333dn MAnruuuu rr点M到平面11A B C的距离为定值2 33解析：(1)在正方体1111ACBDAC B D中，可得11/ABA B，由线面平行的判定可得/AB平面11A B C；(2)以C为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，分别求出平面11MA B与平面11CA B的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角11MA BC的余弦值；(3)由(1)知，/AB平面11A B C，可得点M到平面11A B C的距离等于AB上任意一点到AB的距离，再由向量求解20.答案：(1)由题意24,a2a，3,32cca，2221bac，椭圆的方程为2214xy(2)设1122(,),(,)A x yB x y，把ykxm代入2214xy，得222(41)8440kxkmxm，2121222844,4141kmmxxxxkk，因为AOB为直角，所以12120OA OBx xy yu uu r uu u r，得1 212()()0 xxkxm kxm，得222244 5,16(41)kmkm，222224441410,16105kkmkk，22212121211()4ABkxxkxxx x22224 14141kkmk2222444 141541kkkk42224 51617151681kkkk2424 59151681kkk224 59115168kk4 5915885，当且仅当12k时，AB取得最大值为5解析：21.答案：(1)2()af xxxQ，2()2lnah xxxx，其定义域为(0,)，221()2ah xxx，1xQ是函数()h x的极值点，(1)0h，即230a0,3aaQ，经检验当3a时，1x是函数()h x的极值点，3a；(2)对任意的12,1,x xe都有1()1f xe成立等价于对任意的12,1,x xe都有min()1f xe2()()()xaxafxxQ，且1,0 xe a.当01a且1,xe时，()0fx，函数()fx在1,e上是增函数，2min()(1)1f xfa由211ae，得ae，又01a，a不合题意；当1ae时，若1xa，则()0fx，若axe，则(0)fx函数()fx在1,a上是减函数，在,a e上是增函数min()()2f xf aa由21ae，得12ea，又1ae，12eae；当ae且1,xe时，()0fx，函数()fx在1,e上是减函数2min()()af xf eee由21aeee，得ae，又ae，a e；综上所述：a的取值范围为1,2e解析：22.答案：(1)当2a时，圆C的极坐标方程为2sin(0)a，化为：22sin，化为直角坐标方程为：222xyy，配方为：22(1)1xy圆心(0,1)C直线l的参数方程为21222xtyt(t为参数)，化为普通方程为：10 xy，与x轴的交点为(1,0)M，2CM，MN的最小值21(2)由圆C的极坐标方程为sin(0)aa，可得：2sina，可得Ce的普通方程为：222()24aaxy直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径，由垂径定理与勾股定理可得：圆心到直线l的距离为Ce的半径的33倍22132221(1)aa，解得42 6a又0a，可得42 6a解析：(1)当2a时，圆C的极坐标方程为2sin(0)a，化为：22sin，利用互化公式可得直角坐标方程，由直线l的参数方程为21222xtyt(t为参数)，消去参数t可得直线l的普通方程，可得与x轴的交点，求出CM，即可得出M N的最小值(2)由圆C的极坐标方程为sin(0)aa，可得：2sina，可得Ce的普通方程为：222()24aaxy.根据直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径，利用垂径定理与勾股定理可得：圆心到直线l的距离为Ce的半径的33倍 即可得出23.答案：（1）因为函数()211()f xxaxaR的一个零点为1，所以1a，又当1a时，()1211f xxx，(1)121f xxx，上述不等式可化为121122xxx或1121212xxx或1121xxx，解得120 xx或1122xx或143xx所以102x或112x或413x，所以原不等式的解集为403xx（2）由（1）知1211amn，因为0,1mn，所以1222(1)2(1)2(1)()5011mnmnmnmnnm，当且仅当3,4mn时取等号，所以211mn解析：
