2021届高三数学(理)“大题精练”(20200816023944).pdf
第 1 页 共 10 页2021 届高三数学（理）“大题精练”17某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200 元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：消费次第第 1 次第 2 次第 3 次第 4 次5 次收费比率10.950.900.850.80该公司注册的会员中没有消费超过5 次的，从注册的会员中，随机抽取了100 位进行统计，得到统计数据如下：消费次数1 次2 次3 次4 次5 次人数60201055假设汽车美容一次，公司成本为150 元，根据所给数据，解答下列问题：（1）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；（2）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为X元，求X的分布列和数学期望E X18ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设23sin()cos22BAC.（1）求sinB；（2）若ABC的周长为 8，求ABC的面积的取值范围.第 2 页 共 10 页19如图，在四棱柱1111ABCDA B C D中，底面ABCD是边长为2的菱形，且60ADC，115AACD，17AD.（1）证明：平面1CDD平面ABCD；（2）求二面角1DADC的余弦值.20 设椭圆22:182xyC，过点2,1A的直线AP，AQ分别交C于不同的两点P、Q，直线PQ恒过点4,0B（1）证明：直线AP，AQ的斜率之和为定值；（2）直线AP，AQ分别与x轴相交于M，N两点，在x轴上是否存在定点G，使得GMGN为定值?若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由.第 3 页 共 10 页21设函数2sinfxxx，0,2x，22cos22xmg xxx，mR.（1）证明：0fx；（2）当0,2x时，不等式4g x恒成立，求m的取值范围.22在直角坐标系xOy中，直线3cos:sinxtlyt（t为参数）与曲线22:2xmCym（m为参数）相交于不同的两点A，B.（1）当4时，求直线l与曲线C的普通方程；（2）若2MA MBMAMB，其中3,0M，求直线l的倾斜角.23已知函数11fxxax（1）当1a时，求不等式4fx的解集；（2）当1x时，不等式3fxxb成立，证明：0ab第 4 页 共 10 页2021 届高三数学（理）“大题精练”（答案解析）17某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200 元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：消费次第第 1 次第 2 次第 3 次第 4 次5 次收费比率10.950.900.850.80该公司注册的会员中没有消费超过5 次的，从注册的会员中，随机抽取了100 位进行统计，得到统计数据如下：消费次数1 次2 次3 次4 次5 次人数60201055假设汽车美容一次，公司成本为150 元，根据所给数据，解答下列问题：（1）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；（2）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为X元，求X的分布列和数学期望E X【解】（1）第一次消费为200 元，利润为50 元：第二次消费190 元，利润为40 元两次消费的平均利润为45 元（2）若该会员消费1 次，则50X500.6P X若该会员消费2 次，则5040452X450.2P X若该会员消费3 次，则504030403X(40)0.1P X若该会员消费4 次，则50403020354X(35)0.05P X若该会员消费5 次，则5040302010305X第 5 页 共 10 页(30)0.05P X故X的分布列为：X5045403530P0.60.20.10.050.05X的期望为50 0.645 0.240 0.135 0.0530 0.0546.25EX（元）18ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设23sin()cos22BAC.（1）求sinB；（2）若ABC的周长为 8，求ABC的面积的取值范围.【解】（1）23sin()cos22BAC且sin()sinACB233sin2sincoscos22222BBBB，又022B，sin03 sincos222BBB33tansin232632BBBB（2）由题意知：8()bac2226416()21cos222acbacacBacac36416()6432acacac，332640(38)(8)0acacacac83ac或8ac（舍）649ac1316 3sin249ABCSacBac（当ac时取“”）综上，ABC的面积的取值范围为16 30,9第 6 页 共 10 页19如图，在四棱柱1111ABCDA B C D中，底面ABCD是边长为2 的菱形，且60ADC，115AACD，17AD.（1）证明：平面1CDD平面ABCD；（2）求二面角1DADC的余弦值.【解】（1）令CD的中点为O，连接OA，1OD，AC115,2AACDDC，1D ODC且22112D ODDDO又底面ABCD为边长为2的菱形，且603ADCAO又17AD222111ADD OAOD OOA又,OA DC平面ABCD，1OADCODO平面ABCD又1DO平面1CDD，平面1CDD平面ABCD，（2）过O作直线OHAD于H，连接1D H1D O平面ABCD，1D OADAD面1OHD，1ADHD第 7 页 共 10 页1D HO为二面角1DADC所成的平面角又1,60ODODA32OH，1192D H157cos19OHD20 设椭圆22:182xyC，过点2,1A的直线AP，AQ分别交C于不同的两点P、Q，直线PQ恒过点4,0B（1）证明：直线AP，AQ的斜率之和为定值；（2）直线AP，AQ分别与x轴相交于M，N两点，在x轴上是否存在定点G，使得GMGN为定值?若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由.【解】（1）设112234,0,0P x yQ xyMxN x，直线PQAPAQ、的斜率分别为12,k k k，由22448yk xxy得222214326480kxk xk，可得：222121222132648,41414kkkxxx xkk，12121212121212121241412(61)16411222224k xk xkx xkxxkyykkxxxxx xxx第 8 页 共 10 页2222222222648322(61)1641641 4814164832164241414kkkkkkkkkkkkk（2）由112ykx，令0y，得3112xk，即112,0Mk同理4212xk，即212,0Nk，设x轴上存在定点0,0G x则20000121212111112222GMGNxxxxkkkkk k212001212122kkxxk kk k20012121122xxk kk k，要使GMGN为定值，即0021,3xx故x轴上存在定点3,0G使GMGN为定值，该定值为121设函数2sinfxxx，0,2x，22cos22xmg xxx，mR.（1）证明：0fx；（2）当0,2x时，不等式4g x恒成立，求m的取值范围.【解】（1）2()cosfxx在0,2x上单调递增，22()1,fx，所以存在唯一00,2x，00fx.当00,()0 xxfx，fx递减；当0,()02xxfx，fx递增.所以max()max(0),02f xff，()0,02f xx（2）2()sin2xg xxm x，2()cosgxxm第 9 页 共 10 页当0m时，0gx，g x在0,2x上单调递减，min()24g xg，满足题意当20m时，g x在0,2x上单调递增，2(0)10gm，202gm，所以存在唯一10,2x，10gx.当10,0 xxgx，gx递减；当1,02xxgx，gx递增而(0)02gm，02g.所以存在唯一220,02xgx.当20,()0 xxg x，g x递增；当2,()0,()2xxg xg x递减.要02x时，()4g x恒成立，即2(0)42824gmg所以2280m当2m时，()0gx，当0,2x，gx递减，0,()02gg x()g x在0,2x递增，()24g xg与题意矛盾综上：m的取值范围为228,22在直角坐标系xOy中，直线3cos:sinxtlyt（t为参数）与曲线22:2xmCym（m为参数）相交于不同的两点A，B.（1）当4时，求直线l与曲线C的普通方程；第 10 页 共 10 页（2）若2MA MBMAMB，其中3,0M，求直线l的倾斜角.【解】（1）当4时直线l的普通方程为：yx3；曲线C的普通方程为22yx；（2）将直线3cos:sinxtlyt代入22yx得22sin2cos2 30tt22121 2222cos2 34cos8 3sin0,sinsinttt t1 212222 32cos3|2|22,|cos|sinsin2MA MBMAMBt ttt所以直线l的倾斜角为6或5623已知函数11fxxax（1）当1a时，求不等式4fx的解集；（2）当1x时，不等式3fxxb成立，证明：0ab【解】（1）解：当1a时()|1|1|f xxx若1x则()2412f xxx若11x则()24f x成立若1x则()242f xxx21x综上，不等式的解集为22xx（2）当1x时1|1|3xaxxb|1|2121121axxbxbaxxb(2)2(2)axbab202222220002022220aaaababababaababaab
