2020年江西省宜春市高考(理科)数学(5月份)模拟试卷(解析版).pdf

2020 年高考（理科）数学（5 月份）模拟试卷一、选择题（共12 小题）.1已知集合Ax|x|x，B1，0，1，2，则 AB（）A1，0B1C2，3D0，2，32在 ABC 中，a，b，c 分别为角A，B，C 所对的边若b 2acosC，则 ABC 的形状一定是（）A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰或直角三角形3已知函数f（x）在 x0处的导数为f（x0），则?(?0)-?(?0-?)?等于（）Amf（x0）B mf（x0）C-1?(?)D1?(?)4在（2x+y）（xy）5的展开式中，x4y2的系数为（）A 20B 10C15D55函数 f（x）2020 x+sin（2020 x），若满足f（x2+x）+f（1m）0恒成立，则实数m的取值范围为（）A1，+）B(-，34C2，+）D（，16在新冠肺炎疫情期间，某医院有10 名医生报名参加“援鄂医疗队”，其中有3 名女医生现从中抽选5 名医生，用X 表示抽到男医生的人数，则X3 的概率为（）A712B536C112D5127元朝著名的数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗“基于此情境设计了如图所示的程序框图，若输入的x 的值为54，输出的 x 值为 9，则判断框中可以填（）Ai4Bi5Ci6Di78如图，在四边形ABCD 中，ABCD，ABAD，AB2AD 2CD，E 是 BC 边上一点且?=?，F 是 AE 的中点，则下列关系式不正确的是（）A?=-12?+?B?=13?+13?C?=-13?+23?D?=-16?-23?9已知四棱锥PABCD，底面ABCD 为矩形，侧面PCD平面ABCD，BC2?CDPC PD2?，若点M为PC的中点，则下列说法正确的个数为（）（1）PC平面 ADM（2）四棱锥MABCD 的体积为12（3）BM平面 PAD（4）四棱锥MABCD 外接球的表面积为36A1 个B2 个C3 个D4 个10太极图被称为“中华第一图”从孔庙大成殿梁柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到韩国国旗，太极图无不跃居其上这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”在某个太极图案中，阴影部分可表示为A（x，y）|x2+（y 1）21 或?+?+(?+?)?，设点（x，y）A，则 z3x+4y 的最大值与最小值之差为（）A19B18C 1D2011已知定义在?，?6上的函数?(?)=?(?-?6)（0）的最大值为?5，则正实数的取值个数最多为（）A4B3C2D112已知抛物线C 方程为 x24y，F 为其焦点，过点F 的直线 l 与抛物线C 交于 A，B 两点，且抛物线在A，B 两点处的切线分别交x 轴于 P，Q 两点，则|AP|?|BQ|的取值范围为（）A(12，+)B2，+）C（2，+）D0，2）二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分13 已知双曲线?：?2?2-?2?2=?（a0，b0）的离心率为 52，则 C 的渐近线方程为14 若复数 Z 满足方程 x24x+50，且?在复平面内对应的点位于第一象限，则 Z15已知数列 an中，a111，an+1 an+1?(?+1)，若对任意的m 1，4，任意的 n N*使得ant2+mt 恒成立，则实数t 的取值范围是16 已知不等式?+?+1?对 x（1，+）恒成立，则实数 m 的最小值为三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23 题为选做题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60 分.17已知 an为等比数列，且各项均为正值，?=116，a4a616a3a9（1）求数列 an的通项公式；（2）若 bnlog4an，数列1?+2的前 n 项和为 Tn，求 Tn18如图，四棱锥 EABCD 的侧棱 DE 与四棱锥FABCD 的侧棱 BF 都与底面ABCD 垂直，AD CD，ABCD，AB3，AD CD4，AE5，?=?（1）证明：DF 平面 BCE；（2）在棱 AF 上是否存在点M，使平面 ABF 与平面 CDM 所成角的正弦值为45？如果存在，指出M 点的位置；如果不存在，请说明理由19已知函数f（x）e2xa，g（x）exb，且 f（x）与 g（x）的图象有一条斜率为1的公切线（e为自然对数的底数）（1）求 ba；（2）设函数h（x）f（x）g（x）mx+?22-12，证明：当m 1 时，h（x）有且仅有 2 个零点20已知椭圆C：?2?2+?2?2=?（ab 0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为12，点 P是椭圆 C 上的一个动点，且PF1F2面积的最大值为?（1）求椭圆 C 的方程；（2）椭圆 C 与 x 轴交于 A、B 两点，直线AP 和 BP 与直线 l：x 4 分别交于点M，N，试探究以MN 为直径的圆是否恒过定点，若是，求出所有定点的坐标：若否，请说明理由21超级细菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧，痉挛，昏迷甚至死亡某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n（n N*）份血液样本，每个样本取到的可能性相等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将其中k（k N*且 k 2）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这份的血液全为阴性，因而这 k 份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这 k 份血液再逐份检验，此时这 k 份血液的检验次数总共为k+1次假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（0p1）现取其中k（k N*且 k2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2（1）运用概率统计的知识，若 E（1）E（2），试求 P 关于 k 的函数关系式pf（k）；（2）若 P 与抗生素计量xn相关，其中x1，x2，xn（n2）是不同的正实数，满足x11，对任意的n N*（n2），都有?-13?-?=?2?+1=?2-?12?22-?12（i）证明：xn为等比数列；（ii）当?=?-1?78时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k 的最大值参考数据：ln20.6931，ln31.0986，ln41.3863，ln5 1.6094，ln6 1.7918，ln71.9459，ln82.0794，ln92.1972，ln102.3026（二）选考题：共10 分请考生在第22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为?=?+?=-?-?（t 为参数）以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 4cos，且直线 l 与曲线 C 交于 M、N 两点（1）求直线 l 的普通方程以及曲线C 的直角坐标方程：（2）若曲线C 外一点 A（m，n）恰好落在直线l 上，且|?|+|?|=?，求 m，n的值选修 4-5：不等式选讲23已知函数?(?)=|?-?|+|?+4?|（m2）（1）若 m4，求不等式f（x）5 的解集；（2）问：?(?)+4?(?-2)是否存在最小值？若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由参考答案一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合Ax|x|x，B1，0，1，2，则 AB（）A1，0B1C2，3D0，2，3【分析】求出集合A，B，由此能求出AB解：集合Ax|x|xx|x0，B 1，0，1，2，AB1故选：B2在 ABC 中，a，b，c 分别为角A，B，C 所对的边若b 2acosC，则 ABC 的形状一定是（）A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰或直角三角形【分析】（法一）根据正弦定理、内角和定理、诱导公式、两角和与差的正弦公式化简已知的式子，由内角的范围即可判断出ABC 的形状；（法二）根据余弦定理化简已知的式子，即可判断出ABC 的形状解：（法一）b 2acosC，由正弦定理得sinB2sinAcosC，B（A+C），sin（A+C）2sinAcosC，则 sinAcosC+cosAsinC2sinAcosC，sinAcosCcosAsinC0，即 sin（A C）0，A、C（0，），AC（，），则 AC0，AC，ABC 是等腰三角形；（法二）b2acosC，由余弦定理得b2a?2+?2-?22?，化简得 a2 c20，即 a c，ABC 是等腰三角形，故选：C3已知函数f（x）在 x0处的导数为f（x0），则?(?0)-?(?0-?)?等于（）Amf（x0）B mf（x0）C-1?(?)D1?(?)【分析】根据题意，由极限的运算性质可得?(?0)-?(?0-?)?=m?(?0)-?(?0-?)?，结合导数的定义计算可得答案解：根据题意，?(?0)-?(?0-?)?=m?(?0)-?(?0-?)?=mf（x0），故选：A4在（2x+y）（xy）5的展开式中，x4y2的系数为（）A 20B 10C15D5【分析】由题意利用通项公式求得（2x+y）（x y）5的展开式中，x4y2的系数解：在（2x+y）（xy）5的展开式中，要得到含x4y2的项，可以用 2x 乘以（xy）5的展开式中含x3y2的项；也可以用y 乘以（x y）5的展开式中含x4y 的项，故含 x4y2的项系数为2?+?（1）15，故选：C5函数 f（x）2020 x+sin（2020 x），若满足f（x2+x）+f（1m）0恒成立，则实数m的取值范围为（）A1，+）B(-，34C2，+）D（，1【分析】首先运用奇偶性的定义，判断f（x）为奇函数，再求f（x）的导数，结合余弦函数的值域，判断f（x）的单调性，可得原不等式等价为m1（x2+x）min，再由二次函数的最值求法，可得m 的范围解：由函数f（x）2020 x+sin（2020 x），可得 f（x）2020 x+sin（2020 x）2020 x+sin（2020 x）f（x），即 f（x）为 R 上的奇函数，又 f（x）2020+2020cos（2020 x）0，即 f（x）在 R 上递增，则 f（x2+x）+f（1m）0 恒成立，等价为f（x2+x）f（1m）f（m 1），即有 m1（x2+x）min，而 x2+x（x+12）2-14-14，当 x=-12时，等号成立，则 m1-14，解得 m34，故选：B6在新冠肺炎疫情期间，某医院有10 名医生报名参加“援鄂医疗队”，其中有3 名女医生现从中抽选5 名医生，用X 表示抽到男医生的人数，则X3 的概率为（）A712B536C112D512【分析】基本事件总数n=?=252，用 X 表示抽到男医生的人数，则X3 包含的基本事件个数m=?=105，由此能求出X3 的概率解：某医院有10 名医生报名参加“援鄂医疗队”，其中有3 名女医生现从中抽选5名医生，基本事件总数n=?=252，用 X 表示抽到男医生的人数，则X3 包含的基本事件个数m=?=105，用 X 表示抽到男医生的人数，则X3 的概率为P=?=105252=512故选：D7元朝著名的数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗“基于此情境设计了如图所示的程序框图，若输入的x 的值为54，输出的 x 值为 9，则判断框中可以填（）Ai4Bi5Ci6Di7【分析】运行该程序，输入对应的x，直到输出的值为9 时，根据需要输出x 的值，观察可知即可解：运行该程序，第一次，?=?54-?=32，i 2，第二次，?=?(32)-?=?，i3，第三次，x22 1 3，i4，第四次，x 2314，i 5，第五次，x 2519，i6，此时，需要输出x 的值，观察可知选B故选：B8如图，在四边形ABCD 中，ABCD，ABAD，AB2AD 2CD，E 是 BC 边上一点且?=?，F 是 AE 的中点，则下列关系式不正确的是（）A?=-12?+?B?=13?+13?C?=-13?+23?D?=-16?-23?【分析】直接利用向量的线性运算的应用求出结果解：在四边形ABCD 中，AB CD，AB AD，AB 2AD 2CD，E 是 BC 边上一点且?=?，F 是 AE 的中点，如图所示：作 AB 的中点，根据向量的线性运算，对于选项A：?=-12?+?，故选项A 正确对于选项B：利用线性运算：?=12?=12(?-?)=13?+13?，故选项 B 正确对于选项D：利用线性运算：?=-16?-23?故选项 D 正确对于选项C：?=12?+12?=-23?+13?，故选项C 错误故选：C9已知四棱锥PABCD，底面ABCD 为矩形，侧面PCD平面ABCD，BC2?CDPC PD2?，若点M为PC的中点，则下列说法正确的个数为（）（1）PC平面 ADM（2）四棱锥MABCD 的体积为12（3）BM平面 PAD（4）四棱锥MABCD 外接球的表面积为36A1 个B2 个C3 个D4 个【分析】由底面ABCD 为矩形，得ADDC，结合侧面PCD平面 ABCD，得 AD平面 PDC，即 AD PC，再由已知可得DM PC，得到 PC平面 ADM，故（1）正确；过 P 作 PEDC，垂足为E，可得 PE平面ABCD，求解 PE，再由四棱锥M ABCD的体积为V=12VPABCD求得体积为12，故（2）正确；取 PD 中点 N，连接 MN，AN，可得 MN AB，MN=12?，再由反证法说明（3）错误；连接 AC 交 BD 于 O，则 OM=12PA，求得 OMODOBOCOA3，可得 O 为四棱锥 MABCD 外接球的球心，进一步求出四棱锥MABCD 外接球的表面积判断（4）正确解：如图，由底面ABCD 为矩形，得ADDC，又侧面 PCD平面 ABCD，且侧面PCD平面 ABCD CD，AD 平面 PDC，得 AD PC，由 PDC 为等边三角形，且M 为 PC 的中点，可得DM PC，又 AD DM D，PC平面 ADM，故（1）正确；过 P 作 PEDC，垂足为E，侧面 PCD平面 ABCD，侧面 PCD平面 ABCD CD，PE平面 ABCD，又由已知可得PE=(?)?-(?)?=?，四棱锥MABCD 的体积为V=12VPABCD=1213 2?2?3?=12，故（2）正确；取 PD 中点 N，连接 MN，AN，可得 MN AB，MN=12?，则四边形ABMN 为平面图形，若 BM 平面 PAD，则 BM AN，可得四边形ABMN 为平行四边形，得 MN AB，与 MN=12?矛盾，故（3）错误；连接 AC 交 BD 于 O，则 OM=12PA，AC BDPA=(?)?+(?)?=?，OM3且 ODOBOC OA3，O 为四棱锥MABCD 外接球的球心，故四棱锥MABCD 外接球的表面积为36，故（4）正确正确命题的个数为3故选：C10太极图被称为“中华第一图”从孔庙大成殿梁柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到韩国国旗，太极图无不跃居其上这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”在某个太极图案中，阴影部分可表示为A（x，y）|x2+（y 1）21 或?+?+(?+?)?，设点（x，y）A，则 z3x+4y 的最大值与最小值之差为（）A19B18C 1D20【分析】结合图形，平移直线z3x+4y，当直线与阴影部分相切时取得最值，分别求其最大最小值即可解：如图，作直线3x+4y0，当直线上移与圆x2+（y1）21 相切时，z3x+4y 取最大值，此时，圆心（0，1）到直线z 3x+4y 的距离等于1，即|4-?|32+42=1，解得 z 的最大值为：4+59，当下移与圆x2+y24 相切时，3x+4y 取最小值，同理|?|32+42=2，即 z 的最小值为10所以：z3x+4y 的最大值与最小值之差是：9（10）19故选：A11已知定义在?，?6上的函数?(?)=?(?-?6)（0）的最大值为?5，则正实数的取值个数最多为（）A4B3C2D1【分析】先由 x?，?6，求出?-?6的取值范围，然后分类讨论：当?6(?-?)?2即0 4 时，构造新函数?(?)=?6(?-?)，?(?)=?5，然后结合正弦函数和一次函数的图象，找两个图象的交点个数即可；当?6(?-?)?2即 4 时，只能是5解：x?，?6，?-?6-?6，?6(?-?)，当?6(?-?)?2即 04 时，?(?)?=?6(?-?)=?5令?(?)=?6(?-?)，?(?)=?5，如图，易知函数g（）和 h（）有两个交点A，B，而当 04 时，只有唯一的交点A，也就是?6(?-?)=?5只有唯一解 当?6(?-?)?2即 4 时，?(?)?=?2=?5，5，只有一个值综上所述，正实数的取值个数最多为2 个故选：C12已知抛物线C 方程为 x24y，F 为其焦点，过点F 的直线 l 与抛物线C 交于 A，B 两点，且抛物线在A，B 两点处的切线分别交x 轴于 P，Q 两点，则|AP|?|BQ|的取值范围为（）A(12，+)B2，+）C（2，+）D0，2）【分析】设l：ykx+1设 A（x1，?124），B（x2，?224），可得PA：y-?124=12x1（xx1），|AP|=14?(?+?)同理可得，|BQ|=14?(?+?)，可得|AP|?|BQ|的取值范围解：由已知可判断直线l 的斜率存在，设斜率为k，因为 F（0，1），则 l：ykx+1设 A（x1，?124），B（x2，?224），由?=?+?=?消去 y 得，x24kx40，x1+x2 4k，x1x2 4由于抛物线C 也是函数y=14x2的图象，且y=12x，则 PA：y-?124=12x1（x x1）令 y0，解得 x=12x1，P（12x1，0），从而|AP|=14?(?+?)同理可得，|BQ|=14?(?+?)，|AP|?|BQ|=116(?)?(?+?)(?+?)=116(?)?+?(?+?)+(?)?=2?+?k20，|AP|?|BQ|的取值范围为2，+）故选：B二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分13已知双曲线?：?2?2-?2?2=?（a0，b 0）的离心率为52，则 C 的渐近线方程为y=12?【分析】由双曲线的离心率，利用题设条件，结合离心率的变形公式能求出?的值，由此能求出双曲线的渐近线的方程解：双曲线?：?2?2-?2?2=?（a0，b0）的离心率为 52，?=?=?2?2=?+?2?2=52，1+?2?2=54，?2?2=14，解得?=12，C 的渐近线方程为y=?=12?故答案为：y=12?14若复数Z 满足方程x24x+50，且?在复平面内对应的点位于第一象限，则Z2i【分析】利用求根公式可得实系数一元二次方程的虚根，根据?在复平面内对应的点位于第一象限，可得?，进而得出Z解：由 x2 4x+50，解得 x=4 2?2=2 i，?在复平面内对应的点位于第一象限，?=2+iZ2 i故答案为：2i15已知数列 an中，a111，an+1 an+1?(?+1)，若对任意的m 1，4，任意的 n N*使得ant2+mt 恒成立，则实数t 的取值范围是（，63，+）【分析】利用裂项法可求得an（anan1）+（an1an2）+（a3a2）+（a2 a1）+a1 1-1?，而 an 12-1?为递增数列，可求得an的极限值（可作为最大值），于是所求可转化为对任意的m 1，4，t2+mt12 恒成立问题，通过构造函数h（m）tm+t212，则?(?)?(?)?，解之即可解：an+1an+1?(?+1)；an+1an=1?-1?+1，an（anan1）+（an1an2）+（a3 a2）+（a2a1）+a1（1?-1-1?）+（1?-2-1?-1）+（12-13）+（1-12）+11 12-1?，an12-1?为递增数列，当 n+时，an12对任意的m 1，4，存在 n N*，使 an t2+mt 成立，对任意的m 1，4，t2+mt12 恒成立令 h（m）tm+t212，则?(?)?(?)?，即?+?-?+?-?，解得：t3 或 t 6，故答案为：（，63，+）16 已知不等式?+?+1?对 x（1，+）恒成立，则实数 m 的最小值为e【分析】由题意可得exlnex xmlnxm对 x（1，+）恒成立，设 f（x）xlnx，求得 f（x）的导数和单调性、极值和最值，讨论m0 恒成立，由 m 0 时，xm的范围，可得 exxm，两边取自然对数，运用参数分离和构造函数法，运用导数求单调性、极值和最值，即可得到所求最小值解：不等式?+?+1?对 x（1，+）恒成立，即 x+1?xm mlnx xmlnxm，对 x（1，+）恒成立，即有 exlnexxmmlnx xmlnxm对 x（1，+）恒成立，设 f（x）xlnx，可得 f（x）1-1?=?-1?，即 f（x）在（1，+）递增，在（0，1）递减，可得 f（x）在 x1 处取得最小值1，则 f（ex）f（xm）对 x 1恒成立，由x1，可得 0ex1?，当 m0 时，xm1，f（ex）f（xm）显然成立；要求m 的最小值，可考虑m0 的情况当 m0 时，yxm在（1，+）递减，可得xm（0，1），则 exxm，两边取自然对数可得xmlnx（x1），即 m?对 x1 恒成立，可设 h（x）=?，x 1，可得 h（x）=?-1(?)2，当 xe时，h（x）0，h（x）递增，1xe 时，h（x）0，h（x）递减，则 h（x）在 xe处取得极小值，且为最小值e，即有 me，可得 m e，即 m 的最小值为e故答案为：e三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23 题为选做题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60 分.17已知 an为等比数列，且各项均为正值，?=116，a4a616a3a9（1）求数列 an的通项公式；（2）若 bnlog4an，数列 1?+2的前 n 项和为 Tn，求 Tn【分析】本题第（1）题先设等比数列an的公比为q，然后根据等比中项的性质化简a4a616a3a9可得?=?，进一步计算可得公比q 的值，然后根据?=116可计算出首项a1的值，即可得到数列an的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列bn的通项公式，再计算出数列1?+2的通项公式，然后运用裂项相消法计算出前n 项和 Tn解：（1）由题意，设等比数列an的公比为q，则由 a4a616a3a9，可得?=?，q2=?62?52=116，等比数列 an各项均为正值，q0，即?=14，由?=116，可得 a1=?2?=11614=14，an=14?（14）n1（14）n，n N*（2）由（1）知，?=?=?14?=-?，则1?+2=1?(?+2)=12(1?-1?+2)，Tn=1?1?3+1?2?4+1?3?5+1?4?6+?+1?-1?+1+1?+2=12（1-13）+12（12-14）+12（13-15）+?+12（1?-1-1?+1）+12（1?-1?+2）=12（1-13+12-14+13-15+?+1?-1-1?+1+1?-1?+2）=12（1+12-1?+1-1?+2）=3?2+5?4(?+1)(?+2)18如图，四棱锥 EABCD 的侧棱 DE 与四棱锥FABCD 的侧棱 BF 都与底面ABCD 垂直，AD CD，ABCD，AB3，AD CD4，AE5，?=?（1）证明：DF 平面 BCE；（2）在棱 AF 上是否存在点M，使平面 ABF 与平面 CDM 所成角的正弦值为45？如果存在，指出M 点的位置；如果不存在，请说明理由【分析】（1）证明DE AD，说明四边形BEDF 为平行四边形，即可证明DF 平面BCE（2）以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面CDM 的法向量，平面 ABF的法向量，设平面 ABF 与平面 CDM 的夹角为，通过空间向量的数量积转化求解即可【解答】（1）证明：DE平面 ABCD，DEADAD 4，AE5，DE3，同理可得BF 3又 DE 平面 ABCD，BF平面 ABCDBF DEBF DE，四边形BEDF 为平行四边形则 DF BE，DF 平面 BCE（2）解：以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 D（0，0，0），A（4，0，0），B（4，3，0），F（4，3，3），C（0，4，0）则?=(?，?，-?)，?=(?，?，?)令?=?（0 1），则?=?+?=(?，?，-?)设平面 CDM 的法向量?=(?，?，?)，则?=?=?即?=?+?-?=?，得?=(?，?，?)又平面 ABF 的法向量?=(?，?，?)，设平面 ABF 与平面 CDM 的夹角为，则?=45，?=35?=|?，?|=|3?9?2+16|=35，则 1即：M 点与 F 点重合时满足题意19已知函数f（x）e2xa，g（x）exb，且 f（x）与 g（x）的图象有一条斜率为1的公切线（e为自然对数的底数）（1）求 ba；（2）设函数h（x）f（x）g（x）mx+?22-12，证明：当m 1 时，h（x）有且仅有 2 个零点【分析】（1）对两个函数分别求导，根据切线斜率已知，求出切点坐标，然后写出各自切线方程，根据是公切线，列出方程求出ba；（2）根据题意，研究h（x）的单调性、极值情况，（需要对ex进行换元）；然后研究极值点处的符号，结合单调性与端点处函数的符号解决问题【解答】（1）f（x）2e2x1，可得?=-?22，?(-?22)=12-?，f（x）在(-?22，12-?)处的切线方程为?-(12-?)=?+?22，即?=?+?22+12-?g（x）ex 1，x0，g（0）1b，g（x）在（0，1b）处的切线方程为y（1b）x，即 yx+1 b，故?22+12-?=?-?，可得?-?=12-?22（2）证明：由（1）可得?(?)=?-?-(?-?)-?+?22-12=?-?-?，h（x）2e2xexm，令 tex，则 y2t2tm，1+8m，m1 时，2t2tm0 有两根 t1，t2且 t1 0t2，?(?)=?(?-?)(?-?)=?，得：xlnt2，在（，lnt2）上，h（x）0；在（lnt2，+）上，h（x）0，此时，h（lnt2）h（0）0又 x时，h（x）+，x+时，h（x）+故在（，lnt2）和（lnt2，+）上，h（x）各有 1 个零点所以 m1 时，h（x）有 2 个零点20已知椭圆C：?2?2+?2?2=?（ab 0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为12，点 P是椭圆 C 上的一个动点，且PF1F2面积的最大值为?（1）求椭圆 C 的方程；（2）椭圆 C 与 x 轴交于 A、B 两点，直线AP 和 BP 与直线 l：x 4 分别交于点M，N，试探究以MN 为直径的圆是否恒过定点，若是，求出所有定点的坐标：若否，请说明理由【分析】（1）椭圆 C 的离心率为12，当 P 为 C 的短轴顶点时，PF1F2的面积有最大值?，列出方程组求解a，b，得到椭圆方程（2）不妨设A（2，0）、B（2，0），通过AP，BP 的斜率乘积，设出设AP：yk（x+2），BP：?=-34?(?-?)，推出MN坐标，然后求解圆的方程，说明圆恒过定点即可解：（1）椭圆 C 的离心率为12，当 P 为 C 的短轴顶点时，PF1F2的面积有最大值?，?=12?=?+?12?=?，解得?=?=?=?，故椭圆 C 的方程为：?24+?23=?（2）不妨设 A（2，0）、B（2，0），则?=?2?2-4=3(1-?24)?2-4=-34，设 AP：y k（x+2），BP：?=-34?(?-?)，所以 M（4，2k），?(-?，92?)，以 MN 为直径的圆是(?+?)?+(?+?)(?-92?)=?，令 y0，x1 1，x2 7，以 MN 为直径的圆恒过（1，0）和（7，0）21超级细菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧，痉挛，昏迷甚至死亡某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n（n 一、选择题*）份血液样本，每个样本取到的可能性相等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将其中k（k N*且 k2）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份血液再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为 k+1 次假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（0p1）现取其中k（k N*且 k 2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2（1）运用概率统计的知识，若 E（1）E（2），试求 P 关于 k 的函数关系式pf（k）；（2）若 P 与抗生素计量xn相关，其中x1，x2，xn（n2）是不同的正实数，满足x11，对任意的n N*（n2），都有?-13?-?=?2?+1=?2-?12?22-?12（i）证明：xn为等比数列；（ii）当?=?-1?78时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k 的最大值参考数据：ln20.6931，ln31.0986，ln41.3863，ln5 1.6094，ln6 1.7918，ln71.9459，ln82.0794，ln92.1972，ln102.3026【分析】（）当进行逐份检验时，E（1）k；当进行混合检验时，E（2）（1p）k+（k+1）1（1p）k k+1 k（1p）k，由E（1）E（2），能求出P 关于k的函数关系式pf（k）（）（i）当 n2 时，猜想：?=?-13，再用数学归纳法进行证明，可得：?=?-13对一切 n N*都成立即 xn为等比数列（ii）?=?-1?78，从而-?4?1?-?4?，令?(?)=?-?4（k2），则?(?)=1?-14=4-?4?，由此能求出k 的最大值解：（）解：当进行逐份检验时，E（1）k；当进行混合检验时，?(?=?)=(?-?)?，?(?=?+?)=?-(?-?)?，则 E（2）（1p）k+（k+1）1（1p）kk+1 k（1p）k，E（1）E（2），kk+1k（1 p）k则(?-?)?=1?，即?=?-(1?)1?（k N*且 k2）（）（i）解：当n2 时，有?-13?22?1?2=?22-?12?22-?12=?=?13，则猜想：?=?-13下面用数学归纳法进行证明：当 n1 时，x11 满足；假设当 nk 时，?=?-13则当 nk+1 时，?-13?=?+12?+1=?-13?+?(1?1?2+1?2?3+?+1?+1)，设?=1?+1（1 mk1 且 m N*），则?-1=?-1?+1=?-23，1?1?2+1?2?3+?+1?-1?+1?+1=?+?+?+?-?+1?+1=?131-?-2(?-1)3?23-1+?-?-13?+1?-13?=?+12?+1=?-13?+?(1?1?2+1?2?3+?+1?+1)=?-13?+?131-?-2(?-1)3?23-1+?-?-13?+11-?-2(?-1)3?+12-(?-?3-?-?-23)?+1?23-1=?+12-1?23-1，整理可得：(?+?-?3)(?+?+?-23)=?，?+?=?3或?+?=-?-23（舍去），由 可得：?=?-13对一切 n N*都成立即xn为等比数列（ii）证明：依题可知：?=?-1?78，由（1）可知：?(?)-?(?)=?(?-?)?-?=?-?4-?，-?4?1?-?4?，令?(?)=?-?4（k2），则?(?)=1?-14=4-?4?，所以 f（k）在 2，4）上单调递增，在（4，+）上单调递减，?(?)=?-94?，?(?)=?-84?，则 k 的最大值为8（二）选考题：共10 分请考生在第22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为?=?+?=-?-?（t 为参数）以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 4cos，且直线 l 与曲线 C 交于 M、N 两点（1）求直线 l 的普通方程以及曲线C 的直角坐标方程：（2）若曲线C 外一点 A（m，n）恰好落在直线l 上，且|?|+|?|=?，求 m，n的值【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果解：（1）直线 l 的参数方程为?=?+?=-?-?（t 为参数）转换为直角坐标方程为：x+y10；曲线C 的极坐标方程为 4cos，根据?=?=?转换为直角坐标方程为：x2+y24x0（2）直线 l 的参数方程为：?=?-22?=?+22?（t 为参数）代入曲线方程得：?-(?-?-?)?+?+?-?=?设 M，N 对应的参数分别为t1，t2：则?+?=?-?-?|?|+|?|=|?+?|=?+?=?-?-?=?或?+?=?-?-?=-?=?=-?或?=?=?选修 4-5：不等式选讲23已知函数?(?)=|?-?|+|?+4?|（m2）（1）若 m4，求不等式f（x）5 的解集；（2）问：?(?)+4?(?-2)是否存在最小值？若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）将 m4 代入 f（x）中，然后根据f（x）5，利用零点分段法解不等式即可；（2）先求出 f（x）的最小值，然后根据?(?)+4?(?-2)?+2?+4?(?-2)=?-?+2?-2+?，利用基本不等式求出其最小值，进一步得到m 的值解：（1）当 m4 时，f（x）|x4|+|2x+1|，f（x）5，当?-12时，4x2x15，则?-23；当-12?时，4x+2x+15，得 0 x4；当 x4 时，x4+2x+1 5，得 x4，原不等式解集为(-，-23)(?，+)（2）?(?)=-?+?-4?(?-2?)?+?+4?(-2?)?-?+4?(?)，?(?)?=?(-2?)=?+2?，?(?)+4?(?-2)?+2?+4?(?-2)=?+2?+2?-2-2?=?-?+2?-2+?+?，当且仅当?-?=2?-2，即?=?+?，?=-?+?时取等号，?(?)+4?(?-2)的存在最小值?+?，m=?+?