【最新】2019-2020学年辽宁省沈阳二中高一下学期期末考试数学试题.pdf

2019-2020 学年辽宁省沈阳二中高一下学期期末考试数学试题说明：1测试时间：120 分钟，总分：150 分2客观题涂在答题卡上，主观题答在答题纸上第卷（选择题共 60 分）一、选择题：（本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1复数2(2)(2)()1a azaaiaRa为纯虚数，则a的值为（）A1aB0aC0a或2aD2a2如果的终边过点(2sin,2cos)66，则sin的值等于（）A12B12C32D333若向量1,1a，2,5b，3,cx，满足条件824abc，则 x 等于（）A6 B2 C4 D3 4关于直线mn 与平面，有下列四个命题，其中真命题的序号是（）/m，/n且/，则/mn；ma，n且，则mn；ma，/n且/，则mn；/m，n且，则/mnABCD5在ABC中，2()|BCBAACAC，则ABC的形状一定是（）A等边三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D直角三角形6设函数6cosyx与5tanyx的图像在y 轴右侧的第一个交点为A，过点A 作 y 轴的平行线交函数sin2yx的图像于点B，则线段AB 的长度为（）A5B3 52C14 59D2 57 已 知ABC的 三 个 内 角 为A，B，C，向 量sin(3,sin)AmB，cos()sco,3BnA 若1cosm nAB，则C（）A6B3C23D568 九章算术问题十：今有方亭，下方五丈，上方四丈高五丈问积几何（今译：已知正四棱台体建筑物（方亭）如图，下底边长5a丈，上底边长4b丈高5h丈 问它的体积是多少立方丈？（）A75 B3053C3203D40039已知复数1zi（i 为虚数单位）是关于x 的方程20 xpxq（p，q 为实数）的一个根，则pq的值为（）A4 B2 C0 D210已知ABC的三个内角A，B，C 所对的边分别为a，b，cABC的外接圆的面积为3，且2cos A22coscos13sinsinBCAC，则ABC的最大边长为（）A2 B3 C3D2 311在四面体P-ABC 中，三角形ABC 为等边三角形，边长为3，3PA，4PB，5PC，则四面体P-ABC 外接球表面积为（）A12B25C809D3241112如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为75的扇形点A，B，C 分别是半径OP，OQ 及扇形弧上的三个动点（不同于O，P，Q 三点），则ABC周长的最小值是（）A612B622C2 614D2 624第卷（非选择题共 90分）二、填空题：（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分）13若zC，且221zi，则22zi的最小值为 _14如图在ABC中，ADAB，3BCBD，|1AD，则AC AD_15已知ABC中，D 是 BC 上的点，AD 平分BAC，且2ABDADCSS，1AD，12DC，则AC_16 已知：平面l，Al，Bl，4AB，C，CAl，3AC，D，DBl，3.DB直线 AC 与 BD 的夹角是60，则线段CD 的长为 _三、解答题：（本大题共6 小题，满分70 分，写出必要文字说明和演算步骤）17（本小题满分10 分）已知函数()3sin()(0,|)2f xx的图像关于直线3x对称，且图像上相邻两个最高点的距离为（1）求和的值；（2）若32()()2463f，求sin()3a的值18（本小题满分12 分）如图甲船以每小时30 2海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行当甲船位于1A处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B处，此时两船相距20 海里当甲船航行20min 到达2A处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B处，此时两船相距10 2海里，问乙船每小时航行多少海里？19（本小题满分12 分）已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中,1)(2a（1）若2 5c，且/ca，求 c 的坐标；（2）若5|2b，且(2)abab，求a与b的夹角20（本小题满分12 分）如图，四棱锥P-ABCD 中，AP平面 PCD，/ADBC，12ABBCAD，E，F 分别为线段AD，PC 的中点（1）求证：/AP平面 BEF；（2）求证：BE平面 PAC21（本小题满分12 分）在ABC中，内角 A，B，C 的对边分别是a，b，c，已知3cossin3bAcCa（I）求 A 的值：（）若3a，点 D 在边 BC 上且2BDDC，求 AD 的最大值22（本小题满分12 分）如图所示的圆锥，顶点为O，底面半径是5cm，用一与底面平行的平面截得一圆台，圆台的上底半径为 2.5cm，这个平面与母线OA 交于点 B，线段 AB 的长为 10cm（提示：本题的数据有长度单位）（1）求圆台的体积和圆台的侧面积；（2）把一根绳从线段AB 的中点 M 开始到点A，沿着侧面卷绕使它成为最短时候，求这根绳的长度；（3）在（2）的条件下，这根绳上的点和圆台上底面上的点的距离中，最短的距离是多少？20192020 学年度下学期期末考试高一试题数学参考答案及评分标准一、选择题：BCBDD CCBCC DB 二、填空题：13 3 1431532165 或43三、解答题：17解析：（1）因为fx的图像上相邻两个最高点的距离为，所以fx的最小正周期T，从而22T又fx的图像关于直线3x对称，所以2,32kkZ因为22，所以0k所以2236（2）由（1）得3()3sin(2)2264f，所以1sin()64由263，得062，所以22115cos1sin16644，15sinsincos3626418【解析】解法一：如图，连接12A B，由已知，2210 2A B，122030 210 260A A，1222A AA B，12218012060A A B又12218012060A A B122A A B是等边三角形，121210 2ABA A由已知，1120A B1211056045B A B在121A B B中，由余弦定理，得：33212121111122cos45B BA BA BA BA B，22220(102)22010 220021210 2B B因此乙船的速度的大小为10 26030220（海里/h）答：乙船每小时航行30 2海里解法二：如图，连结2A B由已知1220A B122030 210 260A A，112105B A A，cos105cos 4560cos45 cos60sin45 sin602(13)4sin105sin 4560sin45 cos60cos45 sin602(13)4在211A A B中，由余弦定理，得22221111211122cos105A BA BA AA BA A222(13)(10 2)20210 2204100(42 3)2110(13)A B.由正弦定理，得1112111221sinsinA BA A BB A AA B202(13)24210(13)12145A A B，即122604515B A B2(13)cos15sin1054在122B A B中，由已知，2210 2A B，由余弦定理，得22212212221222cos15B BA BA BA BA B2222(13)10(13)(10 2)210(13)10 220041210 2B B，乙船速度的大小为10 26030 220海里/h答：乙船每小时航行30 2海里19解：（1）由于a，b，c是同一平面内的三个向量，其中2,1a，若|2 5c，且/ca，可设()2,ca则由22|(2)2c，可得2，4,2c，或4,2c（2）5|2b，且2ab与ab垂直，22220ababaa bb，化简可得52ba，即55cos52，cos1，故a与b的夹角20证明：（1）设ACBEO，连结 OF，EC，由已知可得：/AEBC，AEABBC，四边形 ABCE 是菱形，O 为 AC 中点，因为 F 为 PC 中点，所以/OFAP，/AP平面 BEF，OF?平面 BEF 所以 AP平面 BEF（2）由题意知，/EDBC，EDBC，所以四边形BCDE 为平行四边形因此/BECD又AP平面 PCD所以APCD，因此APBE因为四边形ABCE 为菱形所以BEAC又APACA，AP，AC平面 PAC，所以BE平面 P AC21（1）由已知及正弦定理得sincos3ssinsnni3iACCAB又sinsinsincoscossinBACACAC，且sin0C，tan3A，0A，即3A（2）解法一：设ABC外接圆的圆心为O，半径为R，则由正弦定理得3322sinsin3aAR，如图所示，取BC 的中点 M，在Rt BOM中，322BCBM，222233(3)()22OMOBBM；在Rt DOM中，12OMBDBM，222231()()122ODOMDM31ADODODORA，当且仅当圆心O 在 AD 上时取等号，所以 AD 的最大值是31解法二：在ABC中，由正弦定理得：sinsin3sincosABBA，因为sin0B，所以tan3A，又因为0A，所以3A；由正弦定理得：in2 3sbB，in2 3scC，在ABD中，222224cos24BABDADcADBBABDc在ABC中，2222292c6osBABBCBCACcbBAc所以222244946cDcbcc，整理得22221233ADbc，所以22221(2 3)(2 3)233sinsinADBC228sin4sin2BC44cos22cos2BC144cos22cos(2)3BB43sin 23cos2B42 3sin(2)3B，当sin(2)13B，即512B时，2AD取得最大值423所以 AD 的最大值为3122（1）作出圆锥的轴截面和侧面展开图，如下图由底面半径是5cm，上底半径为2.5cm，可得：10OB所以，圆锥的高为：5 15，因此圆锥的体积为：3875 15c8mV，侧面积为：275 cmS（2）由圆锥的底面周长可得侧面展开图的弧长为10，所以，侧面展开图的圆心角为2，在直角三角形MOA 中可得25cmMA，所以最短时候，绳长为25cm（3）由侧面展开图可知，距离最短时，就是O 到直线 AM 的距离减OB 长解得：2cm