【最新】2019-2020学年重庆市育才中学高一下学期期末数学试题(解析版).pdf

第 1 页 共 17 页2019-2020 学年重庆市育才中学高一下学期期末数学试题一、单选题1sin585的值为（）A22B22C32D32【答案】B【解析】根据诱导公式，将所求的角转化为特殊锐角，即可求解.【详解】2sin585sin(360225)sin(18045)sin452.故选：B.【点睛】本题考查诱导公式求值，熟记公式是解题关键，属于基础题.2已知0ab，Rc，那么下列命题正确的是（）A2211abB11acbcC11acbcD11acbc【答案】A【解析】对于选项A,222211()()0babaaba b，判断得解；对于选项B和C，差的符号不能确定，所以不正确；对于选项D，差的符号不能确定，所以该选项不正确.【详解】对于选项A,222211()()ba baaba b，因为0ab，所以22()()0ba baa b，所以2211ab，所以该选项正确；对于选项B，11()()baacbcac bc，如：5,2,4,abc则分母小于零，如：5,2,6abc，则分母大于零，所以差的符号不能确定，所以该选项不正确；对于选项C，11()()baacbcac bc，如：5,2,4,abc则分母小于零，如：5,2,6abc，则分母大于零，所以差的符号不能确定，所以该选项不正确；对于选项D，11baacbcabc，差的符号不能确定，所以该选项不正确.第 2 页 共 17 页故选：A.【点睛】本题主要考查作差比较法比较代数式的大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3已知1,1,2 2AB，O是坐标原点，则ABOA（）A1,3B3,1C1,1D2,2【答案】D【解析】根据向量线性运算可得ABOAOB，由坐标可得结果.【详解】2,2ABOAOAABOB故选：D【点睛】本题考查平面向量的线性运算，属于基础题.4在区间1,2上随机取出一个数a，则0,1a的概率为（）A13B14C15D16【答案】A【解析】利用几何概型长度型概率计算公式求解.【详解】在区间1,2上随机取出一个数a，则0,1a的概率101213P.故选：A【点睛】本题考查几何概型问题的概率，属于基础题.5在等差数列na中，若45615aaa，则28aa（）A6 B 10 C7 D5【答案】B【解析】根据等差数列的性质，可得5a，然后由2852aaa，简单计算结果.【详解】由题可知：456553155aaaaa第 3 页 共 17 页又2852aaa，所以2810aa故选：B【点睛】本题主要考查等差数列的性质，若mnpq，则mnpqaaaa，考验计算，属基础题.6已知(,)2，3sin5，则tan()4（）A17B17C 7D7【答案】D【解析】试题分析：根据3(,),sin25,可得,则.根据正切和角公式有tan()4【考点】根据角度判断三角符号;正切和角公式.7已知不等式210axbx的解集是11,23,则不等式20 xbxa的解集是（）A(2,3)B(,2)(3,)C1 1(,)3 2D11(,)(,)32【答案】A【解析】根据所给的不等式的解集，并结合一元二次方程根与系数的关系求出ab，的值，然后再解不等式即可【详解】不等式210axbx的解集是1123，1123xx，是方程210axbx的两根，1152361111236baa，解得65ab不等式20 xbxa为2560 xx，解得23x，不等式的解集为2 3，第 4 页 共 17 页故选 A【点睛】本题考查二次不等式的解法，解题时注意结合“三个二次”间的关系，注意不等式解集的端点值、二次方程的根与二次函数图象与x 轴交点横坐标间的关系，解题的关键是根据条件求出ab，的值8已知 5 件产品中有2件次品,其余为合格品,现从这 5 件产品中任取2 件,恰有一件次品的概率为()A0.4 B 0.6 C0.8 D1【答案】B【解析】5件产品中有2件次品，记为a，b，有3件合格品，记为c，d，e，从这5件产品中任取2件，有10种，分别是,a b，,a c，,a d，,a e，,b c，,b d，,b e，,c d，,c e，,d e，恰有一件次品，有6种，分别是,a c，,a d，,a e，,b c，,b d，,b e，设事件“恰有一件次品”，则60.610，故选 B【考点】古典概型9已知0a，0b，则112abab的最小值是（）A2B2 2C4D5【答案】C【解析】试题分析：由可知，当且仅当，即时等号成立，又，当且仅当，即，所以时等号成立【考点】均值定理10第 18 届国际篮联篮球世界杯（世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯）于2019 年 8 月 31 日至 9月 15 日在中国的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队 12 名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示，则下列说法错误的是（）第 5 页 共 17 页A第一场得分的中位数为52B第二场得分的平均数为193C第一场得分的极差大于第二场得分的极差 D第一场与第二场得分的众数相等【答案】C【解析】根据茎叶图按顺序排列第一场、第二场得分分数，中间两数的平均数即为中位数，出现次数最多的数为众数，最大数减最小数为极差，求出相应数据即可判断各项正误.【详解】由茎叶图可知第一场得分为：0,0,0,0,0,2,3,7,10,12,17,19，中位数为52，众数为0，极差为 19，第二场得分为：0,0,0,0,3,6,7,7,9,10,10,24，众数为0，平均数为193，极差为24，所以选项C 的说法是错误的.故选：C【点睛】本题考查茎叶图，根据茎叶图计算样本数据的中位数、众数及平均数，属于基础题.11若sin11cos3，则22cos3snin2i2s（）A2B2 2C4D5【答案】A【解析】利用二倍角余弦公式化简、代入即可求解.【详解】由sin11cos3，可得3sin1cos，22cos3sin22cos1cos2cos121cosis1cos2n22，故选：A【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，需熟记公式，属于基础题.第 6 页 共 17 页12梯形ABCD中AB平行于CD,2,1,4ABCDDAB，P为腰AD所在直线上任意一点，则32PBPC的最小值是（）A4 3B4 2C4D3 6【答案】B【解析】利用建系的方法，假设,ADt APm，分别计算,PB PC以及32PBPC，然后令5 222ktm，最后根据二次函数的性质可得结果.【详解】依据题意，建立如图所示平面直角坐标系设,ADt APm，由4DAB，所以222222,1,2,0222222PmmDttCttB则2222222,1,222222PBmmPCtmtm所以5 25 23282,222PBPCtmtm令5222ktm，则328,PBPCk k所以2222328216642432PBPCkkkkk当4k时，有min324 2PBPC故选：B【点睛】第 7 页 共 17 页本题考查利用建系的方法解决向量的问题，本题关键在于采用建系，用坐标表示向量，几何问题代数化，便于计算，属难题.二、填空题13等比数列na中，131,13aS，其中公比0q，则2a_.【答案】3【解析】利用等比数列的前n项和公式求出q，再利用等比数列的通项公式即可求解.【详解】由题意131,13aS，可知1q所以3131131aqSq，整理可得2120qq，解得3q或4q，又0q，所以3q，所以213aa q.故答案为：3【点睛】本题考查了等比数列的前n项和公式、等比数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题.142020 年初，一场突如其来的“新型冠状肺炎”使得全国学生无法在春季正常返校开学，不得不在家“停课不停学”.为了解高三学生每天居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n个学生的调查问卷进行分析，得到学生学习时长的频率分布直方图（如图所示）.已知学习时长在9,11的学生人数为25，则n的值为 _.【答案】50【解析】利用频率和为1可构造方程求得x，根据总数频率频数可构造方程求得n.【详解】第 8 页 共 17 页由频率分布直方图的性质可得：20.050.150.051x，解得：0.25x，学习时长在9,11的频率为：2520.5xn，解得：50n.故答案为：50.【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算频率、总数的问题，属于基础题.15已知2,2ab，且bab，则ab_.【答案】10【解析】首先利用向量垂直，0bab，求出a b，再利用向量模的求法即可求解.【详解】因为2,2ab，且bab，所以0bab，即20a bb，解得2a b，所以22244210abaa bb.故答案为：10【点睛】本题主要考查了向量数量积、向量模的求法，考查了基本运算求解能力，属于基础题.三、双空题16如图，在平面四边形ABCD中，ACD的面积为3，2,31ABBC，120,135ABCBCD，则ACD_，AD_.第 9 页 共 17 页【答案】902 2【解析】在ABC中，利用余弦定理求出AC，再利用正弦定理求出ACB，从而求出ACD，根据三角形的面积公式求出CD，在ACD中，利用勾股定理即可求出AD.【详解】在ABC中，2,31ABBC，120ABC，由余弦定理可得2222cos120ACABBCAB BC，解得6AC,由正弦定理：sinsinABACACBB，即26sinsin120ACB，解得2sin2ACB，所以45ACB，由135BCD，所以90ACD，因为ACD的面积为3，所以132ACDSAC CD，即2CD，所以222 2ADACCD.故答案为：90；2 2【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形，需熟记定理的内容，属于基础题.四、解答题17某市自来水厂向全市生产与生活供水，蓄水池（蓄量足够大）在每天凌晨0 点时将会有水 15 千吨，水厂每小时向池中注水2 千吨，同时从池中向全市供水，若已知024xx小时内供水总量为10 x千吨，且当蓄水量少于3 千吨时，供水就会出现紧张现象.（1）一天内将在哪个时间段内出现供水紧张现象？（2）若将每小时向池内注水2 千吨改为每小时向池内注水2a a千吨，求a的最小值，使得供水紧张现象消除.第 10 页 共 17 页【答案】（1）4时至9时出现供水紧张现象；（2）2512【解析】（1）设蓄水量为y，根据题意求出函数解析式，求解3y即可；（2）当每小时向池内注水2a a千吨时求出函数解析式，利用换元法根据二次函数的图象与性质求出最小值，令最小值大于等于3 求解 a 即可得 a 的最小值.【详解】（1）设蓄水量为y，根据题意，15210yxx，024x，令152103yxx，230 xx，解得23x，则49x，所以一天内将在4 时至 9 时出现供水紧张现象.（2）每小时向池内注水2a a千吨，则1510240yaxxx，令0,2 6tx，则2xt，210150,26f tattt，对称轴为5xa，因为2a，所以5502 62a，min2525525101515ftfaaaaa，令251532aa，解得2512a，所以使得供水紧张现象消除的a的最小值为2512.【点睛】本题考查函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，属于中档题.18已知函数()cos(2)2sin()sin()344f xxxx.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若将函数()f x 图象上每点的横坐标变为原来的2 倍，纵坐标不变，得到函数()yg x的图象，求()g x在区间,12上的值域.【答案】（1）；（2）2,12【解析】（1）根据两角和与差的正弦、余弦公式并结合辅助角公式化简可得()sin26f xx，然后根据周期公式简单计算可得结果.（2）根据（1）的条件，以及伸缩变换可得()g x，然后使用整体法以及正弦型函数的第 11 页 共 17 页性质可得结果.【详解】（1）由题可知：()cos(2)2sin()sin()344f xxxx13cos(2)cos2 cossin2 sincos2sin 233322xxxxx22sin()sincoscos sinsincos44422xxxxx22sin()sincoscossinsincos44422xxxxx所以2213()cos2sin 2sincos22f xxxxx则1331()cos2sin 2cos2sin2cos22222f xxxxxx所以()sin 26f xx所以最小正周期22T（2）由（1）可知：()sin 26f xx，依题变换之后()sin6g xx由,12x，所以5,646x所以2sin,162x所以()g x在区间,12上的值域为2,12【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，函数图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型19有如下数阵：23345121(2),(2,2),(2,2,2),(2,2,2)nnn，其中第n个括号内的所有元素之和记为na.第 12 页 共 17 页（1）求数列na的通项公式；（2）令22(1)log(4)nnnnbna，求数列nb的前 100 项和100S.【答案】（1）42nnna；（2）10010100S【解析】（1）121222nnnna，利用等比数列的求和公式即可得出.（2）222(1)log(4)1nnnnnbnann，由分组求和即可得出.【详解】（1）121221222422 1nnnnnnnna，（2）222(1)log(4)1nnnnnbnann，其中11232nnn，212221211241kkkkk，数列nb的前 100项和：5010011001001503 1994150501010022kSk【点睛】本题主要考查了等比数列的前n项和公式、等差数列的前n项和公式、分组求和法，属于中档题.20在某种产品表面进行腐蚀性实验，得到腐蚀深度y与腐蚀时向t之间对应的一组数据：时间()t s5101520354050深度()y m610I013161719（1）求数据6,10,10,13,16,17,19 的均值y与方差2ys；（2）试求腐蚀深度y对时间t的回归直线方程，并预测第100 秒时产品表面的腐蚀深度（计算结果保留小数点后两位）.第 13 页 共 17 页（可能用到的公式与数据：yabx，其中1122211()()()nniiiiiinniiiixxyyx ynx ybxxxnx，aybx，7777221111175,6075,1311,2730iiiiiiiiittyt y）【答案】（1）13y；21287ys（2）0.286.31yx；34.31()m【解析】（1）利用平均数以及方差公式即可求解.（2）求出横坐标的平均数，利用最小二乘法求出回归直线方程的系数，得到回归直线方程，利用回归方程，代入计算，可得结论.【详解】（1）6101013161719137y，2222222261310 1310 1313 1316 1317 1319 1312877ys所以均值13y；方差21287ys（2）5101520354050257t，12221273=0725 134550.2860757251700niiiniit ynt ybntt，45513256.311700a，所以回归直线方程为0.286.31yx，当t100 秒时，0.28 1006.3134.31y.所以腐蚀深度y对时间t的回归直线方程：0.286.31yx，第 100 秒时产品表面的腐蚀深度约为34.31()m.【点睛】本题考查了最小二乘法求回归直线方程，考查了运算求解能力，属于基础题.21在ABC中，,a b c是角,A B C的对边，且2coscosacBbC.第 14 页 共 17 页（1）若2,1ac，解这个三角形；（2）我们知道，如果PQ是某个定圆的一条弦，点M在PQ分圆所得的优（劣）弧上运动，则PMQ的大小确定.本题中，若2 3b，请结合ABC的外接圆，根据a的取值讨论ABC解的个数，并请说明a取何值时ABC的面积最大.【答案】（1）236ABC，3b；（2）答案见解析；当2 3a时，ABC的面积取得最大值3 3【解析】（1）利用正弦定理对已知等式进行边化角，再利用两角和的正弦公式进一步化简即可求得cosB，从而求出角B，再利用余弦定理求出边b，相应值代入正弦定理即可求得角AC、；（2）由正弦定理可得sin4aA，因为20,3A，所以可根据正弦函数的图象与性质对sin4aA的值进行分类讨论确定角A 的解的个数从而确定ABC的解的个数；由余弦定理及基本不等式可得12ac，代入三角形面积公式即可求得ABC的面积的最大值.【详解】（1）2coscosacBbC，利用正弦定理可得2sincossincossincosABBCCB，即2sincossinsinABBCA，又sin0A，所以1cos2B，0,B，3B，2,1ac，22212cos41432bacacB，3b，由正弦定理得32sinsinsin32abcABC，1sin1,sin2AC，0,AC、，26AC，在ABC中，236ABC，231abc，.（2）2 34sinsin32abAB，sin4aA，第 15 页 共 17 页且由3B知20,3A，当02 3a时，3sin(0,42aA，此时ABC有 1 个解；当2 34a时，3sin(1)42aA，此时ABC有 2 个解；当4a时，sin14aA，此时ABC有 1 个解；当4a时，sin14aA，此时ABC无解.由余弦定理得222bacacac，即12ac，当且仅当2 3ac时等号成立，所以ABC的面积13=sin3 324ABCSacBac，当2 3ac时，ABC的面积取得最大值3 3.【点睛】本题考查解三角形、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，涉及利用基本不等式求三角形的面积的最值，属于较难题.22一农妇原有*0aN个鸡蛋，现分9 次售卖鸡蛋，设每次卖出后剩下的鸡蛋个数依次为129,a aa个.（1）如果农妇第一次卖去全部鸡蛋的一半又半个，第二次卖去剩下的一半又半个，第三次又卖去剩下的一半又半个，第九次仍然卖去剩下的一半又半个，而且这次恰好全部卖完，求987,a a a，给出数列na的递推公式并据此求出0a；（2）鸡蛋无法分割出售，如果农妇原有鸡蛋0511a个，是否存在*,2p qNp，使得农妇按如下方式卖鸡蛋：第一次卖去全部的1p又1q个，第二次卖去剩下的1p又1q个，第三次又卖去剩下的1p又1q个，第九次仍然卖去剩下的1p又1q个，而且这次恰好全部卖完？如果存在，求出可能的,p q的值，如果不存在，请说明理由.【答案】（1）9870,1,3aaa，11122nnaa，0511a（2）,p q不存在，理由见详解.第 16 页 共 17 页【解析】（1）依据题意可得9870,1,3aaa，并可知递推关系为11122nnaa，利用递推公式可得数列na的通项公式，进一步计算可得0a（2）依题意可得111nnnaaapq，然后可得数列na的通项公式，根据90a，可得981511ppqp，简单判断可得结果.【详解】（1）由题可知：可直接得到9870,1,3aaa且11122nnaa由1111111222nnnnaaaa，所以数列1na是以11a为首项，公比为12的等比数列则111112nnaa，又101122aa所以01112nnaa，又90a，所以9901112aa，则0511a（2）由题可知：111nnnaaapq，即111nnppaapq p令11nnpaMaMp，则1111nnppaaMpp所以111ppMpq p，则pMq所以11nnpppaaqpq，则数列npaq是以1paq为首项，1pp为公比的等比数列则111nnpppaaqqp，又1011ppaapq p所以190111npppppaaqpq pqp，第 17 页 共 17 页又90a，0511a，代入上式化简可得981511ppqp由*,p qN，所以1,1pq，又2p，所以,p q不存在【点睛】本题考查等比数列的实际应用，以及根据递推公式证明等比数列，考查分析能力以及逻辑推理能力，对计算的要求很高，属难题.