《函数零点的存在性定理》教学设计(精品).pdf

函数零点的存在性定理（一）教学目标1知识与技能体验零点存在性定理的形成过程，理解零点存在性定理，并能应用它探究零点的个数及存在的区间.2过程与方法经历由特殊到一般的过程，在由了解零点存在性定理到理解零点存在性定理，从而掌握零点存在性定理的过程中，养成研究问题的良好的思维习惯.3情感、态度与价值观经历知识发现、生成、发展、掌握、理解的过程，学会观察问题，发现问题，从而解决问题；养成良好的科学态度，享受探究数学知识的乐趣.（二）教学重点与难点重点：掌握零点存在性定理并能应用.难点：零点存在性定理的理解（三）教学方法通过问题发现生疑，通过问题解决析疑，从而获取知识形成能力；应用引导与动手尝试结合教学法，即学生自主探究与教师启发，引导相结合.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习回顾提出问题1函数零点的概念2函数零点与方程根的关系3实例探究已知函数 y=x2+4x 5，则其零点有几个？分别为多少？生：口答零点的定义，零点与根的关系师：回顾零点的求法生：函数 y=x2+4x 5 的零点有 2 个，分别为 5，1 回顾旧知，引入新知示例探究引入1探究函数 y=x2+4 x 5的零点所在区间及零点存在区间的端点函数值的正负情况的师：引导学生利用图象观察零点的所在区间，说明区间端一般取整数.生：零点 5(6，4)由特殊到一般，归纳一般结课题关系零点 1(0，2)且f(6)f(4)0f (0)f (2)0师：其它函数的零点是否具有相同规律呢？观察下列函数的零点及零点所在区间.f (x)=2 x 1，f (x)=log2(x 1)生：函数 f(x)=2x 1 的零点为1(0,1)2且 f (0)f(1)0.函数 f(x)=log2(x 1)的零点为 2(1，3)且 f (1)f(3)0 论，引入零点存在性定理发现定理零点存在性定理如果函数 y=f (x)在区间 a，b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)0那么，函数 y=f(x)在区间 a，b 内有零点，即存在 c(a，b)，使得 f (c)=0这个 c 也就是方程 f (x)=0的根师生合作分析，并剖析定理中的关键词连续不断f (a)f (b)0师：由于图象连续不断，若 f (a)0，f (b)0，则 y=f (x)的图象将从 x 轴上方变化到下方，这样必通过 x 轴，即与 x 轴有交点形成定理，分析关键词，了解定理.深化理解定理的理解（1）函数在区间 a，b 上的图象连续不断，又它在区间 a，b 端点的函数值异号，则函数在 a，b 上一定存在零点（2）函数值在区间 a，b 上连续且存在零点，则它在区间 a，b 端点的函数值可能异号也可能同号师：函数 y=f (x)=x2 ax+2 在(0，3)内，有 2 个零点.有 1 个零点，分别求 a 的取值范围.生：f(x)在(0，1)内有 2 个零点，则其图象如下通过实例分析，从而进一步理解定理，深化定理.3 y x O（3）定理只能判定零点的存在性，不能判断零点的个数则(0)0(3)0003222ffabaf(x)在(0，3)内有 1 个零点则(0)011(3)03faf应用举例例 1 求函数 f (x)=lnx+2 x 6 的零点的个数.师生合作探求解题思路，老师板书解答过程例 1 解：用计算器或计算机作出x，f(x)的对应值表和图象.x 1 2 3 4 5 f(x)4 1.0369 1.0986 3.3863 5.6094 x 6 7 8 9 f(x)7.7918 9.9459 12.0794 14.1972 由表和图可知，f(2)0，f(3)0，则 f(2)f(3)0，这说明函数 f(x)在区间(2，3)内有零点.由于函数 f (x)在定义域(0,)内是增函数，所以它仅有一个零点.师生合作交流，体会定理的应用练习巩固学生尝试动手练习，老师借助计算机作图，师生合作交流分析，求解问题.尝试学生动手模仿练习 1.利用信息技术作出函数的图象，并指出下列函数零点所在的大致区间：（1）f (x)=x33x+5；（2）f (x)=2 xln(x 2)3；（3）f (x)=ex1+4 x 4；（4）f (x)=3(x+2)(x 3)(x+4)+x.练习 1 解：（1）作出函数图象，因为f(1)=10，f(1,5)=2.8750 所以f(x)=x33x+5 在区间(1，1.5)上有一个零点.又因为 f(x)是(,)上的减函数，所以f(x)=x33x+5 在区间(1，1.5)上有且只有一个零点.（2）作出函数图象，因为f(3)0，f(4)0，所以 f(x)=2xln(x2)3 在区间(3，4)上有一个零点.又因为 f(x)=2xln(x2)3 在(2,)上是增函数，所以 f(x)在(2,)上有且仅有一个(3，4)上的零点（3）作出函数图象，因为f(0)0，f(1)0，所以 f (x)=ex1+4 x 4 在区间(0，1)上有一个零点又因为 f(x)=ex1+4 x 4 在(,)上是增函数，所以 f(x)在(,)上有且仅有一个零点.（4）作出函数图象，因为f (4)0，f(3)0，f (2)0，f (2)0，f (3)0，所以 f (x)=3(x+2)(x 3)(x+4)+x在(4，3)，(3,2)，(2，3)上各有一个零点练习，老师引导、启发，师生合作完成问题求解，从而固化知识与方法，提升思维能力.归纳总结1数形结合探究函数零点2应用定理探究零点及存在区间.3定理应用的题型：判定零点的存在性及存在区间.学生总结师生完善补充学会整理知识，培养自我归纳知识的能力课后练习3.1 第二课时习案学生自主完成整合知识，提升能力备选例题例 1 已知集合 A=xR|x2 4ax+2 a+6=0，B=x R|x0，若 AB，求实数 a 的取值范围.【解析】设全集U =a|=(4a)2 4(2 a+6)0=3|(1)()02aaa=3|12a aa或若方程 x2 4 ax+2 a+6=0的两根 x1，x2均非负，则1212340,.2260.aUxxaax xa因为在全集 U中集合3|2a a的补集为 a|a1，所以实数 a 的取值范围是 a|a1.例 2 设集合 A=x|x2+4x=0，xR，B=x|x2+2(a+1)x+a2 1=0，xR，若 AB=A，求实数 a 的值.【解析】A=x|x2+4x=0，xR ，A=4，0.AB=A，BA.1当 B=A，即 B=4，0时，由一元二次方程根与系数的关系得22(1)4,1.10aaa解之得2当 B=，即方程 x2+2(a+1)x+a21=0 无实解.=4(a+1)2 4(a2 1)=8a+8 0.解得，a1.3当 B=0，即方程 x2+2(a+1)x+a2 1=0有两个相等的实数根且为零时，2880,1.10.aaa解得4当 B=4 时，即需2880,168(1)10.aaa无解.综上所述，若 AB=A，则 a1 或 a=1.