【最新】2019届广东省深圳市高三下学期第二次(4月)调研数学(文)试题(解析版).pdf
第 1 页 共 26 页2019 届广东省深圳市高三下学期第二次（4 月）调研数学（文）试题一、单选题1已知集合2|20,|13,Ax xxBxx则ABI（）A0 1，B1 2，C2 3，D0 3，【答案】B【解析】先求出集合A，再根据集合交集的定义求出ABI即可.【详解】集合2|20|02Ax xxxx，且|13Bxx所以ABI|12xx故选：B【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，以及求两个集合的交集，属于基础题2复数（为虚数单位）的共轭复数是（）ABCD【答案】C【解析】先化简复数为代数形式，再根据共轭复数概念求解.【详解】因为,所以其共轭复数是，选 C.【点睛】本题考查共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基本题.3已知双曲线222:1(0)xCyaa的渐近线方程为33yx，则该双曲线的焦距为（）A2B 2 C2 2D4【答案】D【解析】利用双曲线的渐近线方程求出a，然后求解双曲线的焦距，即可求得答案.【详解】第 2 页 共 26 页双曲线222:1(0)xCyaa的渐近线方程为33yx可得3,1ab则132cC的焦距为：4故选：D【点睛】本题主要考查了求双曲线的焦距，解题关键是掌握双曲线的基础上知识，考查了分析能力和计算能力,属于基础题.4某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图.若从每周使用时间在15,20,20,25,25,30三组内的学生中用分层抽样的方法选取8 人进行访谈，则应从使用时间在20,25内的学生中选取的人数为（）A1 B 2 C3 D4【答案】C【解析】先由频率之和为1 计算出参数a，再计算出在15,20,20,25,25,30中20,25对应的频率，结合频数=总数频率计算即可【详解】由频率之和为1 可得0.020.040.060.040.01510.03aa，在15,20,20,25,25,30三组学生内抽样，使用时间在20,25内的学生对应的频率为：0.0330.040.030.018P，则使用时间在20,25内的学生中选取的人数为第 3 页 共 26 页3838人故选：C【点睛】本题考查频率分布直方图中参数的计算，分层抽样中具体某层抽样数的计算，属于基础题5已知角为第三象限角，若tan()43，则sin（）A2 55B55C55D2 55【答案】B【解析】由tan()34计算出tan，再由同角三角函数的基本关系求解sin即可【详解】由tan11tan()33tan41tan2，又为第三象限角，故sin为负数，15tansin25故选：B【点睛】本题考查正切的和角公式，同角三角函数的基本求法，属于基础题6如图所示，网格纸小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A83B103C143D10【答案】C【解析】由三视图可判断组合体为圆柱加圆锥，结合体积公式计算即可第 4 页 共 26 页【详解】由图可知，该组合体为底面半径为1，高为 2 的圆柱，底面半径为2，高为 2 的圆锥组合而成，则2122V柱，2182233V锥，故组合体体积为：814233故选：C【点睛】本题考查由三视图求解组合体体积，属于基础题7若函数sin(0)6fxx图象的两个相邻最高点的距离为，则函数fx的一个单调递增区间为（）A,63B,22C,36D2,63【答案】A【解析】由相邻两个最高点对应距离为一个周期，即2可求出，再采用整体代入法求解增区间即可【详解】由题可知22，则sin 26fxx，函数的增区间为：22,2,6226232kkxkkkZxkZ，当0k时，A 项符合故选：A【点睛】本题考查由三角函数图像特征求解周期，整体代入法求解正弦型三角函数单调区间，属于基础题8函数21lg|xfxx的图象大致为（）第 5 页 共 26 页ABCD【答案】B【解析】结合函数奇偶性特征先排除A，再找特殊点，当0 x时，分析分子和分母的变化，可确定B 项正确【详解】由表达式21lg|xfxx可知，函数为偶函数，排除A，当0 x时211x，为正，lg|x，所以210lg|xfxx，B 正确故选：B【点睛】本题考查应用奇偶性和特殊值法识别函数图像，属于基础题9十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？”贝特朗用“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三个合理的求解方法，但结果都不相同 该悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化已知“随机端点”的方法如下：设A 为圆 O 上一个定点，在圆周上随机取一点B，连接 AB，所得弦长AB 大于圆 O 的内接等边三角形边长的概率则由“随机端点”求法所求得的概率为（）A15B14C13D12【答案】C【解析】由题意画出图形，求出满足条件的B的位置，再由测度比是弧长比得答案第 6 页 共 26 页【详解】解：设“弦AB的长超过圆内接正三角形边长”为事件M，以点A为一顶点，在圆中作一圆内接正三角形ACD，则要满足题意点B只能落在劣弧CD上，又圆内接正三角形ACD恰好将圆周3 等分，故1()3P M故选：C【点睛】本题考查几何概型的意义，关键是要找出满足条件弦AB的长度超过圆内接正三角形边长的图形测度，再代入几何概型计算公式求解，是基础题10已知如图正方体1111ABCDA B C D中，P为棱1CC上异于其中点的动点，Q为棱1AA的中点，设直线m为平面BDP与平面11B D P的交线，以下关系中正确的是（）A1/mD QB1mQBC/m平面11B D QDm平面11ABB A【答案】C【解析】根据正方体性质，以及线面平行、垂直的判定以及性质定理即可判断.【详解】因为在正方体1111ABCDA B C D中，11/D BBD，且11D B平面BDP，BD平面BDP，所以11/D B平面BDP，因为11D B平面11B D P，且平面11B D P I平面BDPm，第 7 页 共 26 页所以有11/mD B，而1111D QD BDI，则m与1D Q不平行，故选项A不正确；若1mQB，则111B QD B，显然1B Q与11D B不垂直，矛盾，故选项B不正确；若m平面11ABB A，则11D B平面11ABB A，显然与正方体的性质矛盾，故D不正确；而因为11D B平面11B D P，m平面11B D P，所以有/m平面11B D P，所以选项C 正确，.【点睛】本题考查了线线、线面平行与垂直的关系判断，属于中档题.11已知1F，2F分别是椭圆C：222210 xyabab的左右焦点，点A是1F关于直线 bxayab 的对称点，且2AFx轴，则椭圆C的离心率为（）A12B32C312D512【答案】D【解析】先画出图像，利用已知条件求出A 的坐标，然后求出1AF的中点，代入直线方程，可解出椭圆的离心率。【详解】作出椭圆C 和直线 bxayab 的图像如图，由题知直线2AF的方程为xc，1AF的方程为()ayxcb，可得两直线的交点坐标2(,)acA cb，又点1(,0)Fc，则1AF的中点坐标为(0,)acb，因为点A和点1F关于直线bxayab 对称，所以(0,)acb在直线上，代入直线方程可得222acbca，整理得210ee，又1cea，解得512e.故选：D【点睛】第 8 页 共 26 页本题考查椭圆的性质，解题关键在于求出点A和点1F的中点坐标。12若函数lnfxxxax在区间1,上存在零点，则实数a的取值范围为()A10,2B1,2eC0,D1,2【答案】D【解析】利用导数研究函数()f x 在(1,)上的单调性，当12a时，()f x 在(1,)上为增函数，且()(1)0f xf，即可判断其没有零点，不符合条件；当12a时，()f x 在(1,)上先减后增，有最小值且小于零，再结合幂函数和对数函数的增长速度大小关系，即可判断当x趋于时，()f x 趋于，由零点存在性定理即可判断其必有零点，符合题意，从而确定a的范围.【详解】因为函数lnfxxxax，所以122()122axxafxxxx令()22g xxxa，因为141()222xg xxx，当(1,)x时，410,20 xx，所以()0gx所以()g x在(1,)上为增函数，则()(1)12g xga，当120a时，()0g x，所以()0fx，所以()f x 在(1,)上为增函数，则()(1)0f xf，所以()f x 在(1,)上没有零点.当1 20a时，即12a，因为()g x在(1,)上为增函数，则存在唯一的0(1,)x，使得0()0g x，且当0(1,)xx时，()0g x，当0(,)xx时，()0g x；所以当0(1,)xx时，()0fx，()f x 为减函数，当0(,)xx时，()0fx，()f x为增函数，当0 xx时，min0()()fxfx，第 9 页 共 26 页因为0()(1)0f xf，当x趋于时，()f x 趋于，所以在0(,)xx内，()f x 一定存在一个零点.所以1(,)2a，故答案选D.【点睛】本题主要考查了导数在函数零点存在性问题中的应用，属于难题.对于零点存在性问题，有两种思考方向：（1）直接利用导数研究函数单调性，结合零点存在性定理，讨论函数零点的情况；（2）先将函数零点问题等价转化为两个函数图像的交点问题，再利用导数，并结合函数图像讨论两函数交点情况，从而确定函数零点的情况.二、填空题13设函数23(0)()(2)(0)xxxf xf xx，则 3f_【答案】4【解析】根据已知中函数23(0)()(2)(0)xxxf xf xx，将自变量的值代入，分析变量的变化规律，可得答案【详解】2(3)(1)(1)13 14fff【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题14设ABC的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c且6c，1cos4C，sin2sinAB，则b_.【答案】1【解析】由题意利用正弦定理得到2ab，进而根据余弦定理即可得b.【详解】sin2sinAB，由正弦定理可得2ab.又 16,cos4cC，由余弦定理2222cosCcabab，可得第 10 页 共 26 页2222211624242ababbbb，解得1b或1b，因0b，故1b.故答案为：1.【点睛】本题主要考查的是正弦定理和余弦定理的应用，熟练掌握正弦定理和余弦定理是关键，是基础题.15已知等边ABC的边长为2，若点 D 满足2ADDCuuu ruuu r，则BD ACuu u r u uu r_.【答案】23【解析】可画出图像，选定,BA BCuu r uu u r作为基底向量，将,BD ACu uu r u uu r转化成基底向量，结合向量的点乘运算求解即可【详解】如图，,BDBAAD ACBCBAu uu ruu u ru uu r uu u ruuu ruu u r，则2233BAADBCBABAACBCBABD ABABCBABCCBAruuu r uu uu u uu uu ruu u ruu u ruu u ru uu ruuu ruu u ruu u ru uu ruu u ru uu rruu u r2211211122422433333233BABA BCBCuu u ruu u r uuu ru uu r所以23BD ACu uu r uuu r故答案为：23【点睛】本题考查应用平面向量的基本定理解决三角形向量数量积问题，属于中档题16 如图（1），在等腰直角ABC中，斜边4AB，D 为AB的中点，将ACD沿CD折叠得到如图（2）所示的三棱锥CA BD，若三棱锥CA BD的外接球的半径为5，则A DB_.第 11 页 共 26 页图（1）图（2）【答案】23【解析】根据题意，先找到球心的位置，再根据球的半径是5，以及已有的边的长度和角度关系，分析即可解决【详解】解：球是三棱锥C ABD 的外接球，所以球心O 到各顶点的距离相等，如图根据题意，CD平面 ABD，取 CD 的中点 E，AB 的中点 G，连接 CG，DG，因为 ADBD，CD平面 ABD，所以 A和 B 关于平面CDG 对称，在平面 CDG 内，作线段CD 的垂直平分线，则球心O 在线段 CD 的垂直平分线上，设为图中的O 点位置，过O作直线CD的平行线，交平面ABD于点F，则 OF平面 ABD，且 OFDE1，因为 AF 在平面 ABD 内，所以OFAF，即三角形AOF 为直角三角形，且斜边OA R5，AF2251ROF2，所以，BF2，所以四边形ADBF 为菱形，又知 ODR，三角形ODE 为直角三角形，OE225 1RDE2，三角形 ADF 为等边三角形，ADF3，故 ADB23，故填：23第 12 页 共 26 页【点睛】本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决本题的关键属于中档题三、解答题17已知数列na满足12a，122(*)nnnaanN.（1）判断数列2nna是否为等差数列，并说明理由；（2）记nS为数列na的前 n 项和，求nS.【答案】（1）是等差数列；详见解析（2）1222nnSnn【解析】（1）设2nnnba，写出1nb，由作差法即可求证；（2）由（1）的结论求得22(1)nnan，采用等差等比分项求和即可【详解】（1）设2nnnba，则1112nnnba，则1111222nnnnnnnnnbbaaaa，*2222nnnnaanN，所以，数列2nna是首项为0，公差2d的等差数列.（2）由（1）可知202(1)nnan，22(1)nnan1221202(1)22122nnnnnSnn【点睛】本题主要考查数列的递推公式，等差数列的证明方法，分组求和法以及等差、等比数列的前 n 项和公式等知识，重点考查等价转换思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养.属于常考题第 13 页 共 26 页18某网店经销某商品，为了解该商品的月销量y（单位：千件）与售价x（单位：元/件）之间的关系，收集5 组数据进行了初步处理，得到如下数表：x56789y864.53.53（1）统计学中用相关系数r 来衡量两个变量之间线性相关关系的强弱，若0.75,1r，则认为相关性很强；若0.3,0.75r，则认为相关性一般；若0,0.25r，则认为相关性较弱.请根据上表数据计算y 与 x 之间相关系数r，并说明 y 与 x 之间的线性相关关系的强弱（精确到0.01）；（2）求 y关于 x 的线性回归方程；（3）根据（2）中的线性回归方程，应将售价x 定为多少，可获取最大的月销售金额？（月销售金额月销售量 当月售价）附注：参考数据：16512.85，参考公式：相关系数12211niiinniiiixxyyrxxyy，线性回归方程?ybxa，121?niiiniixxyybxx，?aybx.【答案】（1）0.97r；y 与 x 的线性相关关系很强（2）?1.25 13.75yx（3）5.5x【解析】（1）先求样本中心,x y，代入相关系数r的公式计算即可；（2）先求b$，最后将,x y，b$全部代入?aybx求$a，即可求解；（3）由题意知，月销售量2?1000125013750zy xxx，结合二次函数性质即可求解最值；【详解】（1）由表中数据和附注中的参考数据得，7,5xy，第 14 页 共 26 页55221110,16.5iiiixxyy，5112.512.5,0.9710 16.5iiixxyyr，因为|0.97|0.75,1r，说明 y 与 x 的线性相关关系很强.（2）由（1）可知12112.5?1.2510niiiniixxyybxx?5(1.25)713.75aybx，?1.25 13.75yx，（3）由题意可知，月销售额的预报值2?1000125013750zy xxx（元）或者2?1.2513.75zy xxx（千元）则当5.52bxa时，?z取到最大值，即该店主将售价定为5.5元/件时，可使网店的月销售额最大.【点睛】本题考查概率统计在实际问题中的应用，以研究相关系数，线性回归，二次函数等知识为载体，考查了学生的数学运算、数学建模等数学核心素养.属于中档题19 在边长为4 的正方形ABCD中，点 E、F 分别为边ABAD、的中点，以CE和CF为折痕把DFC和BEC折起，使点B、D 重合于点P 位置，连结PA，得到如图所示的四棱锥PAECF.（1）在线段PC上是否存在一点G，使PA与平面EFG平行，若存在，求PGGC的值；若不存在，请说明理由（2）求点 A 到平面PEC的距离.第 15 页 共 26 页【答案】（1）存在；13PGGC（2）43【解析】（1）连结,EF EG FG AC，记AC与EF的交点为O，连结OG.可通过计算判断13AOOC，结合相似三角形知识可知，13PGGC，由此可证；（2）证法不唯一，可直接采用等体积法，可先求证平面PAC平面 AEC，求出 P 到直线AC的距离 h，设点 A 到平面PCE的距离为h，则1133PAECA PCEAECPCEVVShSh，通过计算可求解；另外两种证法相类似，详解见解析；【详解】（1）线段PC上的点 G 满足13PGGC时，PA与平面EFG平行.证明如下：连结,EF EG FG AC，记AC与EF的交点为O，连结OG.在正方形ABCD中，E、F 分别为边ABAD、的中点，13AOOC，故13AOPGOCGC，/PA OGPA平面EFG，OG平面EFG，/PA平面EFG.（2）解法一：在正方形ABCD中，,ABBC ADCD，翻折后,PCPE PCPF，又 PEPFPI，PC平面PEF第 16 页 共 26 页记AC与EF的交点为O，连结PO，可知OPC为直角三角形，2,4,3 2OPPCOC，设 P 到直线AC的距离为 h，4 23 2 h，43h,PCEF ACEF ACPCCI，EF平面PACEF平面AECF，平面PAC平面 AEC平面PAC I平面AECACOPC斜边OC上的高 h 即为三棱锥PAEC的高1114162433239PAECAECVSh，142PCESPC PE，设点 A 到平面PCE的距离为h，1433APCEPCEVShh，41639h，解得43h.解法二：在正方形ABCD中，,ABBC ADCD，翻折后,PCPE PCPF，又 PEPFPI，PC平面PEF，记AC与EF的交点为O，连结PO，可知OPC为直角三角形，2,4,3 2OPPCOC，易得 P 到直线AC的距离为43，1484 22233PACS，,PCEF ACEF ACPCCI，EF平面PAC，第 17 页 共 26 页11816|223339PAECEPACPACVVSOE，又142PCESPC PE，设点 A 到平面PCE的距离为h，1433APCEPCEVShh，41639h，解得43h解法三：在正方形ABCD中，,ABBC ADCD，翻折后,PCEE PCPF，又 PEPFPI，PC平面PEF.记AC与EF的交点为O，连结PO，可知OPC为直角三角形，2,4,3 2OPPCOC，易得1422 22POCS.,PCEF ACEF ACPCCI，EF平面PAC，142 2233EPOCV，44 41633 39EPACEPOCVV，又142PCESPC PE，设点 A 到平面PCE的距离为h，1433APCEPCEVShh，41639h，解得43h【点睛】第 18 页 共 26 页本题以翻折问题为载体考查空间中点，线，面的位置关系，线面平行的性质定理的应用，点到平面的距离等知识，意在考查考生的空间想象能力，逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题20设点 P 是直线2y上一点，过点P 分别作抛物线2:4Cxy的两条切线PAPB、，其中 A、B 为切点.（1）若点 A 的坐标为11,4，求点 P 的横坐标；（2）当ABP的面积为272时，求AB.【答案】（1）72（2）3 5【解析】（1）由导数的几何意义，可先求直线切线PA的斜率12PAk，由点斜式写出直线PA方程，再由点P纵坐标为-2 代入直线方程即可求解；（2）设11220,2A xyB xyP x，分别表示出直线PA的方程为111:2PAlyx xy，同理得221:2PBlyx xy，由两直线均过0,2P x得0110222222xxyxxy，可推出直线方程为0:22ABxlyx，联立抛物线方程02224xyxxy解出关于x的一元二次方程，结合弦长公式和点到直线距离公式表示出三角形面积公式为32201127|8222ABPSABdx，即可求解0 x，进而求解弦长AB；还可设1122,A x yB xy，将,A B两点纵坐标结合抛物线代换，表示出直线PA的方程为21124xxyx，同理直线PB的方程为22224xxyx，联立解得1212,24xxx xP，故128x x，设直线AB的方程为ykxm，联立24xyykxm，推出参数m，后续求解步骤同前一种解法【详解】（1）由214yx，所以12yx，第 19 页 共 26 页因为11,4A，由导数的几何意义知，切线PA的斜率11122PAk，所以切线PA的方程为11:(1)42PAlyx，即1124yx，又因为点P 为直线2y与直线1124yx的公共点，联立2y与1124yx，可得 P 点横坐标为72.（2）法一：不妨设11220,2A x yB xyP x，由（1）可知112PAkx，即直线PA的方程为11112yyxxx，即111:2PAlyx xy，同理可得221:2PBlyx xy因为切线,PA PB均过点0,2P x，所以0110222222xxyxxy，所以2112,xyyx为方程022xxy的两组解，所以直线AB的方程为022xxy，即0:22ABxlyx联立02224xyxxy，可得20280 xx x，显然，由韦达定理得，120122,8xxxx x，所以22220000|124(8)143224xxABxx，又因为点P 到直线AB的距离20204212xdx，所以2322020011127|4432822222ABPxSAB dxx，解得201x，所以2200|14323 54xABx.第 20 页 共 26 页法二：不妨设1122,A x yB xy，由（1）可知直线PA的方程为21124xxyx，同理，直线PB的方程为22224xxyx，联立解得1212,24xxx xP，又点 P 在直线2y，所以12122,84x xx x，设直线AB的方程为ykxm，联立24xyykxm，可得2440 xkxm，由韦达定理得12124,48xxk x xm，可得2,2,2mPk，所以2222|1(4)4(8)4 12ABkkkk，又因为点P 到直线AB的距离为22241kdk，所以232222224127|2 1242221ABPkSABdkkkk，解得214k，所以11|4 123 544AB.【点睛】本题以直线与抛物线为载体，及其几何关系为背景，利用方程思想解决几何问题，主要考查抛物线的切点弦，直线与抛物线的位置关系等知识，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力.属于中档题21已知函数21xfxaex.（其中常数2.71828.e，是自然对数的底数.）（1）讨论函数fx的单调性；（2）证明：对任意的1a，当0 x时，fxxae x.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析【解析】（1）求导得e2xfxa，再分参数当0a和0a两种情况具体讨论，结合导数正负与原函数关系判断即可；第 21 页 共 26 页（2）解法不唯一，由0 x原不等式可等价转化为120 xexexaaxa，采用构造函数法，设12xexg xexaaxa，则2(1)1xxaexgxax，当1a时，11xxaexex，可设1xh xex，求导判断可知00h xh，进而得出当01x时，0gx；当1x时，0gx；当1x时，0gx，10g xg，从而得证；还可采用合并参数形式得2(1)xa eexx，令xg xeex，讨论eexgx可判断10g xg，当1x时，2(1)xa eexx显然成立；当0 x且1x时，0 xeex，要证对任意的1a，2(1)xa eexx成立，只需证2(1)xeexx，可化为120 xexexx，令12xeh xxexx，通过讨论hx确定函数极值点进而得证；其余证法详见解析【详解】（1）e2xfxa.当0a时，0fx，函数fx在 R 上单调递增；当0a时，由0fx解得2lnxa，由0fx解得2lnxa.故fx在2,lna上单调递增，在2ln,a上单调递减.综上所述，当0a时，fx在 R 上单调递增；当0a时，fx在2,lna上单调递增，在2ln,a上单调递减.（2）证法一：原不等式等价于120 xexexaaxa令12xexg xexaaxa，则2(1)1xxaexgxax.当1a时，11xxaexex，第 22 页 共 26 页令1xh xex，则当0 x时，10 xhxe，当0 x时，h x单调递增，即00h xh，当01x时，0gx；当1x时，0gx；当1x时，0gx，10g xg即120 xexexaaxa，故()fxxae x.证法二：原不等式等价于2(1)xa eexx.令xg xeex，则eexgx.当1x时，0gx；当1x时，0gx.10g xg，即0 xeex，当且仅当1x时等号成立.当1x时，2(1)xa eexx显然成立；当0 x且1x时，0 xeex.欲证对任意的1a，2(1)xa eexx成立，只需证2(1)xeexx思路 1：0 x，不等式2(1)xeexx可化为120 xexexx，令12xeh xxexx，则2(1)1xxexhxx，易证当0 x时，10 xex，当1x时，0hx，当1x时，0h x，函数h x在0,1上单调递减，在1,上单调递增，min10h xh0h x，即120 xexexx，从而，对任意的1a，当0 x时，fxxae x.思路 2：令2(1)()xxexxe，则(1)(3)()xxxexe.第 23 页 共 26 页()031xex，()01xx或03xex在0,3e上单调递减，在3,1e上单调递增，在1,上单调递减.(0)(1)1，2(1)()1xxexxe，即2(1)xxeex.从而，对任意的1a，当0 x时，fxxae x.证法三：原不等式等价于2210 xaexxaex.令2()(2)1xg xaexaex，则2(2)xgxaexae.令()2(2)xh xaexae，则()e2xh xa，其中0 x.当2a时，()0h x，h x在0,上单调递增.注意到10h，故当0,1x时，0gxh x；当1,x时，0gxh xg x在0,1上单调递减，在1,上单调递增.min10g xg，即fxxae x.当12a时，20ln1a.当20lnxa时，()0h x，h x单调递减；当2lnxa时，()0h x，h x单调递增.（i）：若221ae，则(0)(1)20hae.2ln(1)0hha 当0,1x时，0gxh x；当1,x时，0gxh x.与 同，不等式成立.（ii）：若211ae，则(0)(1)20hac，2ln(1)0hha第 24 页 共 26 页020,lnxa，使得00h x，且当00,xx时，()0gxh x；当0,1xx时，0gxh x；当1,x时，0gxh x.g x在00,x上单调递增，在0,1x上单调递减，在1,上单调递增.(0)10,(1)0gag 此时，0g x，即fxxae x.综上所述，结论得证【点睛】本题旨在考查导数在研究函数时的应用，以研究单调性，证明不等式等为载体，综合考查学生的分类讨论、化归转化、数形结合等数学思想，考查了学生的数学运算、逻辑推理等数学核心素养.属于难题22在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为2cossinxy（为参数）.以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴中，两个坐标系取相等的长度单位，圆2C的方程为2224xy，射线l的极坐标方程为00.（1）求曲线1C和2C的极坐标方程；（2）当002时，若射线l与曲线1C和圆2C分别交于异于点O的M、N两点，且2ONOM，求2MC N的面积.【答案】（1）1C：2222cossin14，2C：4cos；（2）2 23【解析】（1）先将曲线1C的参数方程化为普通方程，再表示成极坐标方程即得，由cosx，siny代入圆2C的普通方程，整理即得极坐标方程；（2）利用极径的几何意义和三角形的面积公式可得。【详解】（1）曲线1C的普通方程为：2214xy，又cosx，siny代入：2222cossin14，第 25 页 共 26 页 曲线1C的极坐标方程：222cos4sin，曲线2C的极坐标方程：4cos.（2）已知2ONOM，224NM，2022416cos4cos4sin，2022001coscos4 1cos，42003cos4cos10，且002，解得：201cos3，03cos3，06sin3.点2C到l的距离22062 6sin233chOC.2MC N的面积为：2221122NC MCNMCSNMhh202200124cos2cos4sinCh1322 642331643912 32 62 22333.【点睛】本题考查参数方程，普通方程和极坐标方程间的互化，通过极径的几何意义最终求三角形面积，是常考题型。23已知函数1(1)fxxmxmm（1）当2m时，求不等式()3f x的解集；（2）证明：1()3(1)f xm m【答案】（1）39(,)(,)44U；（2）见解析.【解析】（1）分 3 段去绝对值解不等式组，再取并集；（）由题1()|f xxmxm，1mQ，11|mmmm，所以1()f xmm，第 26 页 共 26 页当且仅当1,xmm时等号成立，再利用基本不等式可证【详解】解：（1）当2m时，1()|2|2f xxx；当12x,时，原不等式等价于1(2)()32xx，解得34x；当122x时，原不等式等价于532，不等式无解；当2x时，原不等式等价于1(2)()32xx，解得94x，综上，不等式()3f x的解集为39(,)(,)44U；（2）证明：因为1m，所以11fxmmmm，当且仅当1,xmm时取“”所以11111113(1)(1)11fxmmmm mmm mmm当且仅当2m且1,22x时取“”，故得证.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，属于中档题
