【精编版】高考数学一轮复习数学思想活用巧得分系列九方程思想在求解离心率中的应用新人教版.pdf

1【三维设计】2013 届高考数学一轮复习数学思想活用巧得分系列九 方程思想在求解离心率中的应用新人教版 典例 已知点F是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A(1，)B(1,2)C(1,1 2)D(2,1 2)解析 由ABx轴，可知ABE为等腰三角形，又ABE是锐角三角形，所以AEB为锐角，即AEF45，于是|AF|EF|，b2aac，于是c2a2a2ac，即e2e20，解得 1e1，从而 1e2.答案 B 题后悟道 离心率是圆锥曲线的重要几何性质，求解椭圆或者双曲线的离心率的关键是建立一个关于a，b，c的方程(不等式)，通过这个方程(不等式)和b与a，c的关系消掉b后，建立a，c之间的方程(不等式)，只要能通过这个方程求出ca即可，不一定具体求出a，c的数值针对训练1(2012郑州模拟)已知点F，A分别为双曲线x2a2y2b21(a0，b 0)的左焦点，右顶点，点B(0，b)满足FB,AB,0，则双曲线的离心率为()A.2 B.3 C.132D.152解析：选 D 依题意得F(c,0)，A(a,0)，又B(0，b)，则FB,(c，b)，AB,(2 a，b)由FB,AB,0，得b2ac，所以c2a2ac，c2a2ac1，即e1e1，e2e10，解得e152.又e1，所以e152，即双曲线的离心率等于152.2(2012南昌模拟)已知椭圆x2a2y2b21(abc0，a2b2c2)的左，右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，bc为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值为32(ac)，则椭圆的离心率e的取值范围是 _解析：因为|PT|PF2|2bc2(bc)，而|PF2|的最小值为ac，所以|PT|的最小值为ac2bc2.依题意有，ac2bc232(ac)，所以(ac)24(bc)2，所以ac2(bc)，所以ac2b，所以(ac)24(a2c2)，所以 5c22ac3a20，所以 5e22e30.又b0，所以b2c2，所以a2c2c2，所以 2e21，联立，得35e22.答案：35，22