最新北京市朝阳区实验中学高三数学考前模拟测试卷三.pdf
数学试卷一、选择题1.已知集合|(2)0Ax x x,0Bx lnx,则AB是()A.0 x xB.2x xC.|12xxD.|02xx2.已知i为虚数单位,设复数z满足i3z,则z=()A.3?B.10C.4D.103.在平面直角坐标系中,以下各点位于不等式(21)(3)0 xyxy表示的平面区域内的是()A.0,0B.2,0C.0,1D.0,24.“2sin2”是“cos2=0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.某四棱锥的三视图如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,则该四棱锥的体积为()A.43B.4C.4 23D.4 26.已知圆22(2)9xy的圆心为C.直线l过点(2,0)M且与x轴不重合,l交圆C于,?A B两点,点A在点,M B之间.过M作直线AC的平行线交直线BC于点P,则点P的轨迹是()A.椭圆的一部分B.双曲线的一部分C.抛物线的一部分D.圆的一部分7.已知函数()f xx xa的图象与直线1y的公共点不少于两个,则实数a的取值范围是()A.2aB.2aC.20aD.2a8.如图1,矩形ABCD中,3AD点E在边AB上,CEDE且1AE.如图2,ADE沿直线DE向上折起成1A DE.记二面角1ADEA的平面角为,当(0,180)时,存在某个位置,使1CEDA;存在某个位置,使1DEAC;任意两个位置,直线DE和直线1AC所成的角都不相等.以上三个结论中正确的序号是()A.B.C.D.二、填空题9.已知中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线C的离心率为2,则双曲线C的渐近线方程为_ 10.执行如图所示的程序框图,输出的值为 _ 11.平行四边形ABCD中,E F分别为边,BC CD中点,若AFxAByAEuuu ruuu ruuu r(,)x yR,则xy_ 12.已知数列na满足11(2),nnnaaan1ap,2(,)aq p qR,设1nniiSa,则10a_;2018S_(用含的式子表示)13.伟大的数学家高斯说过:几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题.一位同学受到启发,借助以下两个相同的矩形图形,按以下步骤给出了不等式:22222()()()acbdabcd的一种“图形证明”.证明思路:左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积;左图中阴影区域的面积为acbd,右图中,设BAD,右图阴影区域的面积可表示为_(用含,a b c d的式子表示);由图中阴影面积相等,即可导出不等式22222()()()acbdabcd.当且仅当,a b c d满足条件 _时,等号成立.14.如图,一位同学从1P处观测塔顶B及旗杆顶A,得仰角分别为和90.后退l(单位m)至点2P处再观测塔顶B,仰角变为原来的一半,设塔CB和旗杆BA都垂直于地面,且C,1P,2P三点在同一条水平线上,则塔CB的高为 _m;旗杆BA的高为 _m.(用含有l和的式子表示)三、解答题15.已知函数21()sincossin2f xxxx1.求()f x的单调递增区间;2.在ABC中,a b c为角,A B C的对边,且满足cos2cossinbAbAaB,且02A,求()f B的取值范围.16.为了治理大气污染,某市2017年初采用了一系列措施,比如“煤改电”,“煤改气”,“国,轻型汽油车限行”,“整治散乱污染企业”等.下表是该市2016年和2017年12月份的空气质量指数AQI(AQI指数越小,空气质量越好)统计表.表1:2016年12月AQI指数表:单位3(/)gm日期123?4567?8?91011AQI47123232291781031591323767204日期121314151617181920?2122AQI2707840?51135229270265409429151日期2324252627?28293031AQI4715519164548575249329表2:2017年12月AQI指数表:单位3(/)g m日期123?4567?8?91011AQI911877928444927?41564328日期121314151617181920?2122AQI2849946240?464855447462日期2324252627?28293031AQI50504641101140221?15755根据表中数据回答下列问题:1.求出2017年12月的空气质量指数的极差;2.根据环境空气质量指数AQI技术规定(试行)规定:当空气质量指数为050时,空气质量级别为一级.从2017年12月12日到12月16这五天中,随机抽取三天,空气质量级别为一级的天数为,求的分布列及数学期望;3.你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效?结合数据说明理由.17.如图,在三棱柱111ABCA B C中,90ACBo,D是线段AC的中点,且1A D平面ABC.1.求证:平面1A BC平面11AAC C;2.求证:1B C P平面1A BD;3.若11A BAC,2ACBC,求二面角1AA BC的余弦值.18.已知函数()cosf xxxa,aR1.求曲线(x)yf在点2x处的切线的斜率;2.判断方程()0fx()fx为f()x的导数)在区间0,1内的根的个数,说明理由;3.若函数()sincosF xxxxax在区间0,1内有且只有一个极值点,求a的取值范围.19.已知抛物线2:4Cxy的焦点为F,过抛物线C上的动点P(除顶点O外)作C的切线l交x轴于点T.过点O作直线l的垂线OM(垂足为M)与直线PF交于点N1.求焦点F的坐标;2.求证:FTMNP;3.求线段FN的长.20.已知集合12,.,nPa aa,其中1,2iaRin n.+1)ijaaijn（表示()M P中所有不同值的个数.1.若集合1,3,5,7,9P,求()M P;2.若集合11,4,16,.,4nP,求证:+ijaa的值两两不同,并求()MP;3.求()M P的最小值.(用含n的代数式表示)参考答案1.答案：C 解析：2.答案：B 解析：3.答案：D 解析：4.答案：A 解析：5.答案：B 解析：6.答案：B 解析：7.答案：B 解析：8.答案：C 解析：9.答案：yx解析：10.答案：48解析：11.答案：12解析：12.答案：;p pq解析：13.答案：2222sin;abcdadbc解析：14.答案：sinl;cos2sinl;解析：15.答案：1.()f x单调递增区间为3,()88kkkZ2.()f B的取值范围是22,22解析：1.由题知111()sin 2(1cos2)222f xxx11=sin 2cos222xx2=sin(2)24x.由222()242kxkkZ,解得388kxk,所以f()x单调递增区间为3,()88kkkZ2.依题意,由正弦定理sincos2sincossinsinBABAAB,因为在三角形中sin0B,所以cos2cossinAAA.即(cossin)(cossin1)0AAAA,当cossinAA时,4A;当cossin1AA时,2A.由于02A,所以4A.则3+4B C.则304B.又72444B,所以1sin(2)14B.由2()sin(2)24f BB,则()f B的取值范围是22,22.16.答案：1.2017年12月空气质量指数的极差为1942.可取1,2,3,1232353(1)10C CPC;2132356(2)10C CPC;3032351(3)10C CPC的分布列为:所以所以所以123P310610110所以3611231.8101010E3.这些措施是有效的.可以利用空气质量指数的平均数,或者这两年12月空气质量指数为优的概率等来进行说明.解析：17.答案：1.证明:因为90ACBo,所以BCAC.根据题意,1A D平面ABC,BC平面ABC,所以1A DBC.因为1A DACD,所以BC平面11AAC C.又因为BC平面1A BC,所以平面1A BC平面11AAC C.2.证明:连接1AB,设11ABA BE,连接DE.根据棱柱的性质可知,E为1AB的中点,因为D是AC的中点,所以1/DEB C.又因为DE平面1A BD,1B C平面1A BD,所以1/B C平面1A BD.3.二面角1AA BC的余弦值为77解析：如图,取AB的中点F,则/DFBC,因为BCAC,所以DFAC,又因为1A D平面ABC,所以1,DF DC DA两两垂直.以D为原点,分别以1,DF DC DA为x,y,z轴建立空间坐标系(如图).由1可知,BC平面11AAC C,所以1BCAC.又因为111,A BACBCA BB,所以1AC平面1A BC,所以11ACAC,所以四边形11AAC C为菱形.由已知2ACBC,则10,1,0,0,1,0,2,1,0,0,0,3ACBA,设平面1A AB的一个法向量为(,)nx y z,因为10,1,3AAuu ur,2,2,0ABuuu r,所以10,0,n AAn ABuuu ru uu r,即30,220.yzxy设1z,则3,3,1n.再设平面1A BC的一个法向量为111,mx y z,因为10,1,3,2,0,0CACBuu u ruuu r,所以10,0,m CAm CBuuu ruu u r,即11130,20.?yzx设11z,则0,3,1m.故317cos,772m nm nmn.由图知,二面角1AA BC的平面角为锐角,所以二面角1AA BC的余弦值为77.18.答案：1.()2fx2.方程()0fx在区间0,1内有且只有一个实数根3.cos10a解析：1.()cossin,()22fxxxx kf2.设()()g xfx,()sin(sincos)2sincosgxxxxxxxx.当0,1x时,()0gx,则函数()g x为减函数.又因为(0)10g,(1)cos1sin10g,所以有且只有一个0(0,1)x,使0()0g x成立.所以函数()g x在区间0,1内有且只有一个零点.即方程()0fx在区间0,1内有且只有一个实数根.3.若函数()sincosF xxxxax在区间(0,1)内有且只有一个极值点,由于()()Fxf x,即()cosf xxxa在区间(0,1)内有且只有一个零点1x,且()f x在1x两侧异号.因为当(0,1)x时,函数()g x为减函数,所以在0(0,)x上,0()()0g xg x,即()0fx成立,函数()f x为增函数;在0(,1)x上,0()()0g xg x,即()0fx成立,函数()f x为减函数,则函数()f x在0 xx处取得极大值0()f x.当0()0f x时,虽然函数()f x在区间(0,1)内有且只有一个零点0 x,但()f x在0 x两侧同号,不满足()F x在区间(0,1)内有且只有一个极值点的要求.由于(1)cos1fa,(0)fa显然(1)(0)ff.若函数()f x在区间(0,1)内有且只有一个零点1x,且()f x在1x两侧异号,则只需满足:(0)0,(1)0,ff即0,cos10,aa解得cos10a.19.答案：1.(0,1)F2.设00(,)P xy.由24xy,得214yx,则过点P的切线l的斜率为001|2x xkyx.则过点P的切线l方程为2001124yx xx.令0y,得012Txx,即01(,0)2Tx.又点P为抛物线上除顶点O外的动点,00 x,则02TFkx.而由已知得MNl,则02MNkx.又00 x,即FT与MN不重合,即FTMNP.3.1FN解析：由2问,直线MN的方程为002,0yx xx,直线PF的方程为0011yyxx,00 x.设MN和PF交点N的坐标为(,)NNN xy则0002.(1)11.(2)NNNNyxxyyxx由(1)式得02NNxxy,(由于不与原点重合,故0Ny).代入(2),化简得020NNNyyyy.又2004xy,化简得22(1)1(0)NNNxyx,即点N在以F为圆心,1 为半径的圆上.(原点与0,2除外)即1FN.20.答案：1.()=7M P2.(1)()2n nM P3.()M P的最小值为23n解析：2.形如和式+1)ijaaijn（共有2(1)2nn nC项,所以(1)()2n nM P.对于集合11,4,16,.,4n中的和式+ijaa,+1,1)pqaaijnpqn（:当jq时,ip时,+ijpqaaaa;当jq时,不妨设jq,则121+24jijjjqpqaaaaaaa.所以+1)ijaaijn（的值两两不同.且(1)()2n nM P.3.不妨设123.naaaa,可得1213121+.+.+nnnnaaaaaaaaaa.+1)ijaaijn（中至少有23n个不同的数.即()23M Pn.设12,.,na aa11,()+=,()ijnnijijaaijnaaaaijn成等差数列,则对于每个和式+1)ijaaijn（,其值等于1(2)paapn或+(11)qnaaqn中的一个.去掉重复的一个1naa,所以对于这样的集合P,()23M Pn.则()MP的最小值为23n.
