最新江苏省扬州市实验中学高三数学高考模拟测试卷一.pdf
数学试卷一、填空题1.函数1()2sin()34f xx的最小正周期为_2.为了解某高中学生的身高情况,现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本,其中高一年级抽取24人,高二年级抽取26人.若高三年级共有学生600 人,则该校学生总人数为_.3.若复数2z(2)+(1)immm(i为虚数单位)为纯虚数，其中Rm，则m_ 4.执行如图程序，若输出的结果是4，则输入的x的值是 _ 5.函数21()log(3)f xx的定义域为 _6.将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具)先后抛掷2 次，则向上的点数之差的绝对值是2 的概率为 _7.离心率为2 且与椭圆221259xy有共同焦点的双曲线方程是_8.设抛物线28yx的焦点与双曲线2221(0)yxbb的右焦点重合，则b_ 9.已知tan()24，则sin(2)4的值等于 _ 10.如图，在正三棱柱111ABCA B C中，12,3ABAA，则四棱锥111AB C CB的体积是_ 11.如图，在ABC中，D为AC的中点，,2BCBD BC，则BA BCu uu r u uu r_ 12.在平面直角坐标系xOy中，已知点(0,2),A点(1,1)B，P为圆222xy上一动点，则PBPA的最大值是 _ 13.已知实数,a b满足1ab，则33(+1)(+1)ab的最大值是 _ 14.方程2210 xx的解可视为函数2yx的图象与函数1yx的图象交点的横坐标若方程240 xax的各个实根12,(4)kxxxkL所对应的点4(,)(1,2,)iixikxL均在直线yx的同侧，则实数a的取值范围是 _ 二、解答题15.在ABC中,角,A B C所对的边分别为,a b c,且满足2 5cos25A,3AB ACuuu r uuu r.1.求ABC的面积;2.若6bc,求a的值.16.如图，直三棱柱111ABCA B C中，,D E分别是1,AB BB的中点，ABBC1.证明：1/BC平面1ACD；2.平面1A EC平面11ACC A17.科学研究证实,二氧化碳等温室气体的排放(简称碳排放)对全球气候和生态环境产生了负面影响,环境部门对A市每年的碳排放总量规定不能超过550 万吨,否则将采取紧急限排措施.已知 A市2017 年的碳排放总量为400 万吨,通过技术改造和倡导低碳生活等措施,此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少10%.同时,因经济发展和人口增加等因素,每年又新增加碳排放量m万吨(0)m1.求 A市 2019 年的碳排放总量(用含 m的式子表示);2.若 A市永远不需要采取紧急限排措施,求实数 m的取值范围18.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的焦距为2，左右焦点分别为12,F F，以原点O 为圆心，以椭圆 C 的半短轴长为半径的圆与直线3450 xy相切(1).求椭圆 C 的方程；(2).设不过原点的直线:lykxm与椭圆 C 交于,A B两点若直线2AF 与2BF 的斜率分别为12,kk，且120kk，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标；若直线 l 的斜率是直线,OA OB斜率的等比中项，求OAB面积的取值范围19.已知2()2,Rxf xeaxx a1.求函数()f x图象恒过的定点坐标；2.若()1fxax恒成立，求 a 的值；3.在 2 成立的条件下，证明：()f x存在唯一的极小值点0 x，且012()4f x20.给定无穷数列na，若无穷数列nb满足：对任意Nn，都有|1nnba，则称nb与na“接近”1.设na是首项为 1，公比为12的等比数列，11,Nnnban，判断数列nb是否与na接近，并说明理由；2.设数列na的前四项为:12341,2,4,8aaaa，nb是一个与na接近的数列，记集合|,1,2,3,4iMx xb i，求 M中元素的个数 m；3.已知na是公差为 d 的等差数列，若存在数列nb满足：nb与na接近，且在2132201200,bb bbbbL中至少有 100个为正数，求 d的取值范围21.已知矩阵2312A1.求 A的逆矩阵1A；2.若点 P在矩阵 A对应的变换作用下得到点(3,1)P，求点 P 的坐标22.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合 若曲线1C的方程为28sin15，曲线2C的方程为22 cos2 sinxy(为参数)1.将1C的方程化为直角坐标方程；2.若2C上的点 Q对应的参数为34，P为1C上的动点，求PQ的最小值23.如图,在四棱锥PABCD中,已知PA平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,2ABCBAD,2,1PAADABBC.1.求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值;2.点Q是线段BP上的动点,当直线CQ与DP所成的角最小时,求线段BQ的长.24.在集合1,2,3,4,2 AnL中，任取(,N)m mn m n元素构成集合mA,若mA的所有元素之和为偶数，则称mA为 A的偶子集，其个数记为()f m；若mA的所有元素之和为奇数，则称mA为 A的奇子集，其个数记为()g m,令()()()F mf mg m1.当2n时，求(1),(2)FF的值；2.求()F m参考答案1.答案：6 解析：1()2sin()34f x，2263T，故答案为62.答案：1200 解析：设该校共有学生n人，则6001001002426n，解得1200n3.答案：2 解析：复数2z(2)+(1)immm为纯虚数，22010mmm，解得2m故答案为：24.答案：2 解析：根据条件语句可知是计算200 xxyxx，当0 x时，若输出的结果是4，可得4x，矛盾；当0 x时，若输出的结果是4，24x，解得：2x故答案为：25.答案：(,2)(2,3)解析：由题意得：3031xx，解得：3x且2x，故函数的定义域是(,2)(2,3)，故答案为：(,2)(2,3)6.答案：29解析：将一颗质地均匀的骰子一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具先后抛掷 2 次，基本事件总数6636n，向上的点数之差的绝对值是2 包含的基本事件有8 个，分别为：(1,3),(3,1),(2,4),(4,2),(3,5),(5,3),(4,6),(6,4)，则向上的点数之差的绝对值是2的概率为：82369P故答案为：297.答案：221412xy解析：根据题意，椭圆221259xy的焦点为(4,0)，又由双曲线与椭圆有共同焦点，则双曲线的焦点在x轴上，且4c，设其方程为22221xyab，又由双曲线的离心率2e，即2cea，则2a，22216412bca，则双曲线的方程为：221412xy；故答案为：221412xy8.答案：3解析：抛物线28yx的焦点(2,0)与双曲线2221(0)yxbb的右焦点重合，可得2c，212b，解得3b故答案为：39.答案：210解析：由tan()24，得tantan421tantan4，即tan121tan，解得tan3222sin(2)sin 2 coscos2sin(2sincossincos)4442a22222222sincossincos22 tantan12sincos2tan12691229110故答案为：21010.答案：2 3解析：1111322432 334BA B CVV,故答案为2 311.答案：-4 解析：由题意得，220,|4BD BCBCBCu uu r uu u ruu u ruuu r22()2BABCCABCCDBCBDBCBDBCu u u ruuu ruu u ruuu ru uu ruuu ruu u ruu u ruu u ruu u r，2(2)2044BA BCBDBCBCBD BCBCuu u r uuu ruuu ruuu ru uu ru uu r uuu ruu u r故答案为-412.答案：2 解析：设(,),PBP x ytPA，则222222(1)(1)2(24)240txtyxtyt，圆222xy两边乘以2(1)t，两圆方程相减可得22(12)230 xtyt，(0,0)到直线的距离222|23|21(12)tdt，0,02tt，PBPA的最大值是2，故答案为213.答案：4 解析：实数,a b满足1ab，则33333(1)(1)()1()ababab322()1()()abab aabb3223()1()23abaabbabab，由1ab，可得21()24abab，令1,4tab t，则3132,4yttt，导数233yt，可得函数y在(,1)递增，在1(1,)4递减，可得1t处函数y取得最大值4，故答案为：414.答案：(,6)(6,)解析：由题意，将240 xax的各个实根视为函数3yxa的图象与函数4yx的图象交点的横坐标，直线yx与4yx的交点为(2,2)和(2,2)，若实根对应的点在yx的上方，则需2x时，32xa，从而6a，若实根对应的点在yx的下方，则需2x时，32xa，从而6a综上所述a的取值范围是(,6)(6,)故答案为(,6)(6,)15.答案：1.2;2.2 5解析：1.因为2 5cos25A,所以234cos2cos1,sin255AAA.又由3AB ACuuu r uuu r,得cos3bcA,所以5bc.因此1sin22ABCSbcA.2.由 1 知,5bc.又6bc,所以5,1bc或1,5bc.由余弦定理,得2222cos20abcbcA,所以2 5a.16.答案：1.连结1AC，交1AC点O，连DO，则O是1AC的中点，因为D是AB的中点，故1/ODBC因为OD平面1ACD，1BC平面1ACD所以1/BC平面1ACD2.取AC的中点F，连结,EO OF FB因为O是1AC的中点，故1/OFAA且112OFAA显然1/BEAA且112BEAA所以/OFBE且OFBE则四边形BEOF是平行四边形所以/EOBF因为ABBC所以BFAC又1BFCC所以直线BF平面11ACC A因为/EOBF所以直线EO平面11ACC A所以平面1A EC平面11ACC A解析：17.答案：1.解:设 2018 年的碳排放总量为1,2019a年的碳排放总量为2a;由已知,14000.9am(万吨),220.9(4000.9)4000.90.93241.9ammmmm(万吨)2.23230.9(4000.90.9)4000.90.90.9ammmmmm，124000.90.90.90.9nnnnammmm10.94000.910.9nnm4000.910(10.9)nnm(40010)0.910nmm由已知有*,550nNan当400100,m即40m时,显然满足题意;当400 100m,即40m时,由指数函数的性质可得400 100.910550,mm解得190m所以40m当400100,m即40m时,由指数函数的性质可得10550m,解得55m,所以4055m综上可得m的取值范围是0,55解析：18.答案：(1).由题意可得1c，即221ab，由直线 3450 xy与圆222xyb 相切，可得|005|1916b，解得2a，即有椭圆的方程为2212xy；(2).证明：设1122(,),(,)A xyB xy，将直线(0)ykxm m代入椭圆2222xy，可得222(12)4220kxkmxm，即有2222168(12)(1)0k mkm，2121222422,1212kmmxxx xkk，由121212121201111yykxmkxmkkxxxx，即有121222()()0kx xmmkxx，代入韦达定理，可得22222422()()01212mkmkmmkkk，化简可得2mk，则直线的方程为2ykxk，(2)yk x，故直线 l 恒过定点(2,0)；由直线 l 的斜率是直线,OA OB斜率的等比中项，即有21212y ykx x，即为21212()()k x xkxmkxm221212()k x xkm xxm，可得224()012kmmkmk，解得212k，代入2222168(12)(1)0k mkm，可得22m，且0m由 O 到直线的距离为2|1mdk，弦长AB为2222212122121()42 2 112kmkxxx xkk，则OAB面积为2222(2)1222|222222mmmmSdAB，当且仅当222mm，即1m时，取得最大值则OAB面积的取值范围为2(0,2解析：19.答案：1.要使参数 a 对函数值不发生影响，必须保证0 x，此时02(0)0201fea，所以函数的图象恒过点(0,1)2.依题意得：221xeaxax恒成立，1xeax恒成立构造函数()1xg xeax，则()1xg xeax恒过(0,0)，()xgxea，若0a时，()0g x，()g x在 R上递增，1xeax不能恒成立若0a时，()0g x，lnxa(,ln)xa时，()0g x，函数()1xg xeax单调递减；(ln,)xa时，()0gx，函数()1xg xeax单调递增，()g x在lnxa时为极小值点，(ln)ln1gaaa，要使221xeaxax恒成立，只需ln10aa设()ln1h aaaa，则函数()h a恒过(1,0)，()1ln1lnh aaa，(0,1)a，()0h a，函数()h a单调递增；(1,)a，()0h a，函数()h a单调递减，()h a在1a取得极大值 0，要使函数()0h a成立，只有在1a时成立3.证明()22xfxex，设()22xm xex，()2xm xe，令()0m x,ln 2x()m x在(,ln 2)单调递减，在(ln 2,)单调递增，(ln 2)2ln 20m，()()22xfxm xex在ln 2x处取得极小值，可得()fx一定有 2 个零点，分别为()f x的一个极大值点和一个极小值点，设0 x为函数()f x的极小值点，则0(0,2)x，000()0,220 xfxex，02220000000()22222xf xexxxxxx22(2)22260mee，33/2233()225022mee，在区间3(,2)2上存在一个极值点，最小极值点在3(,2)2内函数()f x的极小值点的横坐标03(,2)2x，函数()f x的极小值2001()2(2,)4f xx，012()4f x解析：20.答案：1.数列nb与na接近理由：na是首项为 1，公比为12的等比数列，可得1111,1122nnnnnaba，则11111|1|11,N222nnnnnban可得数列nb与na接近；2.nb是一个与na接近的数列，可得11nnnaba，数列na的前四项为：12341,2,4,8aaaa，可得12340,2,1,3,3,5,7,9bbbb，可能1b与2b相等，2b与3b相等，但1b与3b不相等，1b与3b不相等，集合|,1,2,3,4iMx xb i，M中元素的个数3m或 4；3.na是公差为 d 的等差数列，若存在数列nb满足：nb与na接近，可得1(1)naand，若0d，取nnba，可得110nnnnbbaad，则2132201200,bb bbbbL中有 200个正数，符合题意；若0d，取11nban，则1111|1nnbaaann，Nn，可得11101nnbbnn，则2132201200,bb bbbbL中有 200个正数，符合题意；若20d，可令2121221,1nnnnbaba，则2212211(1)20nnnnbbaad，则2132201200,bb bbbbL中恰有 100个正数，符合题意；若2d，若存在数列nb满足：nb与na接近，即为11111,11nnnnnnabaaba，可得111(1)20nnnnbbaad，2132201200,bb bbbbL中无正数，不符合题意综上可得，d 的范围是(2,)解析：21.答案：1.矩阵2312A，det()221 310A，所以A可逆，从而：A的逆矩阵12312A2.设(,)P x y，则233121xy，所以13311xAy，因此点 P的坐标为(3,1)解析：22.答案：1.曲线1C的方程为28sin15化为直角坐标方程为：228150 xyy；其圆心坐标(0,4)，半径为：1；2.当34，时，得(2,1)Q它到曲线1C的圆心1(0,4)C的距离为：13，PQ的最小值131解析：23.答案：1.以,AB AD APuu u r u uu r uu u r为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则各点的坐标为1,0,0,1,1,0,BC0,2,0,0,0,2.DP因为AD平面PAB,所以ADuu u r是平面PAB的一个法向量,(0,2,0)ADu uu r.因为(1,1,2),(0,2,2)PCPDuuu ruuu r.设平面PCD的法向量为(,)mx y zr,则0,0m PCm PDu r u uu ru r uuu r,即20,220.xyzyz令1y,解得1,1zx.所以(1,1,1)mr是平面PCD的一个法向量.从而3cos,3CD muuu r u r,所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为33.2.因为(1,0,2)BPu uu r,设(,0,2)(01)BQBPuu u ruu u r,又(0,1,0)CBuuu r,则(,1,2)CQCBBQuuu ruuu ruuu r,又(0,2,2)DPuuu r,从而212cos,102CQ DPCQ DPCQ DPuuu r uuu ru uu r uu u ruu u r uu u r.设12,1,3t t,则2222229cos,15205109109()99tCQ DPtttu uu r uuu r.当且仅当95t,即25时,cos,CQ DPuuu r u uu r的最大值为3 1010.因为cosyx在0,2上是减函数,此时直线CQ与DP所成角取得最小值.又因为22125BP,所以22 555BQBP.解析：24.答案：1.当2n时，集合为1,2,3,4，当1m时，偶子集有2,4，奇子集有1,3,(1)2,(1)2,(1)0fgF；当2m时，偶子集有2,4,1,3，奇子集有1,2,1,4,2,3,3,4,(2)2,(2)4,(2)2fgF2.当 m为奇数时，偶子集的个数0224411()mmmmnnnnnnnnf mC CC CC CCCL，奇子集的个数11330()mmmnnnnnng mC CC CC CL，所以()()()0F mf mg m当 m 为偶数时，偶子集的个数022440()mmmmnnnnnnnnf mC CC CC CC CL，奇子集的个数113311()mmmnnnnnng mC CC CCCL，所以01123110()()()mmmmmnnnnnnnnnnF mf mg mC CC CC CCCC CL，一方面，0122022(1)(1)()(1)nnnnnnnnnnnnnnxxCC xC xC xCC xC xLL，所以(1)(1)nnxx中mx的系数为0112233110mmmmmmnnnnnnnnnnnnC CC CC CC CCCC CL；另一方面，2(1)(1)(1)nnnxxx，2(1)nx中mx的系数为22(1)mmnC，故22()(1)mmnF mC综上,22(1),2,Z()0,21,ZmmnCmk kF mmkk解析：
