最新湖南省湘潭市实验中学高三数学(理)高考模拟测试卷三.pdf
数学试卷一、选择题1.已知集合2|20Px xx，|12Qxx，则R()PQIe（）A.0,1)B.(0,2 C.(1,2)D.1,22.已知21i1i(iz为虚数单位)，则复数 z（）A.1i B.1i C.1i D.1i3.如表是我国某城市在2017 年 1 月份至 10 月份个月最低温与最高温（C）的数据一览表月份1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 最高温5 9 9 11 17 24 27 30 31 21 最低温1231271719232510已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据这一览表，则下列结论错误的是（）A.最低温与最高位为正相关B.每月最高温和最低温的平均值在前8 个月逐月增加C.月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1 月D.1 月至 4 月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至 10月，波动性更大4.等比数列na的前n项和为nS，且14a，22a，3a 成等差数列，若11a，则4s（）A.7 B.8 C.15 D.16 5.已知函数()f x 为奇函数,且当0 x时,210fxxx,则1f()A.-2 B.0 C.1 D.2 6.执行如图所示的程序框图,如果输入的0.01t,则输出的n()A.5B.6C.7D.87.三次函数323()212f xaxxx的图象在点(1,(1)f处的切线与x轴平行，则()f x 在区间(1,3)上的最小值是（）A83 B116 C113 D538.已知2sin13,2sin77ar，1abrr，ar与 abrr的夹角为3，则 a brr（）A.2 B.3 C.4 D.5 9.平面直角坐标系xOy 中，动点P到圆2221xy上的点的最小距离与其到直线1x的距离相等，则P点的轨迹方程是()A28yxB28xyC24yxD24xy10.某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（）A.2 B.4 C.25 D.42 511.已知椭圆2222:1(0)xyCabab，点,M N F分别为椭圆C 的左顶点、上顶点、左焦点，若90MFNNMF，则椭圆 C 的离心率是（）A.512 B.312 C.212 D.3212.已知ABC是由具有公共直角边的两块直角三角板（RtACD与 RtBCD）组成的三角形，如下图所示.其中，45,60CADBCD.现将 RtACD沿斜边 AC 进行翻折成1D AC（1D 不在平面 ABC 上）.若,M N分别为,B C和1BD 的中点，则在ACD翻折过程中，下列命题不正确的是（）A.在线段BD上存在一定点E，使得 EN 的长度是定值B.点 N 在某个球面上运动C.对于任意位置，二面角1DACB 始终大于二面角1DBCAD.存在某个位置，使得直线1AD 与DM所成角为 60二、填空题13.设,x y满足约束条件1400 xyxyxy,则3zxy 的取值范围为14.某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为_15.在数列 na中，11113,N3(3)nnnanaaa，且13nnba记12nnPbbbL，12nnSbbbL，则13nnnPS16.如图，在ABC中，3sin23ABC，点 D 在线段 AC 上，且2ADDC，433BD，则ABC的面积的最大值为_三、解答题17.在ABC中，角,A B C所对的边分别是,a b c，且coscossinABCabc.(1)证明：sinsinsinABC；(2)若22265bcabc，求 tanB.18.如图,四棱锥 PABCD 中,PA底面 ABCD,/ADBC,3ABADAC,4,PABCM为线段AD上一点,2,AMMD N为 PC 的中点.(1)证明/MN平面PAB;(2)求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值.19.某商场进行有奖促销活动，顾客购物每满500元，可选择返回50 元现金或参加一次抽奖，抽奖规则如下：从1 个装有 6 个白球、4 个红球的箱子中任摸一球，摸到红球就可获得100 元现金奖励，假设顾客抽奖的结果相互独立.(1)若顾客选择参加一次抽奖，求他获得100 元现金奖励的概率；(2)某顾客已购物1500元，作为商场经理，是希望顾客直接选择返回150 元现金，还是选择参加3次抽奖？说明理由；(3)若顾客参加10 次抽奖，则最有可能获得多少现金奖励？20.已知中心在原点O，左、右焦点分别为12,F F 的椭圆的离心率为63，焦距为 2 2，,A B是椭圆上两点.(1)若直线AB与以原点为圆心的圆相切，且OAOB，求此圆的方程；(2)动点 P 满足：3OPOAOBuuu ruu u ru uu r，直线 OA 与 OB 的斜率的乘积为13，求动点 P 的轨迹方程.21.设函数3()f xxaxb，Rx，其中,Ra b.(1)求()f x 的单调区间；(2)若()f x 存在极值点0 x，且10()()f xf x，其中10 xx，求证：1020 xx；(3)设0a，函数()|()|g xf x，求证：()g x 在区间 1,1 上的最大值不小于14.22.以直角坐标系xOy 中，以 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为(xttyat为参数)，曲线1C 的方程为(4sin)12，定点(6,0)A，点 P是曲线1C 上的动点，Q为AP的中点.(1)求点 Q 的轨迹2C 的直角坐标方程；(2)直线 l 与曲线2C 相交于,B C两点，若|2 3BC，求实数a的取值范围.23.已知函数2fxxax(1)当3a时，求不等式7fx的解集；(2)若4fxx的解集包含0,2，求a的取值范围参考答案1.答案：C 解析：由题意得，R(0,2)Pe，R()(1,2)PQIe，故选 C.2.答案：D 解析：由21i1iz，得21i2i 1i2i1i1i1i1i1iz，故选 D.3.答案：B 解析：月份1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 最高温5 9 9 11 17 24 27 30 31 21 最低温1231271719232510温差17 12 8 13 10 7 8 7 6 11 将最高温度、最低温度、温差列表如图，由表格前两行可知最低温大致随最高温增大而增大，A正确；由表格可知每月最高温与最低温的平均值在前8 个月不是逐月增加，B错；由表格可知，月温差（最高温减最低温）的最大值出现在11月，C 正确；由表格可知1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7 月至 10 月，波动性更大，D正确，故选B.4.答案：C 解析：设等比数列na的公比为123,4,2,qaaa 成等差数列，则1324+4aaa 即211144aa qa q，解得2q，11a，则44121512S；5.答案：A 解析：6.答案：C 解析：由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.由程序框图可知，11122S,14m，1n，10.012；111244S,18m，2n，10.014；111488S，116m，3n，10.018；11181616S,132m，4n，10.0116；111163232S，164m，5n，10.0132；111326464S，1128m，6n，10.0164；11164128128S，1256m，7n，10.01128.故选 C.7.答案：D 解析：2()332fxaxx，所以1(1)3103kfaa，所以2()32012fxxxxx或，因此，()f x 在区间(1,2)上单调减，()f x 在区间(2,3)上单调增，所以最小值是135(2)84221=323f，选 D.8.答案：B 解析：因为2sin13,2sin77,1aabrrr，向量 ar与 abrr的夹角为3，则22222sin132sin772sin132cos132ar，所以241cos321212aaba bababaarrrrrrrrrr r，所以3a brr，故选 B.9.答案：A 解析：设圆心为C，动点P到直线的距离为d，根据题意得：1PCd，可得1PCd，即：动点P到圆2221xy上的点的最小距离与其到直线2x的距离相等，根据抛物线的定义，动点P的轨迹为以2,0 为焦点，以2x为准线的抛物线，设方程为22ypx，则22p，4p，所以抛物线方程为：28yx，选 A10.答案：C 解析：由三视图可得原几何体，如图所示，该几何体的高2PO，底面 ABC 为边长为2的等腰直角三角形，所以该几何体中，直角三角形是底面ABC 和侧面 PBC,事实上，因为PO底面 ABC，所以平面 PAC底面 ABC，而 BCAC，所以 BC平面 PAC，所以 BCPC，22215PC，11255,22222PBCABCSS，所以该四面体的四个面中，直角三角形的面积和为25，故选 C11.答案：A 解析：如图所示，tan,tanbbNMFNFOac，90,MFNNMF18090NFOMFNNMF，即1tan,tanbaNFONMFcb，则222bacac，210,ee得512e.本题选择 A 选项.12.答案：D 解析：不妨设1AD，取AB中点，易知落在线段BD上，且11122ENAD,所以点到点的距离始终为12，即点在以点为球心，半径为12的球面上运动，因此 A、B 选项不正确；对于C 选项，易知二面角1DACB 为直二面角时，二面角1DACB 始终大于二面角1DBCA，当二面角1DACB 为锐二面角时，作1D R平面 ABC 与点 O，然后作,ROAC RSBC分别交,AC BC于,O S，则二面角1DACB 的平面角为1D OR，二面角1DBCA的平面角为1D SR，且1111tan,tanD RD RD ORD SRORSR，又因为 ORSR，所以11D ORD SR，所以二面角1DACB 始终大于二面角1DBCA，对于 D 选项，作1/,APDMAD 可以看成以AC 为轴线，以45 为平面角的圆锥的母线，易知1AD 与AP落在同一个轴截面上时,1PAD 取得最大值，则1PAD 的最大值为60，此时1D 落在平面ABC 上，所以160PAD，即1AD 与DM所成的角始终小于60，所以 D 选项不正确,故选 D.13.答案：2,4解析：由题意得，画出约束条件所表示的可行域，如图所示，当目标函数3zxy 过点5 3,2 2A时，取得最小值，此时最小值为min533222z；当目标函数3zxy 过点4,0B时，取得最大值，此时最小值为max4z，所以3zxy 的取值范围为2,4 14.答案：14解析：由题意，三名学生各自随机选择两个食堂中的一个用餐的情况共有2228（种），其中他们在同一个食堂用餐的情况有2种，根据古典概型概率的计算公式得，所求概率为2184.15.答案：3 解析：因为113(3)nnnaaa，13nnba，所以13nnnaba，12nnPbbbL31212341133333nnnnaaaaaaaaaaL.又113111(3)3nnnnnnnbaaaaaa，所以111nnnbaa，1212231111111113nnnnnSbbbaaaaaaaLL,所以111111133333nnnnnnnPSaa，所以答案应填：316.答案：32解析：由3sin23ABC可得：6sin23ABC，则2 2sin2sincos223ABCABCABC.由32sin232ABC可知：452ABC，则90ABC，由同角三角函数基本关系可知：1cos3ABC.设,3(0,0,0)ABx BCy ACz xyz，在ABD中由余弦定理可得：2216(2)3cos4 3223zxBDAz，在CBD中由余弦定理可得：22163cos4 323zyBDCz，由于180BDABDC，故coscosBDABDC，即：22221616(2)334 34 322233zxzyzz，整理可得：22216620zxy.在ABC中，由余弦定理可知：22212(3)3xyxyz，则：2222246339zxyxy，代入 式整理计算可得：2214416339xyxy，由均值不等式的结论可得：2214416163399xyxyxy，故9xy，当且仅当33 2,22xy时等号成立，据此可知 ABC 面积的最大值为：maxmax112 2()sin932223SABBCABC.17.答案：(1)根据正弦定理，可设(0)sinsinsinabck kABC，则sin,sin,sinakA bkB ckC.代入coscossinABCabc中，有coscossinsinsinsinABCkAkBkA，变形可得sin sinsincoscossinsin()ABABABAB.在ABC中，由ABC，有 sin()sin()sinABCC，所以 sin sinsinABC.(2)由已知，22265bcabc，根据余弦定理，有2223cos25bcaAbc.所以24sin1cos5AA.由(1)，sinsinsincoscossinABABAB，所以45sin B45cosB35sinB，故sintan4cosBBB.解析：18.答案：（1）因为AT平面PAB,MN平面PAB,所以/MN平面PAB.（2）8 525解析：(1)由已知得223AMAD,取BP的中点T,连接,AT TN,由 N 为 PC 中点知/TNBC,122TNBC.又/ADBC,故/TNAM,四边形 AMNT 为平行四边形,于是/MNAT.因为AT平面PAB,MN平面PAB,所以/MN平面PAB.(2)取BC的中点E,连结AE,由ABAC得AEBC,从而AEAD,且222252BCAEABBEAB以A为坐标原点,AEuuu r的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,由题意知,50,0,4,0,2,0,5,2,0,1,22PMCN,550,2,4,1,2,1,222PMPNANu uuu ru uu ruuu r设(,)nx y zr为平面 PMN 的法向量,则00n PMn PNu uuu rru uu rr,即2405202xzxyz,可取(0,2,1)nr,于是8 5cos,25n ANn ANn ANuuu rruuu rruuu rr.19.答案：(1)因为从装有10 个球的箱子中任摸一球的结果共有110C种，摸到红球的结果共有14C 种，所以顾客参加一次抽奖获得100 元现金奖励的概率是14110C42C105(2)设X表示顾客在三次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则3,0.4XB，所以30.41.2E Xnp.由于顾客每中奖一次可获得100 元现金奖励，因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的均值为1.2100120 元.由于顾客参加三次抽奖获得现金奖励的均值120 元小于直接返现的150 元，所以商场经理希望顾客参加抽奖(3)设顾客参加10 次抽奖摸中红球的次数为Y.由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则10,0.4YB.于是，恰好k 次中奖的概率为1010C0.40.6kkkP Yk，0,1,.,10k.从而21113P YkkP Ykk，0,1,.,10k，当4.4k时，1P YkP Yk；当4.4k时，1P YkP Yk，则4P Y最大.所以，最有可能获得的现金奖励为4 100400 元.于是，顾客参加10 次抽奖，最有可能获得400 元的现金奖励.解析：20.答案：(1)设椭圆方程为22221(0)xyabab，由已知2226,3222,cacbac得3,1,2.abc椭圆方程为2213xy.当直线AB的斜率存在时，设直线AB为 ykxm，1122(,),(,)A xyB xy，代入椭圆方程得222(13)63(1)0kxkmxm.212122263(1),1313kmmxxx xkk.OA OB，0OA OBuuu ruuu r，即22121212121212()()(1)()x xy yx xkxm kxmkx xkm xxm222223(1)6(1)()01 313mkmkkmmkk，即224330mk.AB与以原点为圆心的圆相切，圆半径21mrk，则222314mrk，圆的方程为2234xy.当直线AB的斜率存在时，易知AB方程为32x满足上述方程.综上，所求圆的方程为2234xy.(2)设1122(,),(,),(,)P x yA x yB xy，由3OPOAOBuuu ruu u ruuu r得12123,3,xxxyyy又直线,OA OB的斜率积为13，121213y yx x，即121230 x xy y.,A B在椭圆上，222212121,1,33xxyy联立得12121212221122223,3,30,33,33,xxxyyyx xy yxyxy消去1122,x y xy，得22330 xy.当 OA斜率不存在时，即10 x，得1221,0,3yyx.此时3 3x，同理 OB 斜率不存在时，3 3x，P 点的轨迹方程为22330(3 3)xyx.解析：21.答案：(1)由3fxxaxb，可得23fxxa，下面分两种情况讨论：当0a时，有230fxxa恒成立，所以 fx 的单调递增区间为,.当0a时，令0fx，解得33ax或33ax.当x变化时，fx,fx的变化情况如下表：x3,3a33a33,33aa33a3,3afx00 fx单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以 fx 的单调递减区间为33,33aa，单调递增区间为3,3a，3,3a.(2)证明：因为fx 存在极值点，所以由(1)知0a且00 x.由题意，得20030fxxa，即203ax，进而3000023afxxaxbxb，又3000000082282233aafxxaxbxaxbxbfx，且002xx，由题意及(1)知，存在唯一实数1x 满足10fxfx，且10 xx，因此102xx，所以10+2=0 xx.(3)证明：设()g x 在区间1,1 上的最大值为M，max,x y 表示,x y两数的最大值，下面分三种情况讨论：当3a时,331133aa，由(1)知,fx 在区间1,1 上单调递减，所以 fx 在区间1,1 上的取值范围为1,1ff，因此，max|1|,|1|max 1,1Mffababmax1,1abab1+,0,1,0,ab bab b所以12Mab.当334a时,2 3332 3113333aaaa，由(1)和(2)知2 33133aafff,2 33133aafff，所以 fx 在区间1,1 上的取值范围为33,33aaff，因此3322=max,max3,33399aaaaMffabab2222331max3,3339999444aaaababab.(3)当304a时，232 31133aa，由(1)和(2)知，2 33133aafff,2 33133aafff，所以 fx 在区间1,1 上的取值范围为1,1ff，因此，max|1|,|1|max1,1Mffababmax 1,1abab114ab.综上所述，当0a时，()g x 在区间1,1 上的最大值不小于14.解析：22.答案：(1)由题意知，曲线1C 的直角坐标方程为22412xyy.设点(,),(,)P x yQ x y.由中点坐标公式得262xxyy，代入22412xyy中，得点 Q 的轨迹2C 的直角坐标方程为22(3)(1)4xy.(2)直线 l 的普通方程为yax，由题意可得222|31|2(3)1aa，解得304a，即实数 a 的取值范围是30,4.解析：23.答案：(1)当3a时，21,35,3221,2xxfxxxx，当3x时，由7fx得217x，解得4x；当32x时，7fx无解；当2x时，由7fx得 217x，解得3x，所以7fx的解集为,43,(2)4fxx等价于42xaxx当0,2x时,42xaxx,等价于22axa，由条件得20a且 22a，即20a故满足条件的a的取值范围为2,0解析：
