全等三角形地提高拓展精彩题(教师版-).doc

''全等三角形的提高拓展训练全等三角形的提高拓展训练知识点睛知识点睛 全等三角形的性质：全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角(3)有公共边的，公共边常是对应边(4)有公共角的，公共角常是对应角(5)有对顶角的，对顶角常是对应角(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键全等三角形的判定方法：全等三角形的判定方法： (1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等全等三角形的应用：全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线拓展关键点：拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础例题精讲例题精讲板块一、截长补短 【例例 1】 已知已知中，中，、分别平分分别平分和和，、交于点交于点，ABC60ABDCEABC. ACBBDCEO 试判断试判断、的数量关系，并加以证明的数量关系，并加以证明BECDBCDOECBA''【例例 2】 如图，点如图，点为正三角形为正三角形的边的边所在直线上的任意所在直线上的任意MABDAB 一点一点( (点点除外除外) )，作，作，射线，射线与与外外B60DMNMNDBA 角的平分线交于点角的平分线交于点，与与有怎样的数量关系有怎样的数量关系? ?NDMMN【变式拓展训练变式拓展训练】 如图，点如图，点为正方形为正方形的边的边上任意一点，上任意一点，且与且与外角的平分线交于点外角的平分线交于点，MABCDABMNDMABCN 与与有怎样的数量关系？有怎样的数量关系？MDMN【例例 3】 已知：如图，已知：如图，ABCD 是正方形，是正方形， FAD= FAE. 求证：求证：BE+DF=AE.【例例 4】 以以的的、为边向三角形外作等边为边向三角形外作等边、，连结，连结、相交于点相交于点ABCABACABDACECDBE 求证：求证：平分平分OOADOENEBMADFABCDEOOEDCBA_ F_ E_ D_ C_ B_ A_ N_ C_ D_ E_ B_ M_ A''【例例 5】 如图所示，如图所示，是边长为是边长为 的正三角形，的正三角形，是顶角为是顶角为的等腰三角形，以的等腰三角形，以为为ABC1BDC120D 顶点作一个顶点作一个的的，点，点、分别在分别在、上，求上，求的周长的周长60MDNMNABACAMN【例例 6】 五边形五边形 ABCDE 中，中，AB=AE，BC+DE=CD， ABC+ AED=180°，求证：求证：AD 平分平分 CDE板块二、全等与角度 【例例 7】如图，在如图，在中，中，是是的平分线，且的平分线，且，求，求ABC60BACADBACACABBD 的度数的度数. .ABC【例例 8】在等腰在等腰中，中，顶角，顶角，在边，在边上取点上取点，使，使， ABCABAC20AABDADBC 求求. .BDCDCBANMDCBACEDBADCBA''【例例 9】 如图所示，在如图所示，在中，中，又，又在在上，上，在在上，且满足上，且满足ABCACBC20CMACNBC ，求，求. .50BAN60ABMNMB【例例 10】在四边形在四边形中，已知中，已知，求，求ABCDABAC60ABD76ADB28BDC 的度数的度数. .DBC【例例 11】如图所示，在四边形如图所示，在四边形中，中，ABCD12DAC36CAB48ABD ，求，求的度数的度数. .24DBCACD【例例 12】在正在正内取一点内取一点，使，使，在，在外取一点外取一点，使，使，ABCDDADBABCEDBEDBC 且且，求，求. .BEBABEDCDBADCBADECBANMCBA''【例例 13】如图所示，在如图所示，在中，中，为为内一点，使得内一点，使得ABC44BACBCA MABC ，求，求的度数的度数. .30MCA16MACBMCMCAB''全等三角形证明经典 50 题（含答案）1.已知：AB=4，AC=2，D 是 BC 中点，AD 是整数，求 AD延长 AD 到 E,使 DE=AD, 则三角形 ADC 全等于三角形 EBD 即 BE=AC=2 在三角形 ABE 中,AB-BEBC 时，E 点是射线 AB,DC 的交点） 。 则：AED 是等腰三角形。 所以：AE=DE 而 AB=CD 所以：BE=CE (等量加等量，或等量减等量） 所以：BEC 是等腰三角形 所以：角 B=角 C.15. P 是BAC 平分线 AD 上一点，AC>AB，求证：PC-PB三角形 ADC 全等于三角形 ABC.所以 BC 等于 DC，角 3 等于角 4,EC=EC三角形 DEC 全等于三角形 BEC所以5=634已知ABDE，BCEF，D，C在AF上，且ADCF，求证： ABCDEF因为 D,C 在 AF 上且 AD=CF所以 AC=DF又因为 AB 平行 DE，BC 平行 EF所以角 A+角 EDF，角 BCA=角 F（两直线平行，内错角相等）然后 SSA（角角边）三角形全等35已知：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为 D、E，BD、CE 相交于点 F，求证：BE=CD证明：因为 AB=AC，所以 EBC=DCB因为 BDAC，CEAB所以 BEC=CDBBC=CB (公共边)则有 三角形 EBC 全等于三角形 DCBDBC cAFE6 65 5 4 43 3 2 21 1 E ED DC CB BA AACBDEF''所以 BECD36、如图，在ABC 中，AD 为BAC 的平分线，DEAB 于 E，DFAC 于 F。求证：DE=DFAAS 证ADF37.已知：如图, ACBC 于 C , DEAC 于 E , ADAB 于 A , BC =AE若 AB = 5 ,求 AD 的长？角 C=角 E=90 度角 B=角 EAD=90 度-角 BACBC=AEABCDAEAD=AB=538如图：AB=AC，MEAB，MFAC，垂足分别为 E、F，ME=MF。求证：MB=MC证明AB=ACABC 是等腰三角形B=C又ME=MF，BEM 和CEM 是直角三角形BEM 全等于CEMMB=MC40在ABC 中，直线经过点，且于，90ACBBCAC MNCMNAD D 于.(1)当直线绕点旋转到图 1 的位置时，求证： ；MNBE EMNCADCCEB ；BEADDE(2)当直线绕点旋转到图 2 的位置时， （1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若MNC 不成立，说明理由.AEBDCFDCBAEBCMAFE''（1）证明：ACB=90°，ACD+BCE=90°， 而 ADMN 于 D，BEMN 于 E，ADC=CEB=90°，BCE+CBE=90°， ACD=CBE 在 RtADC 和 RtCEB 中，ADC=CEBACD=CBE AC=CB，RtADCRtCEB（AAS） ， AD=CE，DC=BE， DE=DC+CE=BE+AD；（2）不成立，证明：在ADC 和CEB 中，ADC=CEB=90°ACD=CBE AC=CB，ADCCEB（AAS） ， AD=CE，DC=BE， DE=CE-CD=AD-BE；41如图所示，已知 AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC。求证：（1） EC=BF；（2）ECBF（1）证明;因为 AE 垂直 AB 所以角 EAB=角 EAC+角 CAB=90 度 因为 AF 垂直 AC 所以角 CAF=角 CAB+角 BAF=90 度 所以角 EAC=角 BAF 因为 AE=AB AF=AC 所以三角形 EAC 和三角形 FAB 全等 所以 EC=BF 角 ECA=角 F （2）(2)延长 FB 与 EC 的延长线交于点 G 因为角 ECA=角 F(已证） 所以角 G=角 CAF 因为角 CAF=90 度 所以 EC 垂直 BF42如图：BEAC，CFAB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AMAN。 证明： （1）BEAC，CFAB ABM+BAC=90°，ACN+BAC=90° ABM=ACN BM=AC，CN=AB ABMNAC AM=ANFBCAMNE1234AEBM CF''（2）ABMNAC BAM=N N+BAN=90° BAM+BAN=90° 即MAN=90°AMAN43如图,已知A=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BCEF 连接 BF、CE， 证明ABF 全等于DEC（SAS） ， 然后通过四边形 BCEF 对边相等的证得平行四边形 BCEF 从而求得 BC 平行于 EF44如图,已知 ACBD，EA、EB 分别平分CAB 和DBA，CD 过点 E，则 AB 与 AC+BD 相 等吗？请说明理由 在 AB 上取点 N ,使得 AN=AC CAE=EAN ,AE 为公共边,所以三角形 CAE 全等三角形 EAN 所以ANE=ACE 又 AC 平行 BD 所以ACE+BDE=180 而ANE+ENB=180 所以ENB=BDENBE=EBN BE 为公共边, 所以三角形 EBN 全等三角形 EBD 所以 BD=BN 所以 AB=AN+BN=AC+BD45、 （10 分） 如图,已知: AD 是 BC 上的中线 ,且 DF=DE求证:BECF 证明：AD 是中线 BD=CD DF=DE，BDE=CDF BDECDF BED=CFD BECF''46、(10 分)已知：如图，ABCD，DEAC，BFAC，E，F 是垂足，DEBF 求证：ABCD 证明：DEAC，BFAC，DEC=AFB=90°， 在 RtDEC 和 RtBFA 中，DE=BF，AB=CD，RtDECRtBFA， C=A， ABCD47、(10 分)如图，已知1=2，3=4，求证：AB=CD 【待定】48、 (10 分)如图，已知 ACAB，DBAB，ACBE，AEBD，试猜想线段 CE 与 DE 的大小 与位置关系，并证明你的结论. 结论：CE>DE。当AEB 越小，则 DE 越小。 证明： 过 D 作 AE 平行线与 AC 交于 F，连接 FB 由已知条件知 AFDE 为平行四边形，ABEC 为矩形 ，且DFB 为等腰三 角形。RTBAE 中，AEB 为锐角，即AEB45° RTAFB 中，FBA=90°-DBF 45° AB>AF AB=CE AF=DE CE>DE 49、 (10 分)如图，已知 ABDC，ACDB，BECE，求证：AEDE. 先证明ABCBDC 的出角 ABC=角 DCB 在证明ABEDCE 得出 AE=DEACEDBADECBFABECD.3421DCBA''''50如图 9 所示，ABC 是等腰直角三角形，ACB90°，AD 是 BC 边上的中线，过 C 作 AD 的垂线，交 AB 于点 E，交 AD 于点 F，求证：ADCBDE证明：作 CG 平分ACB 交 AD 于 GACB=90° ACG= DCG=45° ACB=90° AC=BC B=BAC=45° B=DCG=ACG CFAD ACF+DCF=90° ACF+CAF=90° CAF=DCF AC=CB ACG=B ACGCBE CG=BE DCG=B CD=BD CDG BDE ADC=BDEABCDEF图 9