2017年全国各地高考数学试题及解答分类大全(数列).pdf

第 1页（共 14页）2017 年全国各地高考数学试题及解答分类大全（数列）一、选择题1（2017 全国新课标理）记nS为等差数列na的前n项和若4524aa，648S，则na的公差为A 1B2C 4D8【答案】C【解析】设公差为d，45111342724aaadadad，6116 56615482Sadad，联立112724,61548adad解得4d，故选 C.秒杀解析：因为166346()3()482aaSaa，即3416aa，则4534()()24168aaaa，即5328aad，解得4d，故选 C.2（2017 全国新课标理）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N100 且该数列的前N 项和为 2 的整数幂.那么该款软件的激活码是（）A440B330C220D110【答案】A【解析】由题意得，数列如下：11,1,2,1,2,4,1,2,4,2k则该数列的前(1)122k kk项和为11(1)1(12)(122)222kkk kSk，要使(1)1002k k，有14k，此时122kk，所以2k是第1k组等比数列1,2,2k的部分和，设1212221ttk，所以2314tk，则5t，此时52329k，所以对应满足条件的最小整数293054402N，故选 A.3.（2017 全国新课标理）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7 层塔共挂了381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2 倍，则塔的顶层共有灯（）A1 盏B3 盏C5 盏D9 盏【答案】B第 2页（共 14页）4（2017全国新课标理）等差数列na的首中华资源%库项为 1，公差不为 0若2a，3a，6a 成等比数列，则na前6项的和为（）A24B3C3D8【答案】A【解析】na为等差数列，且236,aa a成等比数列，设公差为d.则2326aaa，即211125adadad又11a，代入上式可得220dd又0d，则2d61656561622422Sad，故选 A.5.(2017 上海)在数列中，nN，则=（）A.等于B.等于0C.等于D.不存在【答案】B【解析】数列中，nN，则故选 B6.(2017 上海)已知a,b,c为实常数，数列的通项=an2+bn+c，nN*，则“存在kN*，使得成等差数列”的一个必要条件是（）A.0aB.0bC.0cD、20abc【答案】A【解析】存在kN*，使得成等差数列，可得2a（200+k）2+b（200+k）+c=a（100+k）2+b（100+k）+c+a（300+k）2+b（300+k）+c，化简得 a=0，使得成等差数列的必要条件是a0故选A 第 3页（共 14页）二、填空1.(2017北京理)若等差数列na和等比数列nb满足 a1=b1=1，a4=b4=8，则22ab=_.【答案】1【解析】试题分析：设等差数列的公差和等比数列的公比为d和q，3138dq，求得2,3qd，那么221312ab.【考点】等差数列和等比数列【名师点睛】我们知道,等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.2.(2017 江苏)等比数列 na的各项均为实数,其前 n 项的和为nS,已知3676344SS,则8a=.【答案】32【解析】当1q时，显然不符合题意；当1q时，3161(1)714(1)6314aqqaqq，解得1142aq，则7812324a.【考点】等比数列通项【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.3.（2017 全国新课标理）等差数列na的前n项和为nS，33a，410S，则11nkkS。【答案】21nn【解析】试题分析：设等差数列的首项为1a，公差为d，由题意有：1123434102adad，解得111ad，数列的前n 项和111111222nn nn nn nSnadn,裂项有：1211211kSk kkk，据此：11111111221.2 1223111nkknSnnnn。【考点】等差数列前n 项和公式；裂项求和。【名师点睛】等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题。数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变第 4页（共 14页）量代换作用，而 a1和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的。4（2017全国新课标理）设等比数列na满足121aa，133aa，则4a_【答案】8【解析】na为等比数列，设公比为q121313aaaa，即1121113aaqaaq，显然1q，10a，得 13q，即2q，代入 式可得11a，3341128aa q5.(2017 上海)已知数列其中的项是互不相等的正整数，若对于任意nN*，的第项等于则=_【答案】2【解析】【知识点难易度】本题考查数列概念的理解，对数的运算，属于中档题三、解答题1.(2017北京文)已知等差数列na和等比数列nb满足 a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5（）求na的通项公式；（）求和：13521nbbbb【答案】（）21nan；（）312n.第 5页（共 14页）2.(2017 北京理)设na和nb是两个等差数列，记1122max,nnncba n ba nba n(1,2,3,)n，其中12max,sxxx表示12,sx xx这s个数中最大的数（）若nan，21nbn，求123,c c c的值，并证明nc是等差数列；（）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当nm时，ncMn；或者存在正整数m，使得12,mmmccc是等差数列【答案】（）详见解析；（）详见解析.【解析】试题分析：（）分别代入求123,c c c，观察规律，再证明当3n时，11()()20kkkkbnabnan，所以kkbna关于*kN单调递减.所以112211max,1nnncba n ba nba nba nn，即证明；（）首先求nc的通项公式，分1110,0,0ddd三种情况讨论证明.第 6页（共 14页）（）设数列na和nb的公差分别为12,d d，则12111121(1)(1)()(1)kkbnabkdakd nba ndndk.所以1121211121(1)(),nba nndnddndcba ndnd当时，当时，当10d时，取正整数21dmd，则当nm时，12ndd，因此11ncba n.此时，12,mmmccc是等差数列.当10d时，对任意1n，1121121(1)max,0(1)(max,0).ncba nndbanda此时，123,nc ccc是等差数列.当10d时，当21dnd时，有12ndd.所以1121121112(1)()()ncba nndndbdnddadnnn111212()|.nddadbd对任意正数M，取正整数12112211|max,Mbdadddmdd，故当时，ncMn.【考点】1.新定义；2.数列的综合应用;3.推理与证明.【名师点睛】近年北京卷理科压轴题一直为新信息题，本题考查学生对新定义的理解能力和使用能力，本题属于偏难问题，反映出学生对于新的信息的的理解和接受能力，本题考查数列的有关知识及归纳法证明方法，即考查了数列（分段形函数）求值，又考查了归纳法证明和对数据的分析研究，考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力，本题属于拔高难题，特别是第二两步难度较大，适合选拔优秀学生.3.(2017 江苏)对于给定的正整数k,若数列 na满足1111n kn knnn kn kaaaaaa2nka 对任意正整数()n nk 总成立，则称数列na是“()P k 数列”.第 7页（共 14页）（1）证明：等差数列na是“(3)P数列”;（2）若数列 na既是“(2)P数列”，又是“(3)P数列”，证明：na是等差数列.【答案】（1）见解析（2）见解析当3n时，nnnnnaaaaa21124，当4n时，nnnnnnnaaaaaaa3211236.由知，nnnaaa32141()nnaa，nnnaaa23141()nnaa，所以数列na是等差数列.【考点】等差数列定义及通项公式【名师点睛】证明na为等差数列的方法：(1)用定义证明：1(nnaad d为常数）；(2)用等差中项证明：122nnnaaa；(3)通项法：na为n的一次函数；(4)前n项和法：2nSAnBn4（2017 全国新课标文）记 Sn为等比数列na的前 n 项和，已知S2=2，S3=-6（1）求na的通项公式；（2）求 Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列【解析】（1）设na的公比为q由题设可得121(1)2,(1)6.aqaqq解得2q，12a故na的通项公式为(2)nna（2）由（1）可得11(1)22()1331nnnnaqSq第 8页（共 14页）由于3212142222()2()2313313nnnnnnnnSSS，故1nS，nS，2nS成等差数列5（2017 全国新课标文）已知等差数列na的前n项和为nS，等比数列nb的前n项和为nT，11221,1,2abab.（1）若335ab，求nb的通项公式；（2）若321T，求3S.6（2017 全国新课标文）设数列na满足123(21)2naanan.（1）求na的通项公式；（2）求数列21nan的前n项和.【答案】（1）122nan；（2）122nn【解析】试题分析：（1）先由题意得2n时，)1(2)32(3121nanaan，再作差得122nan，验证1n时也满足（2）由于121121)12)(12(212nnnnnan，所以利用裂项相消法求和.第 9页（共 14页）【考点】数列通项公式，裂项法求和【名师点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如1nnca a(其中na是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列.裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如1(1)(3)nn或1(2)n n.7.（2017 山东文）已知 an是各项均为正数的等比数列,且121236,aaa aa.(I)求数列 an通项公式；(II)bn为各项非零的等差数列,其前 n 项和 Sn,已知211nnnSb b,求数列nnba的前 n 项和nT.【答案】(I)2nna；(II)2552nnnT【解析】试题分析：(I)列出关于1,a d的方程组,解方程组求基本量；(II)用错位相减法求和.试题解析：(I)设数列na的公比为q，由题意知,22111(1)6,aqa qa q.又0na，解得1,22aq，所以2nna.两式相减得2111311121222222nnnnT所以2552nnnT.【考点】等差数列的通项,错位相减法求和.【名师点睛】(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差 d,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解 等差数列的通项公式及前n 项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式；若等比数列的公比为参数,应分公比等于1 和不等于1 两种情况求解第 10页（共 14页）8.（2017 山东理）已知 xn是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3-x2=2（）求数列 xn的通项公式；（）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P1(x1,1)，P2(x2,2)Pn+1(xn+1,n+1)得到折线P1P2 Pn+1，求由该折线与直线y=0，11nxxxx,所围成的区域的面积nT.【答案】(I)12.nnx（II）(21)21.2nnnT因为0q,所以12,1qx，因此数列nx的通项公式为12.nnx（II）过123,P P P1nP向x轴作垂线，垂足分别为123,Q QQ1nQ,由(I)得111222.nnnnnxx记梯形11nnnnP PQQ的面积为nb.由题意12(1)2(21)22nnnnnbn，所以123nTbbb+nb来源：=101325272+32(21)2(21)2nnnn又0122325272nT+21(21)2(21)2nnnn第 11页（共 14页）【考点】1.等比数列的通项公式；2.等比数列的求和；3.“错位相减法”.【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.9（2017 天津文）已知na为等差数列，前n 项和为*()nSnN，nb是首项为2 的等比数列，且公比大于0，2334111412,2,11bbbaa Sb.（）求na和nb的通项公式；（）求数列2nna b的前 n 项和*()nN.【答案】（）32nan.2nnb.（）2(34)216nnTn.试题解析：（）解：设等差数列na的公差为d，等比数列nb的公比为q.由已知2312bb，得21()12b qq，而12b，所以260qq.又因为0q，解得2q.所以，2nnb.由3412baa，可得138da.由11411Sb，可得1516ad，联立，解得11,3ad，由此可得32nan.所以，na的通项公式为32nan，nb的通项公式为2nnb.第 12页（共 14页）【考点】1.等差，等比数列；2.错位相减法求和.【名师点睛】重点说说数列求和的一些方法：本题考查了数列求和，一般数列求和方法（1）分组转化法，一般适用于等差数列加等比数列，（2）裂项相消法求和，1nnnaacc，!1!nnnncn,nnccn1等的形式，（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列乘以等比数列，（4）倒序相加法求和，一般距首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写和，两式两式相加除以2 得到数列求和,(5)或是具有某些规律求和.10.（2017 天津理）已知na为等差数列，前n 项和为()nSnN，nb是首项为2 的等比数列，且公比大于0，2312bb,3412baa，11411Sb.（）求na和nb的通项公式；（）求数列221nna b的前n项和()nN.【答案】（1）32nan.2nnb.（2）1328433nnnT.【解析】试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前n项和公式列方程求出等差数列首项1a和公差d及等比数列的公比q，写出等差数列和等比孰劣的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要求计算要准确.（II）解：设数列221nna b的前n项和为nT，由262nan，12124nnb，有221(31)4nnna bn，故23245484(31)4nnTn，23414245484(34)4(31)4nnnTnn，上述两式相减，得2313243 4343 4(31)4nnnTn1112(14)4(31)414(32)48.nnnnn得1328433nnnT.所以，数列221nna b的前n项和为1328433nn.第 13页（共 14页）【考点】等差数列、等比数列、数列求和【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前n项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前n项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法和分组求和法等，本题考查错位相减法求和.浙江）已知数列 xn满足：x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)（Nn）证明：当Nn时，（）0 xn+1xn；（）2xn+1-xn12nnx x；1212n【答案】（）见解析；（）见解析；（）见解析因此)(0Nnxn，所以111)1ln(nnnnxxxx，因此)(01Nnxxnn（）由111)1ln(nnnnxxxx得2111111422(2)ln(1)nnnnnnnnx xxxxxxx记函数2()2(2)ln(1)(0)f xxxxxx函数 f(x)在0，+）上单调递增，所以()(0)f xf=0，因此2111112(2)ln(1)()0nnnnnxxxxf x，112(N)2nnnnx xxxn【考点】不等式证明【名师点睛】本题主要考查数列的概念、递推关系与单调性等基础知识，不等式及其应用，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，属于难题 本题主要应用：（1）数学归纳法证明不等式；（2）构造函数2()2(2)ln(1)(0)f xxxxxx，利用函数的单调性证明不等式；（3）由递推关系证明WWW12(2017 上海)根据预测，某地第n（nN*）个月共享单车的投放量和损失量分别为an 和 bn（单位：辆），其中2515,1,2,310470,4nnnann，5nbn，第 n 个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差。第 14页（共 14页）（1）求该地区第4 个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量2(46)8000nSn（单位：辆），设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？19.【解 析】（1）前 4 个 月 共 享 单 车 的 累 计 投 放 量 为4 个月共享单车的累计损失量为该地区第4 个月底的共享单车的保有量为96530=935（2）令anbn，显然n3 时恒成立，第42 个月底共享单车保有量超过了停放点的单车容纳量