2019-2020学年黑龙江齐齐哈尔市克东县高二下学期期中(文科)数学试卷(解析版).pdf

2019-2020 学年高二第二学期期中数学试卷（文科）一、选择题（共12 小题）.1i 为虚数单位，复数11-?的虚部是（）A12B-12C-12?D12?2若|x|x，则（）Ax0Bx0Cx0Dx R3若复数2+?1-?（a R）是纯虚数（i 是虚数单位），则a 的值为（）A 2B 1C1D24ab0 是|ab|a|b|的（）A充分但不必要条件B必要但不充分条件C充分且必要条件D不充分也不必要条件5在复平面内，复数-2+3?3+4?（i 是虚数单位）所对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限6已知 i 为虚数单位，|z|为复数 z 的模，则|3+?|-12(1+?)=（）A-1+?4B-1-?4C1+?4D1-?47用反证法证明命题：“a，b，c，d R，a+b1，c+d1，且 ac+bd1，则 a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为（）Aa，b，c，d 中至少有一个正数B a，b，c，d 全为正数Ca，b，c，d 全都大于等于0Da，b，c，d 中至多有一个负数8设复数z（x1）+yi（x，y R），若|z|1，则 yx 的概率为（）A34+12?B12+1?C14-12?D12-1?9对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：四面都为正三角形的正四面体的内切球切于四个面的什么位置？（）A正三角形的顶点B正三角形的中心C正三角形各边的中点D无法确定10 观 察 下 列 等 式，13+23 32，13+23+33 62，13+23+33+43 102，根 据 上 述 规 律，13+23+33+43+53+63（）A192B202C212D22211计算 1+i+i2+i3+i89的值为（）A1BiC iD1+i12 若 ABC 的三边之长分别为a、b、c，内切圆半径为r，则 ABC 的面积为?(?+?+?)2 根据类比思想可得：若四面体ABCD 的三个侧面与底面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，则四面体的体积为（）A?(?1+?2+?2+?4)3B?(?1+?2+?2+?4)4C?(?1+?2+?2+?4)5D?(?1+?2+?2+?4)6二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上13若复数z 满足 2z+?=32i，其中 i 为虚数单位，则z14若 x0，y0 且1?+4?=1，则 x+y 的最小值是15函数 f（x）|x+3|+|x 2|的最小值为16一次期中考试数学测验结束后，四位同学对完答案后估计分数，甲：我没有得满分；乙：丙得了满分：丙：丁得了满分；丁：我没有得满分以上四位同学中只有一个人说的是真话，只有一个人数学得到满分，据此判断，得了满分的同学是三、解答题：本大题共6 小题，共70 分解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤17已知 z 为复数，z+2i 和?2-?均为实数，其中i 是虚数单位（）求复数z；（）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围18解求下列关于x 的不等式的解集（1）|2x+1|3x；（2）|5xx2|519设复数z 满足|z|1，且（3+4i）?z 是纯虚数，求?20已知 2x+y 1（1）求 xy 的最大值；（2）求 x2+y2的最小值21 ABC 的三边 a，b，c 的倒数成等差数列，求证：?222已知函数f（x）|12x|+|x+2|（）解不等式f（x）4；（）若f（x）m2-32对任意 x 恒成立，求实数m 的取值范围参考答案一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1i 为虚数单位，复数11-?的虚部是（）A12B-12C-12?D12?【分析】利用复数的除法法则，把分子、分母分别乘以分母的共轭复数即可得出解：复数11-?=1+?(1-?)(1+?)=12+12?的虚部是12故选：A2若|x|x，则（）Ax0Bx0Cx0Dx R【分析】分x 0 和 x 0 求解得答案解：当 x0 时，|x|x，不等式成立；当 x0 时，|x|x，不等式成立|x|x 的解集为R故选：D3若复数2+?1-?（a R）是纯虚数（i 是虚数单位），则a 的值为（）A 2B 1C1D2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0 且虚部不为0 列式求解解：2+?1-?=(2+?)(1+?)(1-?)(1+?)=2-?2+2+?2?是纯虚数，?-?=?+?，即 a2故选：D4ab0 是|ab|a|b|的（）A充分但不必要条件B必要但不充分条件C充分且必要条件D不充分也不必要条件【分析】要判断两个条件之间的关系，当ab0 时，即 a，b 的符号相同，两个同号的数字相减得到的差的绝对值等于|a|b|或|b|a|，即前者不一定推出后者，当|ab|a|b|成立时，得到两个代数式的符号相同，得到ab0，前者不一定推出后者，后者可以推出前者解：当ab0 时，即 a，b 的符号相同，两个同号的数字相减得到的差的绝对值，|ab|a|b|或|b|a|即前者不一定推出后者，当|ab|a|b|成立时，说明两个代数式的符号相同，得到ab0，前者不一定推出后者，后者可以推出前者，前者是后者的必要不充分条件，故选：B5在复平面内，复数-2+3?3+4?（i 是虚数单位）所对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】先化简对应的复数，根据复数的几何意义，即可得到结论解：-2+3?3+4?=(-2+3?)(3-4?)(3+4?)(3-4?)=625+1725i，对应的坐标为（625，1725），故位于第一象限故选：A6已知 i 为虚数单位，|z|为复数 z 的模，则|3+?|-12(1+?)=（）A-1+?4B-1-?4C1+?4D1-?4【分析】利用复数模的计算公式求|?+?|，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案解：|3+?|-12(1+?)=2-12(1+?)=12(1+?)=1-?2(1+?)(1-?)=14-14?故选：D7用反证法证明命题：“a，b，c，d R，a+b1，c+d1，且 ac+bd1，则 a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为（）Aa，b，c，d 中至少有一个正数B a，b，c，d 全为正数Ca，b，c，d 全都大于等于0Da，b，c，d 中至多有一个负数【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设结论的否定成立解：“a，b，c，d 中至少有一个负数”的否定为“a，b，c，d 全都大于等于0”，由用反证法证明数学命题的方法可得，应假设“a，b，c，d 全都大于等于0”，故选：C8设复数z（x1）+yi（x，y R），若|z|1，则 yx 的概率为（）A34+12?B12+1?C14-12?D12-1?【分析】判断复数对应点图形，利用几何概型求解即可解：复数z（x1）+yi（x，y R），若|z|1，它的几何意义是以（1，0）为圆心，1为半径的圆以及内部部分yx 的图形是图形中阴影部分，如图：复数 z（x1）+yi（x，y 一、选择题），若|z|1，则 yx 的概率：14?-12 11?=14-12?故选：C9对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：四面都为正三角形的正四面体的内切球切于四个面的什么位置？（）A正三角形的顶点B正三角形的中心C正三角形各边的中点D无法确定【分析】由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质故我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形的内切圆切于三边的中点”，推断出一个空间几何中一个关于内切球的性质解：由平面中关于正三角形的内切圆的性质：“正三角形的内切圆切于三边的中点”，根据平面上关于正三角形的内切圆的性质类比为空间中关于内切球的性质，我们可以推断在空间几何中有：“正四面体的内切球切于四面体各正三角形的位置是各正三角形的中心”故选：B10 观 察 下 列 等 式，13+23 32，13+23+33 62，13+23+33+43 102，根 据 上 述 规 律，13+23+33+43+53+63（）A192B202C212D222【分析】解答此类的方法是从特殊的前几个式子进行分析找出规律观察前几个式子的变化规律，发现每一个等式左边为立方和，右边为平方的形式，且左边的底数在增加，右边的底数也在增加从中找规律性即可解：所给等式左边的底数依次分别为1，2；1，2，3；1，2，3，4；右边的底数依次分别为3，6，10，（注意：这里3+3 6，6+410），由底数内在规律可知：第五个等式左边的底数为1，2，3，4，5，6，右边的底数为10+5+621又左边为立方和，右边为平方的形式，故有 13+23+33+43+53+63 212故选：C11计算 1+i+i2+i3+i89的值为（）A1BiC iD1+i【分析】由虚数单位的性质可得i90 i2，而由等比数列的求和公式可得所求等于1+i+i2+i3+i89=1(1-?90)1-?，代入化简可得答案解：由等比数列的求和公式可得：1+i+i2+i3+i89=1(1-?90)1-?，而 i90（i4）88?i2i2 1，故 1+i+i2+i3+i89=1(1-?90)1-?=21-?=2(1+?)(1-?)(1+?)=1+i，故选：D12 若 ABC 的三边之长分别为a、b、c，内切圆半径为r，则 ABC 的面积为?(?+?+?)2 根据类比思想可得：若四面体ABCD 的三个侧面与底面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，则四面体的体积为（）A?(?1+?2+?2+?4)3B?(?1+?2+?2+?4)4C?(?1+?2+?2+?4)5D?(?1+?2+?2+?4)6【分析】根据三角形的边应与四面体中的各个面进行类比，而面积与体积进行类比，进行猜想解：根据几何体和平面图形的类比关系，三角形的边应与四面体中的各个面进行类比，而面积与体积进行类比：ABC 的面积为?(?+?+?)2，对应于四面体的体积为?(?1+?2+?2+?4)3，故选：A二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上13若复数z 满足 2z+?=32i，其中 i 为虚数单位，则z12i【分析】设复数za+bi，（a、b 是实数），则?=abi，代入已知等式，再根据复数相等的含义可得a、b 的值，从而得到复数z 的值解：设 za+bi，（a、b 是实数），则?=a bi，2z+?=32i，2a+2bi+abi32i，3a3，b 2，解得 a1，b 2，则 z1 2i故答案为：12i14若 x0，y0 且1?+4?=1，则 x+y 的最小值是9【分析】先将 x+y 乘以1?+4?展开，然后利用基本不等式求出最小值，注意等号成立的条件解：1?+4?=?+?=(1?+4?)(?+?)=?+4?+?+?4?=?当且仅当4?=?时，取等号故答案为：915函数 f（x）|x+3|+|x 2|的最小值为5【分析】根据绝对值不等式的性质求出f（x）的最小值即可解：因为|x+3|+|x2|（x+3）（x2）|5，当（x+3）（x2）0，即 3x 2 时取等号，则f（x）的最小值为5，故答案为：516一次期中考试数学测验结束后，四位同学对完答案后估计分数，甲：我没有得满分；乙：丙得了满分：丙：丁得了满分；丁：我没有得满分以上四位同学中只有一个人说的是真话，只有一个人数学得到满分，据此判断，得了满分的同学是甲【分析】分别假设考满分的是甲、乙、丙、丁，分析判断四个人的话的真假，能求出结果解：若甲考满分，则甲、乙、丙说的都是假话，丁说的是真话，符合题意；若乙考满分，则乙、丙说的是假话，甲和丁说的是真话，不合题意；若丙考满分，则甲、乙、丁说的都是真话，丙说的是假话，不合题意；若丁考满分，则甲、丙说的是真话，乙、丁说的是假话，不合题意综上，甲考满分故答案为：甲三、解答题：本大题共6 小题，共70 分解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤17已知 z 为复数，z+2i 和?2-?均为实数，其中i 是虚数单位（）求复数z；（）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围【分析】（I）设出复数的代数形式，整理出z+2i 和?2-?，根据两个都是实数虚部都等于0，得到复数的代数形式（II）根据上一问做出的复数的结果，代入复数（z+ai）2，利用复数的加减和乘方运算，写出代数的标准形式，根据复数对应的点在第一象限，写出关于实部大于0 和虚部大于0，解不等式组，得到结果解：（）设复数za+bi（a，b R），由题意，z+2i a+bi+2ia+（b+2）i R，b+20，即 b 2又?2-?=(?+?)(2+?)5=2?-?5+2?+?5?，2b+a0，即 a 2b4 z42i（）由（）可知z42i，（z+ai）2（42i+ai）24+（a2）i216（a2）2+8（a 2）i对应的点在复平面的第一象限，?-(?-?)?(?-?)?解得 a 的取值范围为2a618解求下列关于x 的不等式的解集（1）|2x+1|3x；（2）|5xx2|5【分析】（1）法一、分3x 0 和 3 x0，把绝对值的不等式转化为关于x 的不等式组求解；法二、直接由|2x+1|3x，得 2x+13x 或 2x+1 3+x求解后取并集得答案；（2）把|5xx2|5 转化为关于x 的不等式组求解解：（1）法一、由|2x+1|3x，得3 x0，或?-?+?-?，或?-?+?-?+?解 得 x3，解得 得23x3，解 得 x 4|2x+1|3x 的解集为（，4）（23，+）；法二、由|2x+1|3x，得 2x+13 x 或 2x+1 3+x解得 x23或 x 4|2x+1|3x 的解集为（，4）（23，+）；（2）由|5xx2|5，得?-?-?-?，解 得5-3 52?5+3 52，解 得?5-52或?5+52取交集，得|5xx2|5 的解集为 5-3 52，5-525+52，5+3 5219设复数z 满足|z|1，且（3+4i）?z 是纯虚数，求?【分析】设za+bi，（a，b R），由|z|1 得?+?=?，再由（3+4i）?z（3+4i）（a+bi）3a4b+（4a+3b）i 是纯虚数，得?-?=?+?，联立?+?=?-?=?，求解即可得答案解：设 za+bi，（a，b R），由|z|1 得?+?=?，（3+4i）?z（3+4i）（a+bi）3a4b+（4a+3b）i 是纯虚数，?-?=?+?联立?+?=?-?=?，解得?=45?=35，或?=-45?=-35，?=45+35?或?=-45-35?=45-35?或?=-45+35?20已知 2x+y 1（1）求 xy 的最大值；（2）求 x2+y2的最小值【分析】（1）由 2x+y1，可知 xy=12(?)12(2?+?2)?，即可求解；（2）x2+y2x2+（12x）2 5x24x+1，结合二次函数的性质可求解：（1）2x+y 1，所以 xy=12(?)12(2?+?2)?=18，当且仅当2xy=12即 y=12，x=14时取等号，则 xy 的最大值为18；（2）x2+y2x2+（12x）2 5x24x+1，结合二次函数的性质可知，当x=25时，函数取得最小值1521 ABC 的三边 a，b，c 的倒数成等差数列，求证：?2【分析】方法一；使用余弦定理，由已知求出?=2?+?，计算 cosB=?2+?2-?22?0，故?2方法二：反证法，假设?2，则b 为最大边，有ba0，bc0则1?1?，1?1?，可得2?1?+1?，与已知矛盾，【解答】证明：方法一：已知1?+1?=2?得?=2?+?，?+?-?=?+?-(2?+?)?-4?2?2(?+?)2=?(?-2?(?+?)2)?(?-2?4?)?即 cosB=?2+?2-?22?0故?2法 2：反证法：假设?2则有 ba0，bc0则1?1?，1?1?可得2?1?+1?与已知矛盾，假设不成立，原命题正确22已知函数f（x）|12x|+|x+2|（）解不等式f（x）4；（）若f（x）m2-32对任意 x 恒成立，求实数m 的取值范围【分析】（）由绝对值的意义，讨论x12时，当 2x12时，当 x 2 时，去掉绝对值解不等式，即可得到所求解集；（）若f（x）m2-32对任意 x 恒成立，可得m2-32不大于 f（x）的最小值，再由绝对值的意义和绝对值不等式的性质，可得最小值，解不等式即可得到所求范围解：（）不等式f（x）4 即为|2x1|+|x+2|4，当 x12时，2x1+x+24，解得12 x1；当 2x12时，12x+x+24，解得 1x12；当 x 2 时，12xx24，即有 x-53，解得 x?，综上可得原不等式的解集为1，1；（）若f（x）m2-32对任意 x 恒成立，可得 m2-32不大于 f（x）的最小值，由 f（x）|1 2x|+|x+2|x-12|+（|x-12|+|x+2|）0+|x-12-x 2|=52，当且仅当x=12时，f（x）取得最小值52，可得 m2-3252，即 m24，解得 2m2，即 m 的取值范围是2，2