2019届浙江省温州市高三下学期5月普通高中高考适应性测试数学试题(解析版).pdf

第 1 页 共 19 页2019届浙江省温州市高三下学期5 月普通高中高考适应性测试数学试题一、单选题1已知集合UR，0Ay y，1By yx，则UABI e()A0,1B0,C1,D1,【答案】A【解析】求得集合B中函数的值域，由此求得UBe，进而求得UABe.【详解】由11yx，得1,B，所以U,1Be，所以U0,1ABI e.故选：A【点睛】本小题主要考查函数值域的求法，考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题.2某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是()A28cmB212cmC24 52 cmD24 54 cm【答案】D【解析】根据三视图判断出几何体为正四棱锥，由此计算出几何体的表面积.【详解】根据三视图可知，该几何体为正四棱锥.底面积为2 2 4.侧面的高为22215，所以侧面积为14254 52.所以该几何体的表面积是24 54 cm.故选：D 第 2 页 共 19 页【点睛】本小题主要考查由三视图判断原图，考查锥体表面积的计算，属于基础题.3设nS是等差数列na的前 n 项和，且443Sa，则2a()A2B1C1 D2【答案】C【解析】利用等差数列的性质化简已知条件，求得2a的值.【详解】由于等差数列na满足443Sa，所以123443aaaaa，1233aaa+=，2233,1aa.故选：C【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，属于基础题.4设 m，n 为直线，、为平面，则m的一个充分条件可以是()A，nI，mnB/，mC，/mDn，mn【答案】B【解析】根据线面垂直的判断方法对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于 A 选项，当，nI，mn时，由于m不在平面内，故无法得出m.对于 B 选项，由于/，m，所以m.故 B 选项正确.对于 C 选项，当，/m时，m可能含于平面，故无法得出m.对于 D 选项，当n，mn时，无法得出m.综上所述，m的一个充分条件是“/，m”故选：B【点睛】本小题主要考查线面垂直的判断，考查充分必要条件的理解，属于基础题.第 3 页 共 19 页5已知实数x，y满足10260 xxyxy，则22zxy的最大值等于()A2 B2 2C4 D8【答案】D【解析】画出可行域，计算出原点到可行域上的点的最大距离，由此求得z 的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，其中51,2,22AC，由于22529122OA,2 2OC，所以OCOA，所以原点到可行域上的点的最大距离为2 2.所以 z 的最大值为2228.故选：D【点睛】本小题主要考查根据可行域求非线性目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.6已知双曲线22122:1xyCab与双曲线222:14yCx没有公共点，则双曲线1C的第 4 页 共 19 页离心率的取值范围是()A1,3B3,C1,5D5,【答案】C【解析】先求得2C的渐近线方程，根据12,C C没有公共点，判断出1C渐近线斜率的取值范围，由此求得1C离心率的取值范围.【详解】双曲线222:14yCx的渐近线方程为2yx，由于双曲线22122:1xyCab与双曲线222:14yCx没有公共点，所以双曲线1C的渐近线的斜率2ba，所以双曲线1C的离心率211,5bea.故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的取值范围的求法，属于基础题.7已知点11,A x y，22,B xy是函数2fxa xbx的函数图像上的任意两点，且yfx在点1212,22xxxxf处的切线与直线AB 平行，则()A0a，b 为任意非零实数B0b，a 为任意非零实数Ca、b 均为任意实数D不存在满足条件的实数a，b【答案】A【解析】求得fx的导函数，结合两点斜率公式和两直线平行的条件：斜率相等，化简可得0a，b为任意非零实数.【详解】依题意22afxbxx，yfx在点1212,22xxxxf处的切线与直线AB 平行，即有22221112211222axbxa xbxab xxxxxx第 5 页 共 19 页211221axxb xxxx，所以12122aaxxxx，由于对任意12,x x上式都成立，可得0a，b为非零实数.故选：A【点睛】本题考查导数的运用，求切线的斜率，考查两点的斜率公式，以及化简运算能力，属于中档题8盒中有6 个小球，其中4 个白球，2 个黑球，从中任取1,2i i个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后放回，此时盒中黑球的个数1,2iXi，则()A1233P XP X，12EXEXB1233P XP X，12EXEXC1233P XP X，12EXEXD1233P XP X，12EXEX【答案】C【解析】根据古典概型概率计算公式，计算出概率并求得数学期望，由此判断出正确选项.【详解】13X表示取出的为一个白球，所以14116233CP XC.12X表示取出一个黑球，12116123CP XC，所以121832333EX.23X表示取出两个球，其中一黑一白，11422268315C CP XC，22X表示取出两个球为黑球，22226115CP XC，24X表示取出两个球为白球，242266415CP XC，所以2816103241515153E X.所以1233P XP X，12EXEX.故选：C【点睛】本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望的计算，属于中档题.第 6 页 共 19 页9已知平面向量ar，br，cr满足：0,1a bcr rr，5acbcrrrr，则abrr的最小值为()A5 B 6 C7 D8【答案】B【解析】建立平面直角坐标系，将已知条件转化为所设未知量的关系式，再将abrr的最小值转化为用该关系式表达的算式，利用基本不等式求得最小值.【详解】建立平面直角坐标系如下图所示，设cos,sincr，,OAa OBbu uu rr uu u rr，且,0,0,A mBn，由于5acbcrrrr，所以,4,6m n.cos,sin,cos,sinacmbcnrrrr.所以2222222coscossin252 sinsincos25mmnn，即22482cos2 sinmnmn.222abacbcacacbcbcrrrrrrrrrrrrrr482cos2 sinmn222mnmn.当且仅当mn时取得最小值，此时由22482cos2 sinmnmn得22482sincos482 2sin4mmm，当54时，22m有最小值为482 2m，即22482 2mm，22240mm，解得3 2m.所以当且仅当53 2,4mn时abrr有最小值为223 26.故选：B 第 7 页 共 19 页【点睛】本小题主要考查向量的位置关系、向量的模，考查基本不等式的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.10如图，矩形ABCD 中，1AB，2BC，E 是 AD 的中点，将ABE沿 BE折起至ABEV，记二面角ABED的平面角为，直线A E与平面 BCDE 所成的角为，A E与 BC 所成的角为，有如下两个命题：对满足题意的任意的A的位置，；对满足题意的任意的A的位置，则()A命题和命题都成立B命题和命题都不成立C命题成立，命题不成立D命题不成立，命题成立【答案】A【解析】作出二面角的补角、线面角、线线角的补角，由此判断出两个命题的正确性.【详解】如图所示，过A作AO平面BCDE，垂足为O，连接OE，作OMBE，连接AM.由图可知AMO，A EOA MO，所以，所以 正确.由于/BCDE，所以AE与BC所成角AEDAMO，所以，所以 正确.综上所述，都正确.故选：A【点睛】本题考查了折叠问题、空间角、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档第 8 页 共 19 页题二、填空题11 若复数z 满足23zzi，其中i是虚数单位，z是 z的共轭复数，则z_.【答案】1i【解析】设zabi，代入已知条件进行化简，根据复数相等的条件，求得,a b的值.【详解】设zabi，由23zzi，得2233abiabiabii，所以1,1ab，所以1zi.故答案为：1i【点睛】本小题主要考查共轭复数，考查复数相等的条件，属于基础题.12已知正数a，b 满足 a+b=1，则1bab的最小值等于_，此时a=_.【答案】3 12【解析】根据题意，分析可得11bbabbaababab，由基本不等式的性质可得最小值，进而分析基本不等式成立的条件可得a 的值，即可得答案【详解】根据题意，正数a、b 满足1ab，则11213bbabbabaabababab，当且仅当12ab时，等号成立，故1bab的最小值为3，此时12a.故答案为：3；12.【点睛】本题考查基本不等式及其应用，考查转化与化归能力，属于基础题.13如图ABCV是由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边第 9 页 共 19 页三角形，设2DFAF，13AB，则EDFV的面积为_.【答案】3【解析】根据3个全等的三角形，得到AFDB，设AFxDB，求得3ADx，利用余弦定理求得x，再利用三角形的面积公式，求得三角形EDF的面积.【详解】由于三角形ABC是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，所以AFDB.在三角形ABD中，18060120ADBooo.设AFxDB，则3ADx.由余弦定理得2221396cos120 xxxo，解得1x.所以三角形EDF边长为2，面积为122sin 6032o.故答案为：3【点睛】本题考查了等边三角形的面积计算公式、余弦定理、全等三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14三对父子去参加亲子活动，坐在如图所示的6个位置上，有且仅有一对父子是相邻而坐的坐法有_种（比如：B 与 D、B 与 C 是相邻的，A 与 D、C 与 D 是不相邻的）.【答案】192【解析】根据题意，分2步进行分析：，在三对父子中任选1 对，安排在相邻的位置上，将剩下的4 人安排在剩下的4 个位置，要求父子不能坐在相邻的位置，由分步计数原理计算可得答案【详解】第 10 页 共 19 页根据题意，分2步进行分析：，在三对父子中任选1 对，有 3 种选法，由图可得相邻的位置有4种情况，将选出的1 对父子安排在相邻的位置，有3412种安排方法；，将剩下的4 人安排在剩下的4 个位置，要求父子不能坐在相邻的位置，有2 22216种安排方法，则有且仅有一对父子是相邻而坐的坐法16 12192种；故答案为：192【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题15如图所示，点1,2A，B均在抛物线24yx上，等腰直角ABCV的斜边为BC，点C在x轴的正半轴上，则点B的坐标是_.【答案】3,23【解析】设出,B C两点的坐标，结合抛物线方程、两条直线垂直的条件以及两点间的距离公式列方程，解方程求得B的坐标.【详解】设,0,0B a bC ca b c，由于B在抛物线上，所以24ba.由于三角形ABC是等腰直角三角形，ACBA，所以22111ACBAbkkca.由ABAC得2221241abc，化为22226412442bbb，可得2222416264162bbb，所以248b，解得2 3b，则3a.所以3,2 3B.故答案为：3,23【点睛】本题考查抛物线的方程和运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题第 11 页 共 19 页三、双空题16若521axx展开式中常数项为5，则a_，含5x的项的系数等于_.【答案】1 10【解析】根据二项式展开式的通项公式以及展开式的常数项，求得a的值，进而求得5x项的系数.【详解】二项式521axx展开式的通项公式是5105252551rrrrrrCaxaCxx，令51002r，解得4r，即455a C，解得1a.令51052r，解得2r=，所以5x的项的系数等于2510C.故答案为：1；10.【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，属于基础题.17已知函数22,xxafxxxa，若函数fx在 R 上是单调的，则实数a 的取值范围是 _；若对任意的实数1xa，总存在实数2xa，使得120fxfx，则实数a 的取值范围是_.【答案】2,2【解析】由函数fx在R上是单调的，以及一次函数的单调性可得fx在R上递增，可得0a，且22aa，可得a的范围；由对任意的实数1xa，总存在实数2xa，使得120fxfx，可得21220 xx，即22120 xx，可得a的范围【详解】依题意函数22,xxafxxxa在 R 上是单调的，当xa时，2fxx递增，所以fx在R上递增，所以0a，且22aa，解得2a.对任意的实数1xa，总存在实数2xa，使得120fxfx，可得第 12 页 共 19 页21220 xx，即22120 xx，即有20a，解得2a.故答案为：(1).2,(2).,2【点睛】本题考查分段函数的单调性和函数的值域求法，考查单调性的定义和转化思想，以及推理能力，属于中档题四、解答题18已知函数sin06fxx的图象向左平移2后与函数cos 22g xx图象重合.（1）求和的值；（2）若函数88h xfxgx，求h x的单调递增区间及图象的对称轴方程.【答案】（1）2，3；（2）5,1212kkkZ，212kx，kZ.【解析】（1）直接利用同角三角函数关系式的变换的应用求出结果（2）首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果【详解】（1）由题意得2，5sin2cos 2263fxxx2Q，3（2）sin 2cos 2881212h xfxg xxx2sin23x由232xk，解得212kx，第 13 页 共 19 页所以对称轴为212kx，kZ.由222232kxk，解得51212kxk，所以单调递增区间为5,1212kkkZ.,【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型19如图，四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，/ABCD，90BAD，24ABCD，PACD，在锐角PAD中，E 是边 PD 上一点，且33 2ADPDED.（1）求证：/PB平面 ACE；（2）当 PA 的长为何值时，AC 与平面 PCD 所成的角为30？【答案】（1）证明见解析；（2）当6PA时，AC 与平面 PCD 所成的角为30.【解析】（1）连接BD交AC于O，由相似三角形可得12ODOB，结合12DEEP得出/OEPB，故而/PB平面ACE；（2）过A作AFPD，可证AF平面PCD，根据30ACFo计算AF，得出ADF的大小，再计算PA的长【详解】（1）证明：连接BD 交 AC 于点 O，连接 OE，/CDABQ，12DOCDDEOBABEP，/OEPB又OEQ平面 ACE，PB平面 ACE，/PB平面 ACE.第 14 页 共 19 页（2）CDADQ，CDPA，ADPAACD 平面 P AD 作AFPD，F 为垂足，连接CF CDQ平面 PAD，AF平面 PAD.CDAF，有AFPD，CDPDDI，CF平面PCDACF就是 AC 与平面 PCD 所成的角，30ACF，2222ACADCD，222AF，11sin6AFADFAD，25cos1sin6ADFADF2222cos6PAADDPAD DPADP，6PA6PA时，AC 与平面 PCD 所成的角为30.【点睛】本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定与线面角的计算，属于中档题20数列na满足1a，120nnaa，其前 n 项和为nS，数列21nbn的前 n 项积为121n.（1）求nS和数列nb的通项公式；（2）设111nnnnncbbbb，求nc的前 n 项和nT，并证明：对任意的正整数 m、k，均有mkST.【答案】（1）21132nnS，21nbn；（2）111221nTn，证明见解析【解析】（1）利用已知条件建立等量关系求出数列的通项公式第 15 页 共 19 页（2）利用裂项相消法求出数列的和，进一步利用放缩法求出结论【详解】（1）11aQ，120nnaa，得na是公比为12的等比数列，112nna，11212113212nnnS，当2n时，数列21nbn的前n项积为121n，则1211213521211352121nnbbbnnbbbnnLL，两式相除得121211212121nbnnnnn，得21nbn，又1133b得11b，21nbn；（2）2212111132322mmS1121211112221 21212121 212121nnncnnnnnnnnQ1211112221kkTccckL，故mkST.【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前n项和的应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题21如图，过点2,2M且平行与x 轴的直线交椭圆2202xym m于 A、B 两点，且3AMMBuu uu ruu ur.第 16 页 共 19 页（1）求椭圆的标准方程；（2）过点 M 且斜率为正的直线交椭圆于段C、D，直线 AC、BD 分别交直线2x于点 E、F，求证：11MEMF是定值.【答案】（1）2212412xy；（2）证明见解析.【解析】（1）由题意求得,A B的坐标，代入椭圆方程求得m，由此求得椭圆的标准方程.（2）设出直线CD的方程，联立直线CD的方程和椭圆方程，可得关于x的一元二次方程，设出,C D的坐标，分别求出直线AC与直线BD的方程，从而求得,E F两点的纵坐标，利用根与系数关系可化简证得11MEMF为定值.【详解】（1）由已知可得：4,2A，4,2B代入椭圆方程得：12m椭圆方程为2212412xy；（2）设直线CD 的方程为22yk x，代入22224xy，得：222128(1)816160kxkk xkk设11,C x y，22,D xy，则有1228112k kxxk，21228161612kkx xk则 AC 的方程为112424k xyxx，令2x，得116224Ek xyxBD 的方程为222424k xyxx，令2x，得222224Fk xyx第 17 页 共 19 页1212441111226222EFxxMEMFyyk xk x122112121212124234221032622624xxxxx xxxk xxk x xxx222222818161621032121281816166241212k kkkkkk kkkkkk22222216323280803264482723681616161648kkkkkkkkkkkkk，证毕.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是难题22设函数2ln1fxxaxa，xexg xe.（1）若12g xg xt（其中12xx）（）求实数t 的取值范围；（）证明：12122x xxx；（2）是否存在实数a，使得fxg x在区间0,内恒成立，且关于x 的方程fxg x在0,内有唯一解？请说明理由.【答案】（1）（）01t；（）证明见解析；（2）存在，理由见解析.【解析】（1）（）求得g x的导函数gx，判断出g x的单调性，根据函数yg x与yt在R的图象有两个不同的交点可得t的范围；（）将证明12122x xxx成立，转化为证：112121xxx，结合g x在,1上的单调性，转化为证2211212212210 xxex，结合换元法以及导数的工具作用证得上述不等式成立，由此证得12122x xxx成立.（2）构造函数h xg xfx，首先判断出10h，利用10h求得a的可能取值为12a.利用导数证明当12a时，0h x在区间0,内恒成立，第 18 页 共 19 页且关于x的方程0h x在0,内有唯一解1x.【详解】（1）（）解：1xexgxeQg x在,1递增，1,递减，且max11g xg又Q当0 x时，0g x；当0 x时，0g x01t（）由（）知：1201xx，22121xx要证：12122x xxx成立，只需证：212121xxxg xQ在,1递增，故只需证：221221xg xg xgx即证：2211212212210 xxex令221 1ux，只需证：11201uueuu，即证：11ln012uuuu令11ln2uuuu，22102uuuQ，10u.证毕（2）令2ln10 xexh xg xfxxaxaxe10hQ，且需0h x在区间0,内恒成立10h，可得12a事实上，当12a时，213ln22xexh xxxe，下证：213ln022xexh xxxe法一：11xxxexxehxx e，令1xA xexxe，则2xAeexx在0,单调递减，第 19 页 共 19 页由于020Ae，15022Aee，存在010,2x使A x在00,x单调递增，0,x单调递减，且0020 xexe.020000001102xe xxA xA xexxex，h x在0,1递减，1,递增，min10h xh，0h x在区间0,内恒成立，当12a时，fxg x在区间0,内恒成立，且fxg x在0,内有唯一解1x，证毕.法二：11xxexhxxxe令xB xeex，则xBxee，所以B x在0,1递减，1,递增10B xB，即xeex，110 xexxxeh x在0,1递减，1,递增，min10h xh0h x在区间0,内恒成立当12a时，fxg x在区间0,内恒成立，且fxg x在0,内有唯一解1x，证毕.【点睛】本题主要考查数形结合，函数与不等式，以及函数恒成立问题，综合性较强，属于难题