【最新】2019-2020学年浙江省绍兴市诸暨中学高二(平行班)下学期期中数学试题(解析版).pdf

第 1 页 共 17 页2019-2020 学年浙江省绍兴市诸暨中学高二（平行班）下学期期中数学试题一、单选题1已知集合=|1Ax x，|2Bx x，则 A B=A(1，+)B(，2)C(1，2)D【答案】C【解析】本题借助于数轴，根据交集的定义可得【详解】由题知，(1,2)AB，故选 C【点睛】本题主要考查交集运算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查易错点是理解集合的概念及交集概念有误，不能借助数轴解题2“0 x”是“ln(1)0 x”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：由题意得，ln(1)001110 xxx，故是必要不充分条件，故选B【考点】1对数的性质；2充分必要条件3已知2log 7a，3log 8b，0.20.3c，则,a b c的大小关系为AcbaBabcCbcaDcab【答案】A【解析】利用利用0,1,2等中间值区分各个数值的大小【详解】0.200.30.31c；22log 7log 42；第 2 页 共 17 页331log 8log 92故cba故选 A【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与1的大小区别对待4设,x yR，向量(,1)ax，(1,)by，(2,4)c，且ac，/b c，则|ab（）A5B10C25D1【答案】B【解析】由题意,根据ac求得2x，得到向量a的坐标,再由/bc，求得2y得到向量b的坐标，再利用向量的坐标运算和模的公式，即可求解.【详解】ac，240 x，2x，/bc，42y，2y，3,1ab，10ab.故选：B.【点睛】本题主要考查了向量垂直与平行的坐标表示，向量的模的求解问题，熟记向量的坐标运算公式和平面向量的模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.5函数2eexxfxx的图像大致为()ABCD第 3 页 共 17 页【答案】B【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()xxeexfxf xf xx为奇函数，舍去A,1(1)0fee舍去 D;243()()2(2)(2)()2,()0 xxxxxxeexeexxexefxxfxxx，所以舍去C；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；由函数的单调性，判断图象的变化趋势；由函数的奇偶性，判断图象的对称性；由函数的周期性，判断图象的循环往复6设偶函数f(x)满足 f(x)=2x-4(x0），则|20 xfx=A|24x xx或B|04?x xx或C|06?x xx或D|22?x xx或【答案】B【解析】由偶函数f（x）满足()24xf x（x0），可得 f（x）=f（|x|）=24x，则 f（x-2）=f（|x-2|）=224x，要使 f（|x-2|）0，只需224x0，|x-2|2，解得 x 4，或 x0，故选 B 7已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin(2x+23)，则下面结论正确的是()A把 C1上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线C2B 把 C1上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线C2C把 C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线C2D 把 C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线C2第 4 页 共 17 页【答案】D【解析】把 C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到函数y=cos2（x+12）=cos（2x+6）=sin（2x+23）的图象，即曲线C2，故选 D点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言.函数sin()()yAxxR是奇函数()kkZ；函数sin()()yAxxR是偶函数+()2kkZ；函数cos()()yAxxR是奇函数+()2kkZ；函数cos()()yAxxR是偶函数()kkZ.8在ABC中，角,A B C的对边分别为a，b，c若ABC为锐角三角形，且满足 sin(12cos)2sincoscossinBCACAC，则下列等式成立的是（）A2abB2baC2ABD2BA【答案】A【解析】sin()2sincos2sincoscossinACBCACAC所以 2sincossincos2sinsin2BCACBAba，选 A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形.首先用两角和的正弦公式转化为含有，C的式子，用正弦定理将角转化为边，得到2ab.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.9已知可导函数fx的导函数fx，若对任意的xR，都有()()2fxfx，且()2020f x为奇函数，则不等式()20182xf xe的解集为（）A,0B0,C21,eD21,e【答案】B【解析】令()2()xf xg xe，()xR，从而求导()0g x，从而可判断()yg x单调递减，再由奇函数的性质可得，(0)2020f，从而可得到不等式的解集第 5 页 共 17 页【详解】解：设()2()xf xg xe，由()()2fxfx，得：()()2()0 xfxf xg xe，故函数()g x在R递减，由()2020f x为奇函数，得(0)2020f，(0)(0)22018gf，即(0)2018g，不等式()20182xf xe，()22018xf xe，即()(0)g xg，结合函数的单调性得：0 x，故不等式()20182xfxe的解集是(0,)，故选：B【点睛】本题考查了导数的综合应用及函数的性质的应用，构造函数的思想，阅读分析问题的能力，属于中档题10若不等式sin06xabx对1,1x上恒成立，则ab（）A23B56C1D2【答案】B【解析】将不等式sin06xabx看作两个因式，xab和sin6x，先讨论sin6x的正负，确定x对应区间，再对xab的正负进行判断，确定在交汇处取到等号，进而求解【详解】解析：法一：由题意可知：当1 5,6 6x，sin06x，当151,166x，第 6 页 共 17 页sin06x，故当1 5,6 6x，0 xab，当151,166x，0 xab，即有510653161026abaabbab，故选 B；法二：由sin6x右图像可得：显然有510653161026abaabbab，故选 B【点睛】本题考查双变量不等式中参数的求解问题，通过分段讨论确定交汇点是解题关键，方法二采用数形结合的方式进一步对方法一作了补充说明，建议将两种方法对比研究二、填空题11已知复数(1)(1 2)zii，其中i是虚数单位，则z的虚部为 _，z_.【答案】3 10【解析】根据复数运算计算，然后由虚部定义和模长的运算可求得结果【详解】复数(1)(12)13ziii，则复数z的虚部为3，22|(1)310z故答案为：3；10【点睛】本题考查复数的概念，复数的乘法和模的运算，属于简单题.第 7 页 共 17 页12已知函数2,166,1xxfxxxx，则2ff，fx的最小值是【答案】1;2662【解析】试题分析：如图根据所给函数解析式结合其单调性作出其图像如图所示，易知min12,62662fffxf.【考点】分段函数的图像与性质13在ABC中，D为边BC上一点，1,120,22BDDCADBAD.若ADC的面积为33，则AB_，BAC_.【答案】63【解析】根据面积公式得到2 32DC，31BD，再利用余弦定理求AB6，再求出AC，在ACB中，用余弦定理可求BAC.【详解】解：120ADB，则ADC60，13sin3322ADCASAD DCDCDC，故2 32DC，1312BDDC.根据余弦定理：2222cos120442 32 326ABADBDAD BD，故AB6在ADC中，第 8 页 共 17 页2222cos604 168 34 342412 3ACADCDAD CD.在ACB中，2222cosBCABCAAB CABAC213 33624123262412 3 cos,cos2BACBAC所以3BAC故答案为：6；3.【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式，意在考查学生的计算能力；基础题.14已知函数2(43)3,0()(01)log(1)1,0axaxa xf xaaxx且在R上单调递减，且关于 x 的方程|()|23xf x恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是_.【答案】1 2,)3 3【解析】【详解】试题分析：由函数()f x 在 R 上单调递减得43130,01,31234aaaa，又方程()23xf x恰有两个不相等的实数解，所以232,3解得aa，因此a的取值范围是1 2,)3 3.【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化为求函数值域的问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解15若函数3221fxxaxaR在0,内有且只有一个零点，则fx在1,1上的最大值与最小值的和为_【答案】3.【解析】分析：先结合三次函数图象确定在(0,)上有且仅有一个零点的条件，求出参数 a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.第 9 页 共 17 页详解：由2620fxxax得0,3axx，因为函数fx在(0,)上有且仅有一个零点且0=1f，所以0,033aaf，因此322()()10,3.33aaaa从而函数fx在 1,0上单调递增，在0,1上单调递减，所以max()0,f xfmin()min(1),(1)(1)f xfff，maxmin()()f xfx0+(1)143.ff点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等16已知平面向量,a b c满足604,1a babca，则c 的取值范围为_.【答案】5,11【解析】根据平面向量减法的模的几何意义画出图像，判断出c的轨迹，由此求得c的取值范围.【详解】设,OAa OBb OCc，依题意4ABab，设D是线段AB的中点，则a bODDAODDBODDAODDA2260ODDA，即2226026064ODDA，所以8OD，故22ODOAOD，即610OA，由于1caAC，所以C在以A为圆心，半径为1的圆上，所以11OAOCOA，即511c.故答案为：5,11.第 10 页 共 17 页【点睛】本小题主要考查向量减法的模的几何意义，考查向量数量积运算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.三、双空题17设lg 2,lg3ab，则10a b_（用数字表示），3lg8_（用,a b表示）【答案】6 3ba【解析】第一个空直接把对数形式转化为指数形式，利用指数的运算性质求解即可；第二个空直接利用对数的运算性质求解即可【详解】解：2alg，3blg，102a，103b，1010 10236a bab2alg，3blg，33833238lglglglglgba故答案为6，3ba【点睛】本题主要考查对数以及指数的运算性质，属于基础题四、解答题18在ABC中，内角A，B，C 所对的边分别为,a b c.已知tan()24A.（1）求2sin 2sin2cosAAA的值；（2）若,34Ba，求ABC的面积.【答案】（1）25；（2）9【解析】（1）利用两角和与差的正切公式，得到1tan3A，利用同角三角函数基本函数关系式得到结论；（2）利用正弦定理得到边b的值，根据三角形，两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积.试题解析：（1）由tan()24A，得1tan3A，所以22sin 22sincos2 tan2sin 2cos2sincoscos2tan15AAAAAAAAAA.第 11 页 共 17 页（2）由1tan3A可得，103 10sin,cos1010AA.3,4aB，由正弦定理知：3 5b.又2 5sinsin()sincoscossin5CABABAB，所以112 5sin33 59225ABCSabC.【考点】1.同角三角函数基本关系式；2.正弦定理；3.三角形面积公式.19已知函数23()cossin()3 cos,34f xxxxxR（1）求 f(x)的单调递增区间；（2）求 f(x)在闭区间44，上的最大值和最小值.【答案】（1）5,1212kk；（2）minmax11()()24，f xf x.【解析】（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得1()sin(2)23f xx，由222232kxk得单调增区间；（2）利用函数的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域，在求出函数的最值【详解】解：由23()cossin()3 cos34f xxxx23cos(sincoscossin)3cos334xxxx2133sincoscos224xxx133sin2(1cos2)444xx1sin(2)23x（1）由222232kxk得5()1212kx kkZ，即单调增区间为5,()1212kkkZ；第 12 页 共 17 页（2）由于,44x，所以52,366x，所以1sin(2)1,32x，故1 1(),2 4f x，故函数的最小值为12，函数的最大值为14【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题20如图，在平行四边形ABCD中，,E F分别是,BC DC上的点，且满足,2BEEC DFFC，记ABa，ADb，试以,a b为平面向量的一组基底.利用向量的有关知识解决下列问题；（1）用,a b来表示向量,DE BF；（2）若3,2ABAD，且3BF，求DE；【答案】（1）见解析；（2）7【解析】（1）利用向量的线性运算，直接用基底表示向量；（2）由（）可知：13BFADAB，12DEABAD，故2222121()339BFADABADAD ABAB，可得12cosBAD，即可求得求|DE|2，从而求得|DE|【详解】（1）在ABCD中，2DFFC，111222DEDCCEABCBABADab111333BFBCCFADCDADABba第 13 页 共 17 页（2）由（1）可知：13BFADAB，12DEABAD2222121339BFADABADAD ABAB3,2ABAD且3BF222213223cos339BAD1cos2BAD22221124DEABADABAB ADAD221133 2cos2961742BAD，7DE【点睛】本题考查了向量的线性运算，向量的数量积运算，考查计算能力，属于中档题21已知关于x的函数22fxxkx，xR.（1）若函数fx是R上的偶函数，求实数k的值；（2）若函数21xg xf，当2(0,x时，0g x恒成立，求实k数的取值范围；（3）若函数212h xfxx，且函数h x在0,2上两个不同的零点1x，2x，求证：12114xx.【答案】（1）0k；（2）7,)3；（3）见解析.【解析】（1）由fx是R上的偶函数，可得fxfx恒成立，从而可得结果；（2）当0,2x时，0g x恒成立，即2212120 xxk恒成立，令21xu，0,3u，只需2kuu在0,3u时恒成，从而可得结果；（3）不妨设1202xx，可得fx在0,1上至多一个零点，若1212xx，不合题意；可得12012xx；由10fx，20fx，可得2121124xxx.第 14 页 共 17 页【详解】（1）fx是R上的偶函数，fxfx，即2222xkxxkx对xR都成立，0k.（2）当0,2x时，0g x恒成立，即2212120 xxk恒成立.令21xu，则0,3u，2212120 xxk在0,2x时恒成立等价于：2kuu在0,3u时恒成立，又227333uu，k的取值范围是7,3.（3）不妨设1202xx，因为21,01,21,12,kxxh xxkxx，所以fx在0,1上至多一个零点，若1212xx，则120 xx，而12102xx，矛盾.因此12012xx；由10h x，得11kx，由20h x，得222210 xkx，22211210 xxx，即212122xxxx，2121124xxx.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、函数的零点以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法：分离参数afx恒成立(maxafx即可)或afx恒成立（minafx即可）；数形结合(yfx图象在yg x上方即可)；讨论最值min0fx或max0fx恒成立；讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.22设函数2ln1xxxaxbxg xefxex，.第 15 页 共 17 页（1）当0b时，函数fx有两个极值点，求a的取值范围；（2）若yfx在点11f，处的切线与x轴平行，且函数h xfxg x在1x，时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，求a的取值范围.【答案】（1）10,2e；（2）1,11,2e【解析】分析：（1）求得导函数()ln2fxxax，题意说明()fx有两个零点，即ln2xax有两个解，或直线2ya与函数ln()xm xx的有两个交点，可用导数研究()m x 的性质（单调性，极值等），再结合图象可得a的范围；（2）首先题意说明(1)0,(1)0ff，从而有2ba且1a，其次1x时，()()()0h xfxg x恒成立，因此()()xh x的最小值大于0，这可由导数来研究，从而得出a的范围详解：（1)）当0b时，2lnfxxxaxx，ln2fxxax，所以2lnfxxxaxx有两个极值点就是方程ln20 xax有两个解，即2ya与lnxm xx的图像的交点有两个.21lnxmxx，当0,xe时，0m x，m x单调递增；当,xe时，0m x，m x单调递减.m x有极大值1e又因为0,1x时，0m x；当1,x时，102m xe.当1,2ae时2ya与lnxm xx的图像的交点有0 个；当,0a或12ae时2ya与lnxm xx的图像的交点有1 个；当10,2ae时2ya与lnxm xx的图象的交点有2 个；综上10,2ae.（2）函数yfx在点1,1f处的切线与x轴平行，所以10f且10f，因为ln2fxxaxb，第 16 页 共 17 页所以2ba且1a；2ln1xh xxxaxbxeex在1,x时，其图像的每一点处的切线的倾斜角均为锐角，即当1x时，0hxfxgx恒成立，即ln220 xxeaxae，令ln22xt xxeaxae，12xtxeax设12xxeax，21xxex，因为1x，所以21,1xeex，0 x，x在1,单调递增，即tx在1,单调递增，112txtea，当12ea且1a时，0tx，所以ln22xt xxeaxae在1,单调递增；10t xt成立当12ea，因为tx在1,单调递增，所以1120tea，1ln2220ln2taaaa，所以存在01,ln2xa有00tx；当01,xx时，0tx，h x单调递减，所以有010t xt，0t x不恒成立；所以实数a的取值范围为1,11,2e.点睛：本题考查函数的单调性、极值、零点、函数与方程、不等式等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，考查数形结合、分类与整合、转化与化归等数学思想解题时转化的方法有多种多样，第（1）小题人等价转化还可这样转化求解：当0b时，2lnfxx xaxx，ln2fxxax，令ln2p xxax，1122axpxaxx,0a时，0px，p x在0,单调递增，不符合题意；第 17 页 共 17 页0,a时，令0px，10,2xa，p x在10,2a单调递增；令0p x，1,2xa，p x在1,2a单调递减；令1ln2102paa，10,2ae又因为120pa，22111ln0442paaa，且211124aa，所以10,2ae时，2lnfxxxaxx有两个极值点.即2ya与lnxm xx的图像的交点有两个.