【金版学案】高中数学1.3正弦定理、余弦定理的应用练习苏教版必修5.pdf

13 正弦定理、余弦定理的应用1(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，把视线在水平线上方的角称为仰角，视线在水平线下方的角称为俯角，如图1.(2)方位角：从指北方向线按顺时针转到目标方向线所成的水平角，如方位角是45，指北偏东45，即东北方向(3)方向角：从指定方向到目标方向线所成的水平角，如南偏西60，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60，如图2 所示(4)李强出校门向东，前进200 米，再向北走200 米便回到家中，李强家在学校的哪个方向？答案：东偏北 45 度方向 2002米处2地面上三个点A、B、C，若 B在 A 正北方向上，C 在 A北偏东20方向上，C在 B东偏北 25方向上，则C在 A东偏北 70方向上，C 在 B北偏东 65 方向上，A在 C西偏南 70方向上，B在 C西偏南 25方向上，B在 C南偏西 65方向上3(1)山下 B点望山上 A点仰角为30，则山上A点望山下B点俯角为30(2)方位角是指从正北方向顺时针旋转到达目标方向的水平角若水平面上点A处测得点 B的方位角是120，则点B在点 A东偏南 30 方向上4(1)A 点望 B、C的视角是指 BAC的大小(2)在ABC中，A 105，B30，则 C点望 A、B的视角为455(1)坡度是指斜坡所在平面与水平面 的夹角(2)沿坡度为30的斜坡直线向上行走100 米，实际升高了50 米6东北方向是指东偏北45的方向7(1)三角形面积：ABC 中用a 和 BC边上的高 h 表示，三角形面积的公式为S12ah(2)ABC 中，已知AB AC 5，BC 6，则 ABC的面积为12(2)解析：由已知易得出BC边上的高为4，所以 S12 6412.8(1)ABC中用 a、b 和角 C表示三角形面积的公式为S12absin_C(2)ABC中，已知A30，b4，c3，则 ABC的面积为3解析：(2)由三角形面积公式知S12bcsin A3.9 ABC 中，A与 BC互补，A2与BC2互余，所以sin(B C)sin_A，cos(BC)cos_A，sinBC2cosA2，cosBC2sinA210设Rt ABC的两直角边长为a，b，则它的内切圆半径r 12(a ba2b2)11设 ABC的周长为 2p，内切圆半径为r，则 ABC的面积 pr 12S 12absin C12acsin_B12bcsin_?基础巩固一、选择题1在某测量中，设点A在点 B的南偏东3427，则点B在点 A的(A)A北偏西3427B北偏东5533C北偏西5533D南偏西 55 332如图，为了测量某湖泊两侧A，B 的距离，绘出下列数据，其中不能唯一确定A，B两点间的距离的是(D)A角 A，B和边 b B角 A，B和边 a C边 a，b 和角 C D边 a，b 和角 A 解析：根据正弦定理和余弦定理可知，当知道两边和其中一边的对角解三角形时，得出的结果不一定唯一，故选D.3已知两座灯塔A和 B与海洋观察站C的距离都等于6 km，灯塔 A在观察站 C的北偏东 20，灯塔B在观察站C南偏东 40，则灯塔A与灯塔 B的距离为(A)A63 km B33 kmC6 km D 23 km解析：如下图，由余弦定理，得 AB2AC2BC22AC BC cos120 363636108，AB 63 km.4如图，设A，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB 45，CAB 105，则 AB(B)A503 mB502 mC252 mD.2522m解析：ACB 45，CAB 105，ABC 30.根据正弦定理得50sin 30 ABsin 45，解得 AB 502 m.5某人向正东方走了3 km后，突然向右转150，然后朝此方向前进了3 km，此时，他离出发点有(A)A.3 km B23 kmC3 km D 33 km解析：依题作出题图(如图所示)，由余弦定理知AC2AB2BC22AB BC cos 30 39233323，AC 3 km.6如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC 10 m，从 D，C两地测得A点的仰角分别是 30和 45，则 A点离地面的高AB等于(D)A10 mB53 mC5(31)mD5(31)m解析：AB 22AC 22DCsin 15 sin 30 5(31)m.二、填空题7某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40 m后，望见塔在正北，若测途测得塔的最大仰角为30，则塔高为_ _m.解析：设塔高为AB，某人由C前进到 D，依题意可得CD 40 m，ACD 90 6030，作 AE CD于点 E，则AEB 30，则 AD CDsin30 20，AE ADsin60 103，AB AEtan 30 1033310 m.答案：10 8 一树干被台风吹断，折断部分与残存树干成30角，树干底部与树尖着地处相距5 m，则树干原来的高度为_解析：如右图，AB AC tan 60 53，BC ACsin 30 10，AB BC(5310)m.答案：(10 53)m三、解答题9一船以每小时15 km的速 度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东 60，行驶 4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15，求此时船与灯塔的距离解析：如题图，由正弦定理得，BCsin（90 60）15 4sin 45，BC 302 km.此时船与灯塔的距离为302 km.10如下图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45，在它的南偏东60的 B处测得塔顶的仰角为30，AB的距离是84 m，求塔高解析：设塔高 CD x m，则 ADx m，DB 3x m.在ABD 中，利用余弦定理得842xtan 45 2xtan 30 223x2cos(9060)，解得 x 127(负值舍去)，故塔高为127 m.?能力升级一、选择题11 已知两座灯塔A和 B与海洋观察站C的距离相等，灯塔 A在观察站C的北偏东 40，灯塔 B在观察站C的南偏东 60，则灯塔A在灯塔 B的(B)A北偏东10B北偏西10C南偏东10D南偏西10解析：如题图，结合题意得 ACB 180 60 40 80.AC BC，ABC 50，60 50 10.12若水平面上，点B在点 A南偏东 30方向上，则点A处测得点 B的方位角是(C)A60B 120C150D210解析：根据方位角的意义，可得点B的方位角是180 30 150.13有一长1 km的斜坡，它的倾斜角为20，现要将倾斜角改为10，则坡底要伸长(A)A1 km Bsin 10 kmCcos 10 km Dcos 20 km解析：如图，ABD 20 10 10，AD AB 1 km.二、填空题14(2014新课标全国卷)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C 为测量观测点 从 A点测得 M点的仰角 MAN 60，C点的仰角CAB 45以及 MAC 75；从 C点测得 MCA 60.已知山高BC 100 m，测山高MN _m.解析：利用三角函数的定义及正弦定理求解根据图示，AC1002m.在MAC中，CMA 180 75 60 45.由正弦定理 得ACsin 45 AMsin 60?AM 1003 m.在AMN中，MNAMsin 60，MN 100332150(m)答案：150 15我舰在敌岛南偏西50相距 12 海里的 B处，发现敌舰正由岛A沿北偏西10的方向以 10 海里/时的速度航行，我舰要用2 小时追上敌舰，则需要的最小速度为_解析：如题图，BAC 180 10 50 120，AB 12，AC 210 20，BC212220221220cos 120 784，BC 28，速度为28214(海里/时)答案：14 海里/时三、解答题16如右图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20 海里的 B处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距 10 海里 C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援(角度精确到1)?解析：连接 BC，由余弦定理得BC220210222010cos 120 700.于是，BC 107.sinACB20sin 120 107，sinACB 37217，ACB90，ACB 71.乙船应朝北偏东约71方向沿直线前往B处救援