【最新】2020届四川省成都市高中毕业班第三次诊断性检测数学(文)试题(解析版).pdf

第 1 页 共 22 页2020 届四川省成都市高中毕业班第三次诊断性检测数学（文）试题一、单选题1已知集合0,Ax，0,2,4B.若AB，则实数x的值为（）A0 或 2 B 0 或 4 C2 或 4 D0 或 2或 4【答案】C【解析】利用子集的概念即可求解.【详解】集合0,Ax，0,2,4B若AB，则集合A中的元素在集合B中均存在，则0,2x或 4，由集合元素的互异性可知2x或 4，故选：C【点睛】本题考查了子集的概念，理解子集的概念是解题的关键，属于基础题.2若复数z满足25zii（i为虚数单位），则 z 在复平面上对应的点的坐标为（）A2,5B2,5C5,2D5,2【答案】D【解析】根据题意两边同时除以i可求出复数z，然后即可求出z 在复平面上对应的点的坐标.【详解】解：因为25zii，所以2552izii，故z 在复平面上对应的点的坐标为5,2.故选：D.【点睛】本题考查复数与复平面上点的坐标一一对应的关系，考查复数除法的四则运算，属于基础题.3命题“0 xR，20010 xx”的否定是（）第 2 页 共 22 页A0 xR，20010 xxBxR，210 xxC0 xR，20010 xxDxR，210 xx【答案】D【解析】含有全称量词和特称量词的否定是：否量词，否结论，不否范围.【详解】解：命题“0 xR，20010 xx”的否定是xR，210 xx.故选：D.【点睛】本题考查含有全称量词和特称量词的命题的否定，熟练掌握否定的规则是解题的关键，本题属于基础题.4如图是某几何体的正视图和侧视图，则该几何体的俯视图不可能是（）ABCD【答案】A【解析】直接利用三视图和直观图的转换的应用求出结果.【详解】解：根据几何体的三视图可知该几何体为三棱柱，当选 A 时，正视的中间的竖线应为虚线，选项BCD 均可能，故选：A【点睛】此题考查三视图与几何体之间的转换，考查学生的转换能力和空间想象能力，属于基础题.5已知函数()22xxf x，则2log 3f（）A2 B83C3 D103第 3 页 共 22 页【答案】B【解析】根据函数解析式及指数对数恒等式计算可得；【详解】解：因为()22xxfx所以22log 3log 3218log 322333f故选：B【点睛】本题考查函数值的计算，对数恒等式的应用，属于基础题.6已知实数,x y满足102050 xyxy，则2zxy的最大值为（）A4 B 6 C8 D10【答案】C【解析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABC及其内部，再将目标函数2zxy对应的直线进行平移，可得当3x，2y时，2zxy取得最大值8【详解】作出实数x，y满足1 0,2 0,5 0 xyxy表示的平面区域，得到如图的ABC及其内部，其中(3,2)A，(1,2)B，(1,4)C设(,)2zF x yxy，将直线:2lzxy进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值第 4 页 共 22 页3,22 328maxzF故选：C【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数2zxy的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题7为迎接大运会的到来，学校决定在半径为20 2m的半圆形空地O的内部修建一矩形观赛场地ABCD，如图所示，则观赛场地的面积最大值为（）A4002mB24002mC6002mD8002m【答案】D【解析】连接 OD，设COD，则sinCDOD，cosOCOD，2ABCDSOC CD根据三角函数的性质求出面积最值；【详解】如图连接 OD，设COD，0,2则sin20 2sinCDOD，cos20 2 cosOCOD所以2220 2 cos20 2sin800sin 2ABCDSOC CD因为0,2，所以20,，所以sin 20,1，所以0,800ABCDS，当4时max800ABCDS故选：D【点睛】第 5 页 共 22 页本题考查三角函数的应用，属于基础题.8在等比数列na中，已知19nnna a，则该数列的公比是（）A 3 B 3 C3D9【答案】B【解析】由已知结合等比数列的性质即可求解公比.【详解】解：因为190nnna a，所以11111999nnnnnnnna aaaaa，所以29q，所以3q或3q，当3q时，109nnna a不合题意，故选：B【点睛】此题考查了等比数列的性质的简单应用，属于基础题.9已知函数33fxxx，则“1a”是“1f af”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】对函数33fxxx进行求导可得到：2()31311fxxxx从而可得出函数33fxxx在,1x上递增，在1,1x递减，在1,x递增，根据函数的单调性可知：当1a时，有1f af成立，即充分性成立；当1faf时，a的范围不一定是1a，可能11a，即必要性不成立，所以“1a”是“1f af”的充分不必要条件.【详解】由题意可得：2()31311fxxxx，令()0fx解得1x或1x，即函数33fxxx在,1x上递增，在1,1x递减，在1,x递增，根据函数的单调性：第 6 页 共 22 页当1a时，有1f af成立，即充分性成立；当1f af时，a的范围不一定是1a，可能11a，即必要性不成立，所以“1a”是“1faf”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题考查了函数的单调性及充分条件，必要条件的判断，属于一般题.10已知1F，2F是双曲线222210,0 xyabab的左，右焦点，经过点2F且与x轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A，且1264F AF.则该双曲线离心率的取值范围是（）A5,7B5,13C3,13D7,3【答案】B【解析】由题意画出图形，求得122tanaF AFb，再由1264F AF求得ba的范围，结合双曲线的离心率公式得答案【详解】如图，由题意，(,)bcA ca，12|2F Fc，则12122|22tan|F FcaF AFbcAFba由1264F AF，得3213ab，即 22 3ba21()5,13cbeaa故选：B第 7 页 共 22 页【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线的离心率的取值范围的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11在三棱锥PABC中，ABBC，P在底面ABC上的投影为AC的中点D，1DPDC.有下列结论：三棱锥PABC的三条侧棱长均相等；PAB的取值范围是,42；若三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，则球O的体积为23；若ABBC，E是线段PC上一动点，则DEBE的最小值为622.其中所有正确结论的编号是（）ABCD【答案】C【解析】根据三角形全等判断，根据sinPAB的值和三角形的内角和得出PAB的范围，计算外接球半径判断，将棱锥侧面展开计算最短距离判断【详解】解：如图1，ABBC，D是AC的中点，DADBDC，又PD平面ABC，RtPDARtPDBRTPDC，PAPBPC，故 正确；PAPB，PABPBA，又PABPBAAPB，2PAB，过P作PMAB，M为垂足，如图2，则1PMPD，又222PAPDAD，12sin22PMPABPA，4PAB，故 正确；ABBC，D为平面ABC截三棱锥外接球的截面圆心，设外接球球心为O，则O在直线DP上，如图3，设 DOh，则2(1)1hh，解得0h，故D为外接球的球心外接球的体积为344133，故 错误第 8 页 共 22 页若ABBC，则2BC，又2PBPC，故PBC是等边三角形，将平面PCD沿PC翻折到平面PBC上，如图4，图 5.则DEBE的最短距离为线段BD的长6045105BCD，2BC，1CD，6221221 cos105232BD，故 正确故选：C【点睛】本题考查了棱锥的结构特征，棱锥与外接球的位置关系，属于中档题12已知函数()sin1(0,01)4f xAxA的图象经过点20,2，且将图象向左平移3个长度单位后恰与原图象重合.若对任意的12,0,x xt，都有122 fxfx成立，则实数t的最大值是（）A34B23C712D2【答案】A【解析】将点20,2代入解析式，求出A，然后再利用三角函数的平移变换求出，再由12minmax2fxfx，结合正弦函数的性质即可求解.【详解】函数()sin1(0,01)4f xAxA的图象经过点20,2，第 9 页 共 22 页可得2sin142A，解得12A，函数()sin1(0,01)4f xAxA的图象向左平移3个长度单位可得12 sin314g xx，根据两函数的图象重合，可知32,kkZ，解得2,3kkZ，又因为01，所以23，对任意的12,0,x xt，都有122 fxfx成立，则12minmax2 fxfx，由12,0,x xt，则12222,34344 34xxt，若要实数t取最大值，由2max1min2fxfx，只需min121222fx，所以23344t，解得34t，所以实数t的最大值是34.故选：A【点睛】本题考查了三角函数的平移变换求解析式、三角不等式恒成立问题、正弦函数的性质，属于中档题.二、填空题13已知向量1,a，2,3b，且 ab，则实数的值为 _.【答案】23【解析】由ab，故1230a b，即可解得；第 10 页 共 22 页【详解】解：因为1,a，2,3b，且ab，所以1230a b，解得23故答案为：23【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，属于基础题.14某实验室对小白鼠体内x，y两项指标进行研究，连续五次实验所测得的这两项指标数据如下表：x120110125130115y9283909689已知y与x具有线性相关关系，利用上表中的五组数据求得回归直线方程为ybxa.若下一次实验中170 x，利用该回归直线方程预测得117y，则b的值为_.【答案】0.54【解析】由已知表格中的数据，求得x和y，代入回归方程，再把点170,117代入ybxa，联立方程组即可求解b的值.【详解】解：由已知表格中的数据，求得：1201101251301151205x，9283909689905y，则12090ba，又因为下一次实验中170 x，利用该回归直线方程预测得117y，则170117ba，联立 ，解得：0.54b.故答案为：0.54.【点睛】本题考查线性回归方程的求法，明确线性回归方程恒过样本中心点是关键，属于基础题.第 11 页 共 22 页15设数列na的前n项和为nS，若15a，510S，且nSn是等差数列.则12310aaaa的值为 _.【答案】792【解析】首先求出nSn的通项公式，即可得到232344nSnn，再利用作差法求出31322nan，最后利用分组求和计算可得；【详解】解：因为15a，510S，且nSn是等差数列，设公差为d，所以15S，525S，所以513544SSd，所以32344nSnn，所以232344nSnn；当2n时，213231144nSnn；减得31322nan，显然15a符号故31322nan，当14n时0na，5n时0na所以12310aaaa41102356789aaaaaaaaaa4104SSS4102SS2232332344101044442357911222故答案为：792【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于中档题.第 12 页 共 22 页16已知点F为抛物线220ypx p的焦点，经过点F且倾斜角为4的直线与抛物线相交于A，B点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点M.则4pFM的值为_.【答案】2【解析】先写出过点F且倾斜角为4的直线方程，然后与抛物线方程联立成方程组，消元后利用根与系数的关系得到线段AB的中点坐标，从而可得到线段AB的垂直平分线方程，进而可求出点M的坐标，于是就得到FM的值，即可得结果.【详解】解：抛物线220ypx p的焦点(,0)2pF，则经过点F且倾斜角为4的直线为2pyx，设1122(,),(,)A x yB xy，线段AB为00(,)N xy，由222pyxypx，得22304pxpx，所以12003,22xxpxyp，所以线段AB的垂直平分线方程为3()2pypx，令0y=，得52px，所以5(,0)2pM，所以5222ppFMp，所以4422ppFMp，故答案为：2【点睛】此题考查抛物线方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，运用了根与系的关系，考查化简运算能力，属于中档题.三、解答题17某公司为加强对销售员的考核与管理，从销售部门随机抽取了2019 年度某一销售小组的月均销售额，该小组各组员2019 年度的月均销售额（单位：万元）分别为：3.35，3.35，3.38，3.41，3.43，3.44，3.46，3.48，3.51，3.54，3.56，3.56，3.57，3.59，3.60，第 13 页 共 22 页3.64，3.64，3.67，3.70，3.70.（）根据公司人力资源部门的要求，若月均销售额超过3.52 万元的组员不低于全组人数的65%，则对该销售小组给予奖励，否则不予奖励.试判断该公司是否需要对抽取的销售小组发放奖励；（）从该销售小组月均销售额超过3.60 万元的销售员中随机抽取2 名组员，求选取的 2 名组员中至少有1 名月均销售额超过3.68 万元的概率.【答案】（）不需要对该销售小组发放奖励；（）710.【解析】（）求出月均销售额超过3.52万元的销售员占该小组的比例，与65%比较判断即可；（）由题可知，月均销售额超过3.60万元的销售员有5 名，其中超过3.68 万元的销售员有 2 名，记为1A，2A，其余的记为1a，2a，3a，利用列举法，列举出5 名销售员中随机抽取2 名的所有结果和至少有1 名销售员月均销售额超过3.68万元的结果，最后根据古典概型求概率，即可得出结果.【详解】解：（）该小组共有11名销售员2019 年度月均销售额超过3.52万元，分别是：3.54，3.56，3.56，3.57，3.59，3.60，3.64，3.64，3.67，3.70，3.70，月均销售额超过3.52 万元的销售员占该小组的比例为1155%20，55%65%，故不需要对该销售小组发放奖励.（）由题可知，月均销售额超过3.60万元的销售员有5 名，其中超过3.68 万元的销售员有2 名，记为1A，2A，其余的记为1a，2a，3a，从上述 5 名销售员中随机抽取2 名的所有结果为：12,AA，11,A a，12,A a，13,A a，21,A a，22,A a，23,A a，12,a a，13,a a，23,aa，共有 10 种，其中至少有1 名销售员月均销售额超过3.68 万元的结果为：12,AA，11,A a，12,A a，13,A a，21,A a，22,A a，23,A a，共有 7 种，故选取的2 名组员中至少有1 名月均销售额超过3.68万元的概率为710P.【点睛】本题考查利用列举法写出基本事件和古典概率求概率，以及利用概率对实际问题进行评估，属于基础题.第 14 页 共 22 页18在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且()sin()()(sinsin)acABabAB.（）求角B的大小；（）若4b，求ac的最大值.【答案】（）3B；（）8.【解析】（）利用三角形的内角和定理可得()sin()(sinsin)acCabAB，再根据正弦定理的边角互化以及余弦定理即可求解.（）由（）可得2216acac，再利用基本不等式即可求解.【详解】解：（）在ABC中，sin()sin()sinABCC，()sin()(sinsin)acCabAB.由正弦定理，得ac cabab.整理，得222cabac.222122cabac.1cos2B.又0B，3B.（）4b，2216acac，即2()163acac，22acac，22()1632acac.21()164ac.8ac，当且仅当ac时等号成立.ac的最大值为8.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式，需熟记定理的内容，属于基础题.19如图，在多面体ABCDEF中，ADEF为矩形，ABCD为等腰梯形，/BCAD，2BC，4AD，且ABBD，平面ADEF平面ABCD，M，N分别为EF，第 15 页 共 22 页CD的中点.（）求证：/MN平面ACF；（）若2DE，求多面体ABCDEF的体积.【答案】（）证明见解析；（）10 33.【解析】（）取AD的中点O.连接OM，ON，可证/OMAF，/ONAC，然后利用平面/MON平面ACF，可证/MN平面ACF.（）将多面体分为四棱锥BADEF和三棱锥BCDE两部分，将B CDEV转化为VEBCD，然后利用四棱锥和三棱锥的体积公式分别求出然后求和即可.【详解】解：（）如图，取AD的中点O.连接OM，ON.在矩形ADEF中，O，M分别为线段AD，EF的中点，/OMAF.又OM平面ACF，AF平面ACF，/OM平面ACF.在ACD中，O，N分别为线段AD，CD的中点，/ONAC.又ON平面ACF，AC平面ACF，/ON平面ACF.又OMONO，,OM ON平面MON，平面/MON平面ACF又MN平面MON，/MN平面ACF.（）如图，过点C作CHAD于H.平面ADEF平面ABCD，平面ADEF平面ABCDAD，CH平面ABCD，CH平面ADEF.第 16 页 共 22 页同理DE平面ABCD.连接OB，OC.在ABD中，ABBD，4AD，122OBAD.同理2OC.2BC，等边OBC的高为3，即3CH.连接BE.ABCDEFBADEFB CDEBADEFEBCDVVVVV1111124323233332ADEFBCDSCHSDE10 33.【点睛】本题考查利用线线平行，线面平行和面面平行的判定定理和性质定理，考查分割法求多面体的体积，考查四棱锥和三棱锥的体积公式，考查学生的转化能力和计算能力，属于中档题.20已知函数lnxmefxxe，其中mR.（）当1m时，求函数fx的单调区间；（）当2m时，证明：0fx.【答案】（）单调递减区间为0,1，单调递增区间为1,；（）证明见解析.【解析】（）利用导数求函数fx的单调区间；（）先证明存在唯一的01,2x，使得00fx，再利用导数求出000201ln2xexxfxxe最小值，再利用基本不等式证明不等式.【详解】第 17 页 共 22 页解：（）当1m时，lnxefxxe.则1xefxex.fx在0,上单调递增（增函数+增函数=增函数），且 10f，当0,1x时，0fx；当1,x时，0fx.fx的单调递减区间为0,1，单调递增区间为1,.（）当2m时，2lnxefxxe.则21xefxex.fx在0,上单调递增，且1 110fe，1 2102f，存在唯一的01,2x，使得00fx.当00,xx时，0fx，即fx在00,x上单调递减；当0,xx时，0fx，即fx在0,x上单调递增，0002lnxefxefxx最小值.又0201xeex，即0201lnlnxex.化简，得002lnxx.000201ln2xexxfxxe最小值.01,2x，0000112220 xxxfxx最小值.当2m时，0fx.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调区间和最值，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21已知椭圆C：222210 xyabab的左焦点13,0F，点31,2Q在椭圆C上.（）求椭圆C的标准方程；（）经过圆O：225xy上一动点P作椭圆C的两条切线，切点分别记为A，B，直线PA，PB分别与圆O相交于异于点P的M，N两点.第 18 页 共 22 页（i）当直线PA，PB的斜率都存在时，记直线PA，PB的斜率分别为1k，2k.求证：121k k；（ii）求ABMN的取值范围.【答案】（）2214xy；（）（i）证明见解析；（ii）1 4,5 5.【解析】（）把点31,2Q代入椭圆方程，结合222abc，3c，即可求得椭圆的标准方程.（）（i）设点00,P xy,写出切线方程00yk xxy，联立方程组0022440yk xxyxy，再由0，结合韦达定理，写出12k k的表达式，化简得出结果;（ii）设点11,A x y，22,B xy，进而求得直线PA和PB的直线方程，结合两条直线的形式，可写出直线AB的方程，运用弦长公式求得ABMN，结合0y的范围，可求得ABMN的取值范围.【详解】（）椭圆C的左焦点13,0F，3c.将31,2Q代入22221xyab，得221314ab.又223ab，24a，21b.椭圆C的标准方程为2214xy.（）（i）设点00,P xy，设过点P与椭圆C相切的直线方程为00yk xxy.由0022440yk xxyxy，消去y，得2220000148440kxk ykxxykx.22220000644 4144kykxkykx.第 19 页 共 22 页令0，整理得22200004210 xkx y ky.由已知，则20122014yk kx.又22005xy，2200122200154144xxk kxx.（ii）设点11,A x y，22,B xy.当直线PA的斜率存在时，设直线PA的方程为111ykxxy.由11122440ykxxyxy，消去y，得2221111 1111148440kxkyk xxyk x.222211111111644 1 444kyk xkyk x.令0，整理得2221111 114210 xkx y ky.则11111122111444x yx yxkxyy.直线PA的方程为11114xyxxyy.化简，可得22111144x xy yyx，即1114x xy y.经验证，当直线PA的斜率不存在时，直线PA的方程为2x或2x，也满足1114x xy y.同理，可得直线PB的方程为2214x xy y.00,P xy在直线PA，PB上，101014x xy y，202014x xy y.直线AB的方程为0014x xy y.由00221444x xy yxy，消去y，得22200035816160yxx xy.01220835xxxy，20122016 1635yx xy.第 20 页 共 22 页201220116xxxyAB2222000022200644 3516161551635xyyyyy220420002220002 5 31312 533535yyyyyyy.又由（i）可知当直线PA，PB的斜率都存在时，PMPN；易知当直线PA或PB斜率不存在时，也有PMPN.MN为圆O的直径，即2 5MN.20220022002 5 3135314135352 5yyyyyABMN.又200,5y，2041 41,355 5y.ABMN的取值范围为1 4,5 5.【点睛】本题主要考查直线与椭圆相交时的有关知识,考查学生分析问题解决问题的能力.采用了设而不求的方法，运用韦达定理和弦长公式求得ABMN，结合椭圆纵坐标的有界性可求得范围，属于中档题.22在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为82324232xtyt（t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为26cosa，其中0a.（）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（）在平面直角坐标系xOy中，设直线l与曲线C相交于A，B两点.若点8 4,3 3P恰为线段AB的三等分点，求a的值.【答案】（）40 xy；2260 xyxa；（）4a.【解析】（）利用消参法消去参数t，即可将直线l的参数方程转化为普通方程，利用第 21 页 共 22 页互化公式222xy，cosx，将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程；（）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得出关于t的一元二次方程，根据韦达定理得出12tt和1 2t t，再利用直线参数方程中的参数t的几何意义，即可求出a的值.【详解】解：（）由于直线l的参数方程为82324232xtyt（t为参数），消去参数t，得直线l的普通方程为40 xy，由222xy，cosx，得曲线C的直角坐标方程为2260 xyxa.（）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，并整理，得25 264039tta，(*)设1t，2t是方程(*)的两个根，则有，得125 23tt，1 2649t ta，由于点8 4,3 3P恰为线段AB的三等分点，所以不妨设122tt，223250929at，解得：4a，符合条件0a和，.a的值为 4.【点睛】本题考查利用消参法将参数方程转化为普通方程，以及利用互化公式将极坐标方程转化为直角坐标方程，考查利用直线参数方程中的参数t的几何意义求参数值，考查化简运算能力.23已知函数12fxxx.第 22 页 共 22 页（）求不等式fxx的解集；（）记函数fx的最大值为M.若正实数a，b，c满足1493abcM，求1 93cacabac的最小值.【答案】（）1|3x x；（）36.【解析】（）根据零点分段去掉绝对值，分别求出x的取值范围，可得不等式的解集；（）由绝对值三角不等式求出()f x 的最大值为M，将其代入化简，根据柯西不等式求出最值，并写出取等条件【详解】解：（）不等式fxx即12xxx.当1x时，化简得3x.解得1x；当21x时，化简得21xx.解得113x；当2x时，化简得3x.此时无解.综上，所求不等式的解集为1|3x x.（）12123xxxx，当且仅当2x时等号成立.3M，即491abc.193413111cacababacabcaabc，又,0a b c，111111(49)abcabcabc211149abcabc212336.当且仅当11149abcabc,即16a，112b，118c时取等号，193cacabac的最小值为36.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，以及柯西不等式在求最值中的应用，属于中档题