专练13(几何压轴大题)2020中考数学考点必杀500题(通用版)(解析版)42513.pdf

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 2020 中考考点必杀 500 题 专练 13（几何压轴大题）（30 道）1（2019安徽省中考模拟）已知如图 1，在ABC 中，ACB90，BCAC，点 D 在 AB 上，DEAB交 BC 于 E，点 F 是 AE 的中点（1）写出 线段 FD 与线段 FC 的关系并证明；（2）如图 2，将BDE 绕点 B 逆时针旋转（090），其它条件不变，线段 FD 与线段 FC 的关系是否变化，写出你的结论并证明；（3）将BDE 绕点 B 逆时针旋转一周，如果 BC4，BE22，直接写出线段 BF 的范围 【答案】（1）结论：FDFC，DFCF理由见解析；（2）结论不变理由见解析；（3）2BF3 2 【解析】解：（1）结论：FDFC，DFCF 理由：如图 1 中，ADEACE90，AFFE，DFAFEFCF，FADFDA，FACFC A，DFEFDA+FAD2FAD，EFCFAC+FCA2FAC，CACB，ACB90，BAC45，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 DFCEFD+EFC2（FAD+FAC）90，DFFC，DFFC（2）结论不变 理由：如图 2 中，延长 AC 到 M 使得 CMCA，延长 ED 到 N，使得 DNDE，连接 BN、BMEM、AN，延长 ME 交 AN 于 H，交 AB 于 O BCAM，ACCM，BABM，同法 BEBN，ABMEBN90，NBAEBM，ABNMBE，ANEM，BANBME，AFFE，ACCM，CF12EM，FCEM，同法 FD12AN，FDAN，FDFC，BME+BOM90，BOMAOH，BAN+AOH90，AHO90，ANMH，FDFC（3）23 2BF 当点E落在AB上时，BF取得最大值，如图 5 所示，4BC，ACBC，90ACB，4 2AB，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 F是AE的中点，1=2EFABBE，又22BE，112 24 22 23 222BFBEEFBEABBE，即BF的最大值为3 2 图 5 当点E落在AB延长线上时，BF取得长最小值，如图 6 所示，4BC，ACBC，90ACB，4 2AB，F是AE的中点，1=2AFABBE，又22BE，114 24 22 2222BFABAFABABBE，即BF的最小值为2 图 6 综上所述，23 2BF【点睛】原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 本题考查等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题 2（2019山东省中考模拟）正方形ABCD中，E 是CD边上一点，（1）将ADE绕点 A 按顺时针方向旋转，使ADAB、重合，得到ABF，如图 1 所示.观察可知：与DE相等的线段是_，AFB _.（2）如图 2，正方形ABCD中，PQ、分别是BCCD、边上的点，且45PAQ，试通过旋转的方式说明：DQBPPQ（3）在（2）题中，连接BD分别交|24 xx于MN、，你还能用旋转的思想说明222BMDNMN.【答案】（1）BF，AED；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】(1)、ADE 绕点 A 按顺时针方向旋转，使 AD、AB 重合，得到ABF，DE=BF，AFB=AED(2)、将ADQ 绕点 A 按顺时针方向旋转 90，则 AD 与 AB 重合，得到ABE，如图 2，则D=ABE=90，即点 E、B、P 共线，EAQ=BAD=90，AE=AQ，BE=DQ，PAQ=45，PAE=45 PAQ=PAE，APEAPQ（SAS），PE=PQ，而 PE=PB+BE=PB+DQ，DQ+BP=PQ；(3)、四边形 ABCD 为正方形，ABD=ADB=45，如图，将ADN 绕点 A 按顺时针方向旋转 90，则 AD 与 AB 重合，得到ABK，则ABK=ADN=45，BK=DN，AK=AN，与（2）一样可证明AMNAMK，得到 MN=MK，MBA+KBA=45+45=90，BMK 为直角三角形，BK2+BM2=MK2，BM2+DN2=MN2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 考点：(1)、旋转的性质；(2)、全等三角形的判定与性质；(3)、勾股定理；(4)、正方形的性质 3（2019内蒙古自治区中考模拟）如图,ABC 内接于O,AB 是O 的直径,CD 平分ACB 交O 于点 D,交 AB 于点 F,弦 AECD 于点 H,连接 CE、OH.(1)延长 AB 到圆外一点 P,连接 PC,若 PC2=PBPA,求证:PC 是O 的切线;(2)求证:CFAE=ACBC;(3)若AFBF=32,O 的半径是13,求 tanAEC 和 OH 的长.【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)tanAEC=32，OH=1.【解析】(1)证明:PC2=PBPA,PCPB=PAPC,BPC=APC,PBCPCA,BAC=PCB,连接 OC,如图所示,AO=OC,ACO=BAC,ACO=PCB.AB 是O 的直径,ACB=90,BCO+ACO=90,BCO+PCB=90,PCO=90.OC 是半径,PC 是O 的切线.(2)证明:AB 是O 的直径,ACB=90.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 CD 平分ACB,ACD=FCB=45.AECD,CAE=45=FCB.在ACE 与CFB 中,CAE=FCB,AEC=FBC,ACECFB,ACCF=AEBC,CFAE=ACBC.(3)作 FMAC 于 M,FNBC 于 N,CQAB 于 Q,延长 AE、CB 交于点 K.CD 平分ACB,FM=FN.SACF=12ACFM=12AFCQ,SBCF=12BCFN=12BFCQ,ACFBCFSS=1212AC FMBC FN=1212CQ AFCQ BF,AFBF=ACBC.AB 是O 的直径,ACB=90且 tanABC=ACBC.AFBF=32且AEC=ABC,tanAEC=tanABC=ACBC=32.设 AC=3k,BC=2k,在 RtACB 中,AB2=AC2+BC2且 AB=213,(3k)2+(2k)2=(213)2,k=2(k=-2 舍去),AC=6,BC=4,FCB=45,CHK=90,原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 K=45=CAE,HA=HC=HK,CK=CA=6.CB=4,BK=6-4=2,OA=OB,HA=HK,OH 是ABK 的中位线,OH=12BK=1.【点睛】此题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰直角三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识的综合应用 4（2017营口市老边区柳树镇中学中考模拟）如图所示，四边形 ABCD 是正方形，M 是 AB 延长线上一点 直角三角尺的一条直角边经过点 D，且直角顶点 E 在 AB 边上滑动（点 E 不与点 A、B 重合），另一直角边与CBM 的平分线 BF 相交于点 F （1）如图 1，当点 E 在 AB 边得中点位置时：通过测量 DE、EF 的长度，猜想 DE 与 EF 满足的数量关系是 ；连接点 E 与 AD 边的中点 N，猜想 NE 与 BF 满足的数量关系是 ，请证明你的猜想；（2）如图 2，当点 E 在 AB 边上的任意位置时，猜想此时 DE 与 EF 有怎样的数量关系，并证明你的猜想【答案】（1）DE=EF；NE=BF；理由见解析；（2）DE=EF，理由见解析【解析】解：（1）DE=EF；NE=BF；理由如下：四边形 ABCD 为正方形，AD=AB，DAB=ABC=90，N，E 分别为 AD，AB 中点，AN=DN=12AD，AE=EB=12AB，DN=BE，AN=AE，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 DEF=90，AED+FEB=90，又ADE+AED=90，FEB=ADE，又AN=AE，ANE=AEN，又A=90，ANE=45，DNE=180ANE=135，又CBM=90，BF 平分CBM，CBF=45，EBF=135，在DNE 和EBF 中ADEFEBDNEBDNEEBF ，DNEEBF（ASA），DE=EF，NE=BF（2）DE=EF，理由如下：在 DA 边上截取 DN=EB，连接 NE，四边形 ABCD 是正方形，DN=EB，AN=AE，AEN 为等腰直角三角形，ANE=45，DNE=18045=135，BF 平分CBM，AN=AE，EBF=90+45=135，DNE=EBF，NDE+DEA=90，BEF+DEA=90，NDE=BEF，在DNE 和EBF 中ADEFEBDNEBDNEEBF ，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 DNEEBF（ASA），DE=EF 【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等，能正确地根据图 1 中证明DNE 与EBF 全等从而得到结论，进而应用到图 2 是解题的关键 5（2019山东省中考模拟）（1）（问题发现）如图 1，在 RtABC 中，ABAC2，BAC90，点 D 为 BC 的中点，以 CD 为一边作正方形 CDEF，点 E 恰好与点 A 重合，则线段 BE 与 AF 的数量关系为 （2）（拓展研究）在（1）的条件下，如果正方形 CDEF 绕点 C 旋转，连接 BE，CE，AF，线段 BE 与 AF 的数量关系有无变化？请仅就图 2 的情形给出证明；（3）（问题发现）当正方形 CDEF 旋转到 B，E，F 三点共线时候，直接写出线段 AF 的长 【答案】（1）BE=2AF；（2）无变化；（3）31 或3+1【解析】解：（1）在 RtABC 中，AB=AC=2，根据勾股定理得，BC=2AB=22，点 D 为 BC 的中点，AD=12BC=2，四边形 CDEF 是正方形，AF=EF=AD=2，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 0 BE=AB=2，BE=2AF，故答案为 BE=2AF；（2）无变化；如图 2，在 RtABC 中，AB=AC=2，ABC=ACB=45，sinABC=22CACB，在正方形 CDEF 中，FEC=12FED=45，在 RtCEF 中，sinFEC=22CFCE，CFCACECB，FCE=ACB=45，FCEACE=ACBACE，FCA=ECB，ACFBCE，BECBAFCA=2，BE=2AF，线段 BE 与 AF 的数量关系无变化；（3）当点 E 在线段 AF 上时，如图 2，由（1）知，CF=EF=CD=2，在 RtBCF 中，CF=2，BC=22，根据勾股定理得，BF=6，BE=BFEF=62，由（2）知，BE=2AF，AF=31，当点 E 在线段 BF 的延长线上时，如图 3，在 RtABC 中，AB=AC=2，ABC=ACB=45，sinABC=22CACB，在正方形 CDEF 中，FEC=12FED=45，在 RtCEF 中，sinFEC=22CFCE，CFCACECB，FCE=ACB=45，FCB+ACB=FCB+FCE，FCA=ECB，ACFBCE，BECBAFCA=2，BE=2AF，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 由（1）知，CF=EF=CD=2，在 RtBCF 中，CF=2，BC=22，根据勾股定理得，BF=6，BE=BF+EF=6+2，由（2）知，BE=2AF，AF=3+1 即：当正方形 CDEF 旋转到 B，E，F 三点共线时候，线段 AF 的长为31 或3+1 6（2019山东省中考模拟）如图 1，在Rt ABC中，90A，ABAC，点D、E分别在边AB、AC上，ADAE，连结DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点 （1）观察猜想图 1 中，线段PM与PN的数量关系是_，位置关系是_；（2）探究证明把ADE绕点A逆时针方向旋转到图2 的位置，连结MN、BD、CE，判断PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把ADE绕点A在平面内自由旋转，若4AD，10AB，请直接写出PMN面积的最大值【答案】（1）PMPN，PMPN；（2）PMN是等腰直角三角形，理由见解析；（3）PMN面积的最大值为492.【解析】解：（1）点P、N是CD、BC的中点 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 2 /PN BD，12PNBD 点P、M是CD、DE的中点/CEPM，12PMCE ABAC，ADAE BDCE PMPN/PN BD DPNADC/PM CE DPMDCA 90BAC 90ADCACD 90MPNDPMDPNDCAADC PMPN（2）结论：PMN是等腰直角三角形 证明：由旋转知，BADCAE ABAC，ADAE ABDACE SAS ABDACE，BDCE 由三角形中位线的性质可知，12PNBD，12PMCE PMPN PMN是等腰三角形 同（1）的方法得，/PM CE、DPMDCE 同（1）的方法得，/PN BD、PNCDBC DPNDCBPNCDCBDBC MPNDPMDPN 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 3 DCEDCBDBC BCEDBC ACBACEDBC ACBABDDBC ACBABC 90BAC 90ACBABC 90MPN PMN是等腰直角三角形；（3）由（2）得，PMN是等腰直角三角形，MN最大时，PMN的面积最大/DE BC且DE在顶点A上面时，MNAMAN最大值，连接 AM，AN，如图：在ADE中，4ADAE，90DAE 2 2AM 在ABC中，10ABAC，90BAC 5 2AN =7 2MNAMAN最大值 22211 11497 222 242PMNSPMMN最大值 故答案是：（1）PMPN，PMPN；（2）PMN是等腰直角三角形，理由见解析；（3）PMN面积的最大值为492【点睛】本题考查了三角形中位线的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、旋转的性质以及求最大面积问题等知识点，属压轴题目，综合性较强 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 4 7（2018河南省中考模拟）已知：在ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点；过点A作/AFBC，交 BE 的延长线于 F，连接 CF 1求证：四边形 ADCF 是平行四边形；2填空：当ABAC时，四边形 ADCF 是_形；当90BAC时，四边形 ADCF 是_形.【答案】（1）见解析；（2）矩；菱.【解析】证明：/AFBC，.AFEEBD 在AEF和DEB中 AFEDBEFEABEDAEDE，AEF.DEB AAS .AFBD AFDC 又/AFBC，四边形 ADCF 为平行四边形；2 当ABAC时，四边形 ADCF 是矩形；当90BAC时，四边形 ADCF 是菱形 故答案为矩，菱【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，得出AEFDEB是解题关键 8（2019江苏省中考模拟）如图，矩形ABCD中，6AB，8BC，点E在BC边的延长线上，连接DE，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 5 过点B作DE的垂线，交CD于点M，交AD边的延长线于点N.（1）连接EN，若BEBD，求证：四边形BEND为菱形；（2）在（1）的条件下，求BM的长；（3）设CEx，BNy，求y关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）8103BM；（3）2636xyx，902x.【解析】解：（1）证明：BD=BE，BMDEDBN=EBN 四边形 ABCD 是矩形，ADBC DNB=EBNDBN=DNB BD=DN 又 BD=BEBE=DN 又ADBC四边形 DBEN 是平行四边形 又BD=BE 平行四边形 DBEN 是菱形 （2）由（1）可得，BE=BD=22ABAD=10CE=BE-BC=2 在 RtDCE 中，DE=22CDCE=210 由题意易得MBC=EDC，又DCE=BCD=90 BCMDCE 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 6 BCBMDCDE862 10BMBM=8103（3）由题意易得BNA=EDC，A=DCE=90 NABDCE BNABDECE 2636yxx y=2636xx，其中 0 x92【点睛】此题主要考查勾股定理和三角形相似的综合应用 9（2019河南省中考模拟）如图（1），已知点 G 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，GEBC，垂足为点 E，GFCD，垂足为点 F（1）证明与推断：求证：四边形 CEGF 是正方形；推断：AGBE的值为 ：（2）探究与证明：将正方形 CEGF 绕点 C 顺时针方向旋转 角（045），如图（2）所示，试探究线段 AG 与 BE 之间的数量关系，并说明理由：（3）拓展与运用：正方形 CEGF 在旋转过程中，当 B，E，F 三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长 CG 交 AD 于点 H 若AG=6，GH=22，则 BC=原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 7 【答案】（1）四边形 CEGF 是正方形；2；（2）线段 AG 与 BE 之间的数量关系为 AG=2BE；（3）35【解析】（1）四边形 ABCD 是正方形，BCD=90，BCA=45，GEBC、GFCD，CEG=CFG=ECF=90，四边形 CEGF 是矩形，CGE=ECG=45，EG=EC，四边形 CEGF 是正方形；由知四边形 CEGF 是正方形，CEG=B=90，ECG=45，2CGCE，GEAB，2AGCGBECE，故答案为2；（2）连接 CG，由旋转性质知BCE=ACG=，在 RtCEG 和 RtCBA 中，CECG=22、CBCA=22，CGCE=2CACB，ACGBCE，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 8 2AGCABECB，线段 AG 与 BE 之间的数量关系为 AG=2BE；（3）CEF=45，点 B、E、F 三点共线，BEC=135，ACGBCE，AGC=BEC=135，AGH=CAH=45，CHA=AHG，AHGCHA，AGGHAHACAHCH，设 BC=CD=AD=a，则 AC=2a，则由AGGHACAH得62 22AHa，AH=23a，则 DH=ADAH=13a，CH=22CDDH=103a，由AGAHACCH得2632103aaa，解得：a=35，即 BC=35，故答案为 35【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.10（2018山东省中考模拟）如图，在ABC 中，BAC=90，AB=AC，点 E 在 AC 上（且不与点 A，C重合），在ABC 的外部作CED，使CED=90，DE=CE，连接 AD，分别以 AB，AD 为邻边作平行四边形 ABFD，连接 AF 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 9 （1）请直接写出线段 AF，AE 的数量关系 ；（2）将CED 绕点 C 逆时针旋转，当点 E 在线段 BC 上时，如图，连接 AE，请判断线段 AF，AE 的数量关系，并证明你的结论；（3）在图的基础上，将CED 绕点 C 继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变，结合图写出证明过程；若变化，请说明理由 【答案】(1)AF=2AE；（2）AF=2AE，证明详见解析；（3）结论不变，AF=2AE，理由详见解析.【解析】解：（1）如图中，结论：AF=2AE 理由：四边形 ABFD 是平行四边形，AB=DF，AB=AC，AC=DF，DE=EC，AE=EF，DEC=AEF=90，AEF 是等腰直角三角形，AF=2AE（2）如图中，结论：AF=2AE 理由：连接 EF，DF 交 BC 于 K 四边形 ABFD 是平行四边形，ABDF，DKE=ABC=45，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 0 EKF=180DKE=135，ADE=180EDC=18045=135，EKF=ADE，DKC=C，DK=DC，DF=AB=AC，KF=AD，在EKF 和EDA 中，EKDKEKFADEKFAD，EKFEDA，EF=EA，KEF=AED，FEA=BED=90，AEF 是等腰直角三角形，AF=2AE（3）如图中，结论不变，AF=2AE 理由：连接 EF，延长 FD 交 AC 于 K EDF=180KDCEDC=135KDC，ACE=（90KDC）+DCE=135KDC，EDF=ACE，DF=AB，AB=AC，DF=AC 在EDF 和ECA 中，DFACEDFACEDECE，EDFECA，EF=EA，FED=AEC，FEA=DEC=90，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 1 AEF 是等腰直角三角形，AF=2AE【点睛】本题考查四边形综合题，综合性较强 11（2019哈尔滨市双城区第六中学中考模拟）如图，点 M 是正方形 ABCD 的边 BC 上一点，连接 AM，点 E 是线段 AM 上一点，CDE 的平分线交 AM 延长线于点 F(1)如图 1，若点 E 为线段 AM 的中点，BM：CM1：2，BE10，求 AB 的长；(2)如图 2，若 DADE，求证：BF+DF2AF 【答案】(1)AB6；(2)证明见解析.【解析】解：(1)设 BMx，则 CM2x，BC3x，BABC，BA3x 在 RtABM 中，E 为斜边 AM 中点，AM2BE210 由勾股定理可得 AM2MB2+AB2，即 40 x2+9x2，解得 x2 AB3x6(2)延长 FD 交过点 A 作垂直于 AF 的直线于 H 点，过点 D 作 DPAF 于 P 点 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 2 DF 平分CDE，12 DEDA，DPAF 34 1+2+3+490，2+345 DFP904545 AHAF BAF+DAF90，HAD+DAF90，BAFDAH 又 ABAD，ABFADH(SAS)AFAH，BFDH RtFAH 是等腰直角三角形，HF2AF HFDH+DFBF+DF，BF+DF2AF【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质等知识点，熟练运用相关知识是解决问题的关键.12（2017湖北省中考模拟）如图 1，在矩形 ABCD 中，E 是 CB 延长线上一个动点，F、G 分别为 AE、BC 的中点，FG 与 ED 相交于点 H 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 3 (1)求证：HEHG(2)如图 2，当 BEAB 时，过点 A 作 APDE 于点 P 连接 BP，求PEPAPB的值(3)在(2)的条件下，若 AD2，ADE30，则 BP 的长为_ 【答案】（1）证明见解析；（2）2PEPAPB；（3）BP 的长为6+22【解析】（1）延长 BC 至 M，且使 CMBE，连接 AM，ABMDCE（SAS）DECAMB EBCM，BGCG G 为 EM 的中点 FG 为AEM 的中位线 FGAM HGEAMBHEG HEHG(2)过点 B 作 BQBP 交 DE 于 Q 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 4 由八字型可得：BEQBAP BEQBAP（ASA）PAQE PEPAPEEQPQ2PBPBPB(3)ADECED30 CE3CD BEBCCD23CD，CD31 DE2CD2 32 ADE30 APEQ1，DP3 PQ2 321331 BP6+22 13（2019陕西省中考模拟）（1）问题发现 如图 1，ACB 和DCE 均为等边三角形，点 A、D、E 在同一条直线上，连接 BE 填空：AEB 的度数为 ；线段 AD、BE 之间的数量关系为 （2）拓展研究 如图 2，ACB 和DCE 均为等腰直角三角形，ACBDCE90，点 A、D、E 在同一条直线上，CM为DCE 中 DE 边上的高，连接 BE，请判断AEB 的度数及线段 CM、AE、BE 之间的数量关系，并说明理由（3）解决问题 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 5 如图 3，在正方形 ABCD 中，CD22，若点 P 满足 PD2，且BPD90，请直接写出点 A 到 BP 的距离 【答案】（1）60；ADBE；（2）902AEBAEBECM，理由见解析；（3）点 A 到 BP的距离为312或312【解析】解：（1）如图 1ACB 和DCE 均为等边三角形，CA=CB，CD=CE，ACB=DCE=60，ACD=BCE 在ACD 和BCE 中，ACBCACDBCECDCE，ACDBCE（SAS），ADC=BEC DCE 为等边三角形，CDE=CED=60 点 A，D，E 在同一直线上，ADC=120，BEC=120，AEB=BECCED=60 故答案为 60 ACDBCE，AD=BE 故答案为 AD=BE（2）AEB=90，AE=BE+2CM 理由：如图 2ACB 和DCE 均为等腰直角三角形，CA=CB，CD=CE，ACB=DCE=90，ACD=BCE 在ACD 和BCE 中，CACBACDBCECDCE，ACDBCE（SAS），AD=BE，ADC=BEC 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 6 DCE 为等腰直角三角形，CDE=CED=45 点 A，D，E 在同一直线上，ADC=135，BEC=135，AEB=BECCED=90 CD=CE，CMDE，DM=ME DCE=90，DM=ME=CM，AE=AD+DE=BE+2CM（3）点 A 到 BP 的距离为312或312 理由如下：PD=1，点 P 在以点 D 为圆心，1 为半径的圆上 BPD=90，点 P 在以 BD 为直径的圆上，点 P 是这两圆的交点 当点 P 在如图 3所示位置时，连接 PD、PB、PA，作 AHBP，垂足为 H，过点 A 作 AEAP，交 BP 于点 E，如图 3 四边形 ABCD 是正方形，ADB=45AB=AD=DC=BC=2，BAD=90，BD=2 DP=1，BP=3 BPD=BAD=90，A、P、D、B 在以 BD 为直径的圆上，APB=ADB=45，PAE 是等腰直角三角形 又BAD 是等腰直角三角形，点 B、E、P 共线，AHBP，由（2）中的结论可得：BP=2AH+PD，3=2AH+1，AH=312 当点 P 在如图 3所示位置时，连接 PD、PB、PA，作 AHBP，垂足为 H，过点 A 作 AEAP，交 PB 的延长线于点 E，如图 3 同理可得：BP=2AHPD，3=2AH1，AH=312 综上所述：点 A 到 BP 的距离为312或312 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 7 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆周角定理、三角形全等的判定与性质等知识，考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，是体现新课程理念的一道好题而通过添加适当的辅助线从而能用（2）中的结论解决问题是解决第（3）的关键 14（2019浙江省中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 B 坐标为（4，6），点 P 为线段 OA 上一动点（与点 O、A 不重合），连接 CP，过点 P 作 PECP 交 AB 于点 D，且 PEPC，过点 P作 PFOP 且 PFPO（点 F 在第一象限），连结 FD、BE、BF，设 OPt （1）直接写出点 E 的坐标（用含 t 的代数式表示）：；（2）四边形 BFDE 的面积记为 S，当 t 为何值时，S 有最小值，并求出最小值；（3）BDF 能否是等腰直角三角形，若能，求出 t；若不能，说明理由【答案】(1)、（t+6，t）；(2)、当 t=2 时，S 有最小值是 16；(3)、理由见解析 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 8 【解析】（1）如图所示，过点 E 作 EGx 轴于点 G，则COP=PGE=90，由题意知 CO=AB=6、OA=BC=4、OP=t，PECP、PFOP，CPE=FPG=90，即CPF+FPE=FPE+EPG，CPF=EPG，又COOG、FPOG，COFP，CPF=PCO，PCO=EPG，在PCO 和EPG 中，PCO=EPG，POC=EGP，PC=EP，PCOEPG（AAS），CO=PG=6、OP=EG=t，则 OG=OP+PG=6+t，则点 E 的坐标为（t+6，t），（2）DAEG，PADPGE，ADPAGEPG，46ADtt，AD=16t（4t），BD=ABAD=616t（4t）=16t223t+6，EGx 轴、FPx 轴，且 EG=FP，四边形 EGPF 为矩形，EFBD，EF=PG，S四边形BEDF=SBDF+SBDE=12BDEF=12（16t223t+6）6=12（t2）2+16，当 t=2 时，S 有最小值是 16；（3）假设FBD 为直角，则点 F 在直线 BC 上，PF=OPAB，点 F 不可能在 BC 上，即FBD 不可能为直角；假设FDB 为直角，则点 D 在 EF 上，点 D 在矩形的对角线 PE 上，点 D 不可能在 EF 上，即FDB 不可能为直角；假设BFD 为直角且 FB=FD，则FBD=FDB=45，如图 2，作 FHBD 于点 H，则 FH=PA，即 4t=6t，方程无解，假设不成立，即BDF 不可能是等腰直角三角形 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 9 15（2019江西省中考模拟）某数学活动小组在研究三角形拓展图形的性质时，经历了如下过程：操作发现 在等腰ABC 中，ABAC，分别以 AB 和 AC 为腰，向ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图所示，连接 DE，其中 F 是 DE 的中点，连接 AF，则下列结论正确的是 （填序号即可）AF12BC：AFBC；整个图形是轴对称图形；DEBC、数学思考 在任意ABC 中，分别以 AB 和 AC 为腰，向ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图所示，连接 DE，其中 F 是 DE 的中点，连接 AF，则 AF 和 BC 有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程 类比探索 在任意ABC 中，仍分别以 AB 和 AC 为腰，向ABC 的内侧作等腰直角三角形，如图所示，连接 DE，其中 F 是 DE 的中点，连接 AF，试判断 AF 和 BC 的数量和位置关系是否发生改变？并说明理由 【答案】操作发现：；数学思考：AF12BC，AFBC，理由见解析；类比探索：AF 和 BC 的数量和位置关系不发生改变，理由见解析【解析】操作发现：如图 1，延长 FA 交 BC 于 G 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 0 ABD 和ACE 是等腰直角三角形，且BAD=CAE=90，AB=AD，AC=AE AB=AC，AD=AE F 是 DE 的中点，AFDE，DAF=EAF，BAF=CAF AB=AC，AF=AF，FBAFCA（SAS），FB=FC，FG 是 BC 的垂直平分线，即 FGBC，AFBC，故正确；AGB=AFD=90，BAG=FDA，AFDBGA（AAS），AF=BG12BC，故正确；AFD=AGC=90，DEBC，故正确；根据前面的证明可以得出将图形 1，沿 FG 对折左右两部分能完全重合，整个图形是轴对称图形，故正确，结论正确的有：故答案为：；数学思考：结论：AF12BC，AFBC，理由是：如图 2，延长 AF 至 M，使 FM=AF，连接 DM、EM，延长 FA 交 BC 于 G DF=EF，四边形 DAEM 是平行四边形，AD=EM=AB，ADEM，DAE+AEM=DAE+BAC=180，BAC=AEM AC=AE，CABAEM（SAS），AM=BC=2AF，AME=CBA，即 AF12BC ADEM，DAM=AME=CBA BAD=90，DAM+BAG=90，CBA+BAG=AGB=90，AFBC；类比探索：AF 和 BC 的数量和位置关系不发生改变，理由是：如图 3，延长 AF 至 M，使 AF=FM，连接 EM、DM，设 AF 交 BC 于 N EF=DF，四边形 AEMD 是平行四边形，AE=DM=AC BAD+EAC=180，BAC+EAD=180 AEDM，ADM+EAD=180，ADM=BAC AB=AD，ABCDAM（SAS），AM=BC=2AF，DAM=ABC，AF12BC DAM+BAF=ABC+BAF=90，ANB=90，AFBC 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 1 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，解答时运用类比的方法：作辅助线构建平行四边形是解答本题的关键 16（2017湖北省中考模拟）如图1，ABCD为正方形，将正方形的边CB绕点C顺时针旋转到CE，记BCE=，连接 BE，DE，过点 C 作 CFDE 于 F，交直线 BE 于 H（1）当=60时，如图 1，则BHC=；（2）当 4590，如图 2，线段 BH、EH、CH 之间存在一种特定的数量关系，请你通过探究，写出这个关系式：（不需证明）；（3）当 90180，其它条件不变（如图 3），（2）中的关系式是否还成立？若成立，说明理由；若不成立，写出你认为成立的结论，并简要证明 【答案】（1）45；（2）BH+EH=2CH；（3）不成立，BHEH=2CH【解析】解：（1）作 CGBH 于 G，如图 1 所示：四边形 ABCD 是正方形，CB=CD，BCD=90，由旋转的性质得：CE=CB，BCE=60，CD=CE，BCG=ECG=12BCE=30CFDE，ECF=DCF=12DCE，GCH=12（BCE+DCE）=1290=45；故答案为 45；（2）BH+EH=2CH理由如下：原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 2 作 CGBH 于 G，如图 2 所示：同（1）得：BHC=45，CGH 是等腰直角三角形，CH=2GH CB=CE，CGBE，BG=EG=12BE，BH+EH=BG+EG+EH+EH=2GH=2CH；故答案为 BH+EH=2CH；（3）当 90180，其它条件不变，（2）中的关系式不成立，BHEH=2CH；理由如下：作 CGBH 于 G，如图 3 所示：同（2）得：BHC=45，CGH 是等腰直角三角形，CH=2GH，BG=EG=12BE，BHEH=BG+GHEH=BG+EGEHEH=2GH=2CH 点睛：本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度 17（2018山东省中考模拟）矩形 ABCD 中，DE 平分ADC 交 BC 边于点 E，P 为 DE 上的一点（PEPD），PMPD，PM 交 AD 边于点 M（1）若点 F 是边 CD 上一点，满足 PFPN，且点 N 位于 AD 边上，如图 1 所示 求证：PN=PF；DF+DN=2DP；（2）如图 2 所示，当点 F 在 CD 边的延长线上时，仍然满足 PFPN，此时点 N 位于 DA 边的延长线上，如图 2 所示；试问 DF，DN，DP 有怎样的数量关系，并加以证明 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 3 【答案】（1）证明见解析；证明见解析；（2）2DNDFDP，证明见解析【解析】解：（1）四边形 ABCD 是矩形，ADC=90 又DE 平分ADC，ADE=EDC=45；PMPD，DMP=45，DP=MP PMPD，PFPN，MPN+NPD=NPD+DPF=90，MPN=DPF 在PMN 和PDF 中，PMNPDFPMPDMPNDPF ，PMNPDF（ASA），PN=PF，MN=DF；PMPD，DP=MP，DM2=DP2+MP2=2DP2，DM=2DP 又DM=DN+MN，且由可得 MN=DF，DM=DN+DF，DF+DN=2DP；（2）2DNDFDP理由如下：过点 P 作 PM1PD，PM1交 AD 边于