【精准解析】天津市耀华中学2020届高三上学期第一次月考数学试题+Word版含解析.pdf
高中学习讲义只要坚持梦想终会实现-1-天津市耀华中学2019 年高三年级第一学期一月考数学试卷一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2|320Axxx，2|log(21)0Bxx，则AB（）A.21,3B.2,13C.1,12D.1 2,2 3【答案】D【解析】因为2320 xx21253612x2125636x，515666x，213x，所以2|13Axx，因为22log21log 1211xx且121012xx，所以1|12Bxx，12|23ABxx，故选 D.2.下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为()A.cos2yx，xRB.2logyx，xR 且 x0C.2xxeey,xRD.3+1yx，xR【答案】B【解析】【详解】首先判断奇偶性：A,B 为偶函数，C 为奇函数，D 既不是奇函数也不是偶函数,所以排除 C、D，对于先减后增，排除A，故选 B.考点：函数的奇偶性、单调性.【此处有视频，请去附件查看】高中学习讲义只要坚持梦想终会实现-2-3.设 alog36，blog510，clog714，则()A.cbaB.bcaC.acbD.abc【答案】D【解析】试 题 分 析：，；且；.考点：对数函数的单调性.【此处有视频，请去附件查看】4.“1sin2x”是“2()6xkkZ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】1sin2x2()6xkkZ或52()6xkkZ，从而明确充分性与必要性.【详解】，由1sin2x可得：2()6xkkZ或52()6xkkZ，即2()6xkkZ能推出1sin2x，但1sin2x推不出2()6xkkZ“1sin2x”是“2()6xkkZ”的必要不充分条件故选 B【点睛】本题考查充分性与必要性，简单三角方程的解法，属于基础题.5.已知ABC的内角 A、B、C 的对边分别为a、b、c，满足232coscosBacbA，且5 sinbB，高中学习讲义只要坚持梦想终会实现-3-则 a=（）A.53B.23C.35D.2 53【答案】A【解析】【分析】利 用 正 弦 定 理 化 边 为 角 可 得2sin3sin2sincoscosACBAB,整 理 后 可 求 得2cos3A,则5sin3A,再利用正弦定理5sinsinabAB求解即可【详解】由题,利用正弦定理可得2sin3sin2sincoscosACBAB,即2sincos3sincos2sincosABCABA,则2 sincossincos3sincosABBACA,所以2sin3sincosABCA,即2sin3sincosCCA,因为在ABC中,sin0C,所以2cos3A,则5sin3A,又因为5sinbB,所以5sinsinabAB,所以53a,故选：A【点睛】本题考查利用正弦定理化边为角,考查利用正弦定理解三角形6.已知0 x是函数121xfxx的一个零点，若10201,xxxx，则（）A.10fx,20fxB.10fx,20fxC.10fx,20fxD.10fx,20fx【答案】B【解析】【分析】转化0 x是函数121xfxx的一个零点为0 x是函数2xy与11yx的交点的横坐标,高中学习讲义只要坚持梦想终会实现-4-画出函数图像,利用图像判断即可【详解】因为0 x是函数121xfxx的一个零点,则0 x是函数2xy与11yx的交点的横坐标,画出函数图像,如图所示,则当101,xx时,2xy在11yx下方,即10fx；当20,xx时,2xy在11yx上方,即20fx,故选：B【点睛】本题考查函数的零点问题,考查数形结合思想与转化思想7.已知函数sin0,2fxx的最小正周期是，若其图像向右平移3个单位后得到的函数为奇函数，则函数fx的图像（）A.关于点,012对称B.关于直线12x对称C.关于点5,012对称D.关于直线512x对称【答案】D【解析】【分析】由最小正周期为可得2,平移后的函数为2sin23yx,利用奇偶性得到23kkZ,即可得到3,则sin23fxx,进而判断其对称性即可【详解】由题,因为最小正周期为,所以22,高中学习讲义只要坚持梦想终会实现-5-则平移后的图像的解析式为2sin 2sin 233yxx,此时函数是奇函数,所以23kkZ,则23kkZ,因为2,当1k时,3,所以sin23fxx,令23xkkZ,则62kxkZ,即对称点为,062k；令232xkkZ,则对称轴为5122kxkZ,当0k时,512x，故选：D【点睛】本题考查图象变换后的解析式,考查正弦型三角函数的对称性8.若函数()(sincos)xfxexax在(,)42上单调递增，则实数a的取值范围是（）A.(,1B.(,1)C.1,)D.(1,)【答案】A【解析】f（x）=ex（sinx+acosx）在,42上单调递增，f（x）=ex（1-a）sinx+（1+a）cosx 0 在,42上恒成立，ex0 在,42上恒成立，（1-a）sinx+（1+a）cosx0 在,42上恒成立，a（sinx-cosx）sinx+cosx 在,42上恒成立高中学习讲义只要坚持梦想终会实现-6-sincossincosxxaxx，设 g（x）=sincossincosxxxxg（x）在,42上恒成立，g（x）在,42上单调递减，g（x）()2g=1，a1，故选 A点睛：本题考查了导数和函数的单调性和最值得关系，利用导数研究函数的单调性，关键是分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值，属于中档题，正确的构造函数和利用导数是解决问题的关键.9.已知菱形ABCD的边长为2，0120BAD，点,E F分别在边,BC DC上，BEBC,DFDC.若21,3AEAFCE CF，则等于()A.12B.23C.56D.712【答案】C【解析】试 题 分 析：，即，同理可得，+得，故选 C考点：1平面向量共线充要条件；2向量的数量积运算【此处有视频，请去附件查看】二、填空题10.若复数111izmii（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数m的值为 _高中学习讲义只要坚持梦想终会实现-7-【答案】0【解析】【分析】先将 z 整理为abi的形式,再令实部为0,虚部不为0 求解即可【详解】由题,21121111112iiizmimimmimm iiii,因为 z 是纯虚数,所以0m,故答案为：0【点睛】本题考查已知复数类型求参数,考查复数的除法法则的应用11.4(2)xx的展开式中3x的系数是_【答案】24【解析】由题得42xx的展开式的通项公式为111444442221444(2)()22rrrrrrrrrrrTCxxCxxCx令14322rr，故3324Tx，故42xx的展开式中3x的系数是24,故填 24.12.如图，正方体1111ABCDA B C D的棱长为1，E为棱1DD上的点，F为 AB的中点，则三棱锥1BBFE的体积为.【答案】【解析】试题分析：.考点：1.三棱锥的体积；2.等体积转化法.13.数列na中，已知*12121,2,nnnaaaaanN，则2020a=_【答案】-1高中学习讲义只要坚持梦想终会实现-8-【解析】【分析】由递推公式可得数列na具有周期性,6T,则20204aa,进而求得4a即可【详解】由题,21nnnaaa,所以32111nnnnnnnaaaaaaa；63nnnnaaaa,所以数列na具有周期性,6T,因为202063364,则20204aa,当1n时,411aa,所以20201a,故答案为：1【点睛】本题考查数列的周期性的应用,考查赋值法的应用14.不等式2 2xxya xy对任意正数x、y 恒成立，则正数a的最小值是 _【答案】2【解析】【分析】将 条 件 转 化 为max2 2xxyaxy对 任 意 正 数 x、y 恒 成 立,利 用 均 值 定 理 求 解max2 2xxyxy即可【详解】由题,则max2 2xxyaxy对任意正数x、y 恒成立,因为22222xyxyxy,所以2 222xxyxxyxyxy,当且仅当2xy时,等号成立,所以max2 22xxyxy,即2a,故答案为：2【点睛】本题考查不等式的恒成立问题,考查利用均值定理求最值,考查转化思想15.设,fxg x是定义在 R 上的两个函数，fx满足2fxfx，g x满足高中学习讲义只要坚持梦想终会实现-9-2g xg x，且当0,2x时，22fxxx，2,011,122k xxg xx.若在区间0,11上，关于x的方程fxg x有 8 个不同的实数根，则 k 的取值范围是 _【答案】2112,4334【解析】【分析】由题可得fx是周期为4 的函数,g x是周期为2 的函数,转化方程有8 个不同的实数根为fx与g x在0,11内有 8 个交点,利用函数图像求解即可【详解】由题,42fxfxfxfx,所以fx的周期为4；因为2g xg x,则g x的周期为2；当0,2x时,22211fxxxx,则fx的图像为以1,0为圆心,半径为 1 的在x轴上方的半圆；由2fxfx,则当2,4x时,是以3,0为圆心,半径为1 的在x轴下方的半圆,由周期性画出部分图像,如图所示,即12g x时与fx在0,11内有 2 个交点,因为关于x的方程fxg x有 8 个不同的实数根,则2g xk x时与fx在0,11内需有 6 个交点,则令2g xk x与圆2211xy相切,此时有一个交点,则2311kdk,则24k（与上半圆相切）或24k（与下半圆相切）；高中学习讲义只要坚持梦想终会实现-10-令2g xk x过1,1,此时有 2个交点,则13k；令2g xk x过1,1,此时有 2 个交点,则13k；假设在0,1x时有 2 个交点,即2g xk x与圆2211xy的上半圆有2 个交点,则12,34k,由函数的周期性,则在0,11内有 6 个交点；当2,3x时,图像为圆2211xy的下半圆向右平移2 个单位得到,则当21,43k时,2g xk x与圆2211xy的下半圆有2 个交点,由g x的周期为 2,则当21,43k时,与fx也有 2 个交点,同理,则在0,11内有 6 个交点；综上,2112,4334k故答案为：2112,4334【点睛】本题考查已知零点个数求参数范围问题,考查函数周期性的应用,考查数形结合思想三、解答题：解答时应写出文字说明、演算步骤或证明过程16.某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛，经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0 分，假设甲队中每人答对的概率均为34，乙队中3人答对的概率分別为4 3 2,5 4 3，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用表示乙队的总得分（1）求的分布列；（2）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率【答案】（1）分布列见解析；（2）【解析】【详解】试题分析：（1）由题意知，的 可能取值为，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列；（2）由表示“甲队得分等于乙队得分等于”，表示“甲队得分等高中学习讲义只要坚持梦想终会实现-11-于乙队得分等于”，可知、互斥利用互斥事件的概率计算公式即可得出甲、乙两队总得分之和等于分且甲队获胜的概率试题解析：（1）由题意知,的可能取值为由于乙队人答对的概率分别为,43243243293(10)1111115435435436020P,4324324322613(20)1115435435436030P,的分布列为:（2）由表示“甲队得分等于乙队得分等于”,表示“甲队得分等于乙队得分等于”,可知互斥,又,则甲、乙两队总得分之和等于分且甲队获胜的概率为考点：古典概型；离散型随机变量的分布列17.如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中/AD BC，ABAD，122ABADBC，4PA，E为棱BC上的点，且14BEBC高中学习讲义只要坚持梦想终会实现-12-（1）求证：DE平面PAC；（2）求二面角APCD的余弦值；（3）设Q为棱CP上的点（不与C，P 重合），且直线QE与平面PAC所成角的正弦值为55，求CQCP的值【答案】（1）见解析；（2）2 55；（3）23CQCP【解析】【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，确定各点坐标，得到0DE AC，0DE AP，根据线面垂直的判定定理，即可证明.（2）由（1）可知，平面PAC的法向量2,1,0m，确定平面PCD的法向量2,2,1nr，根据cos,m nm nmn，求解即可.（3）设01CQCP，确定22,44,4Q，2,43,4QE，根据直线QE与平面PAC所成角的正弦值为55，求解，即可.【详解】（1）因为PA平面ABCD，AB平面ABCD，AD平面ABCD所以PAAB，PAAD因为 ABAD则以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.高中学习讲义只要坚持梦想终会实现-13-由已知可得0,0,0A，2,0,0B，2,4,0C，0,2,0D，0,0,4P，2,1,0E.所以2,1,0DE，2,4,0AC，0,0,4AP.因为22 1 400DE AC，0DE AP.所以DEAC，DEAP又APACA，AP平面PAC，AC平面PAC.所以 DE平面PAC（2）设平面PAC的法向量m，由（1）可知，2,1,0mDE设平面PCD的法向量,nx y z因为0,2,4PD，2,4,4PC.所以00n PDn PC，即2402440yzxyz不妨设1z，得2,2,1nr2222221202 5cos,521221m nm nmn所以二面角APCD的余弦值为2 55（3）设01CQCP，即2,4,4CQCP.所以22,44,4Q，即2,43,4QE.因为直线QE与平面PAC所成角的正弦值为55所以22222224305cos,5212434QE mQE mQEm即2362493解得23即23CQCP【点睛】本题考查空间向量在立体几何中的应用，属于较难题.18.正项等比数列na的前 n 项和记为nS，131,13aS高中学习讲义只要坚持梦想终会实现-14-（1）求数列na的通项公式；（2）等差数列nb的各项为正，且25b，又112233,ab ab ab成等比数列，设12nnnnbca，求数列nc的前 n 项和nT.【答案】（1）13nna；（2）28424843nnTn【解析】【分析】（1）利用3123Saaa求得q,进而求得通项公式；（2）利用等比中项可得2113322ababab,设135,5bd bd,代入可得2d,则12843nncn,进而利用错位相减法求解即可【详解】（1）设公比q,则23123113Saaaqq,得3q或4q,0na,3q1113nnnaaq；（2）设nb的公差为 d,25b,可设135,5bd bd,又由（1）,1231,3,9aaa,2113322ababab,2515953dd,解得2d或10,等差数列nb的各项为正,0,2,dd52221nbnn,11121 228433nnnnncn,高中学习讲义只要坚持梦想终会实现-15-01212222122028843333nnTn,123222221220288433333nnTn,121122221288433333nnnTn12281332212842882823313nnnnn，28424843nnTn【点睛】本题考查等比数列的通项公式,考查等比中项的应用,考查错位相减法求数列的和19.设椭圆2222:10 xyMabab的左、右焦点分别为12FF、，左顶点为A，左焦点到左顶点的距离为1，离心率为12.（1）求椭圆M 的方程；（2）过点 A 作斜率为 k 的直线与椭圆M 交于另一点B，连接2BF并延长交椭圆M 于点 C.若1F CAB，求 k 的值.【答案】（1）22143xy；（2）612k【解析】【分析】（1）由题可得1,12ceaca,解得2,1ac,进而求得椭圆方程即可；（2）联立直线AB与椭圆,可得点2228612,3434kkBkk,进而得到直线2BF,联立直线2BF 与直线1CF可得281,8Ckk,将点C坐标代入椭圆方程中,即可解得k的值【详解】（1）设椭圆左焦点1,0Fc,依题意,1,12ceaca,高中学习讲义只要坚持梦想终会实现-16-解得2,1ac,2223bac,则椭圆方程为：22143xy；（2）由（1）得,2,0A,由题0k，则直线 AB 的方程为2yk x,联立222143yk xxy,消去 y,得2222341616120kxk xk,设(,)BBB xy,221612234Bkxk,即2228612,3434kkBkk,由（1）得,121,0,1,0FF,22222124348614134BFkkkkkkk,11CFkk,直线224:114kBFyxk,直线11:1CFyxk,联立2411411kyxkyxk，解得281,8Ckk,代入22143xy,得4219220890kk，解得2124k,即612k【点睛】本题考查椭圆的标准方程,考查椭圆与直线的位置关系的应用,考查运算能力20.已知0,1aa，函数21,lnxfxag xxxa.（1）若1a，证明：函数h xfxg x在区间0,上是单调增函数；（2）求函数h xfxg x在区间1,1上的最大值；（3）若函数F x的图像过原点，且F x的导数Fxg x，当103ae时，函数F x过点(1,)Am的切线至少有2 条，求实数m的值.【答案】（1）证明见解析；（2）当1a时,最大值为11lnhaa；当01a时,最大值为11lnhaa（3）43【解析】高中学习讲义只要坚持梦想终会实现-17-【分析】（1）由题21lnxh xfxg xaxxa,利用导函数求单调区间即可；（2）利用导数可以推导得到h x在区间1,0上是减函数,在区间0,1上是增函数,则当11x时,h x的最大值为1h和1h中的最大值,作差可得1111lnln2lnhhaaaaaaa,设12ln,0G aaa aa,再次利用导数推导G a的单调性,进而得到1,1上的最大值；（3）由题可得3211ln32Fxxxa,设切点为3200011,ln32Bxxxa,则 B 处的切线方程为：3220000011lnln32yxxaxxaxx,将(1,)Am代入可得32000211lnln32mxaxxa,则将原命题等价为关于0 x的方程至少有2 个不同的解,设32211lnln32xxa xxa,进而利用导函数判断x的单调性,从而求解即可【详解】（1）证明：21lnxh xfxg xaxxa,则1 ln2xhxaax,1,a当0 x时,10,ln0 xaa,0hx,即此时函数h x在区间0,上是单调增函数.（2）由（1）知,当1a时,函数h x在区间0,上是单调增函数,当0 x时,10 xa,则1 ln0 xaa,0hx,则h x在区间,0上是单调减函数；同理,当01a时,()h x在区间0,上是单调增函数,在区间,0上是单调减函数；即当0a,且1a时,h x在区间1,0上是减函数,在区间0,1上是增函数,则当11x时,h x的最大值为1h和1h中的最大值，1111lnln2lnhhaaaaaaa,高中学习讲义只要坚持梦想终会实现-18-令12ln,0G aaa aa,则22121110Gaaaa,12lnG aaaa在0,上为增函数,11 12ln10G,当1a时,0G a,即11hh,此时最大值为1lnhaa；当01a时,0G a,即11hh,此时最大值为11lnhaa.（3）2glnFxxxxa,3211ln32Fxxxac,()F x的图像过原点,00F,即0c=,则3211ln32F xxxa,设切点为3200011,ln32Bxxxa,则 B 处的切线方程为：3220000011lnln32yxxaxxaxx,将(1,)Am代入得3220000011lnxln132mxxaxax,即32000211lnln32mxa xxa（）,则原命题等价为关于0 x的方程（）至少有2 个不同的解,设32211lnln32xxa xxa,则222lnln12lnxxa xaxxa,令0 x,12ln1,2axx,103ln5,123aae,高中学习讲义只要坚持梦想终会实现-19-当,1x和ln,2a时,0 x,此时函数x为增函数；当ln1,2ax时,0 x,此时函数x减函数,x的极大值为211111lnlnln3223aaa,x的极小值为322321111111lnlnln1lnlnlnln212422244aaaaaaa,设lnta,则103t,则原命题等价为321111lnlnln24423aama,即32111124423tmtt对103t恒成立,由1123mt得43m,设3211244s ttt,则2111118224s ttttt,令0s t,则10t,24t,当10,43t时,0s t；当4t,时,0s t,即s t在10,43上单调递增,在4,上单调递减,s t的最大值为443s,43m,故43m,综上所述,当103ae时,函数F x过点1,Am的切线至少有2 条,此时实数m 的值为43【点睛】本题考查利用导函数证明函数的单调性,考查利用导函数求最值,考查导数的几何意义的应用,考查运算能力,考查分类讨论思想和转化思想
