【金版学案】高中数学2.2.1等差数列的概念及通项公式练习苏教版必修5.pdf

22.1 等差数列的概念及通项公式1如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个 常数，那么这个数列叫做等差数列这个常数叫做等差数列的公差 2如果数列 an 是公差为d的等差数列，则a2a1d；a3a2da12d3等差数列的通项公式为ana1(n1)d4等差数列 an 中，ana1(n1)da2(n 2)da3(n3)d，因此等差数列的通项公式又可以推广到anam(nm)d(nm)5由anam(nm)d，得danamnm，则d就是坐标平面内两点A(n，an)，B(m，am)连线的 斜率 6如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A可以用a，b表示为Aab2，A称为a，b的等差中 项7如果数列 an 的通项公式ananb，则该数列是公差为a的等差数列8等差数列的性质若an 是等差数列，公差为d，则：(1)an，an1，a2，a1亦构成等差数列，公差为d；(2)ak，akm，ak2m，(mN*)也构成等差数列，公差为md；(3)a1，a2，an，(，是常数)也构成等差数列，公差为d；(4)anam(nm)d(m，nN*)是等差数列通项公式的推广，它揭示了等差数列中任意两项之间的关系，还可变形为danamnm；(5)若m，n，k，lN*，且mnkl，则amanakal，即序号之和相等，则它们项的和相等，例如：a1ana2an1?基础巩固一、选择题1等差数列 an 中，a1a510，a4 7，则数列 an的公差为(B)A1 B2 C3 D4 解析：由等差中项的性质知a3a1a525，又 a47，公差da4a375 2.2在 1 和 8 之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则(A)Aa2，b 5 Ba 2，b5 Ca2，b 5 Da 2，b 5 解析：考查项数与d 之间关系3首项为 20 的等差数列，从第10 项起开始为正数，则公差d 的取值范围是(C)Ad209Bd52C.209d52D.209d52解析：由题意知a100，a90，即209d 0，208d0，即209d52.4已知 a，b，c 成等差数列，则二次函数y ax22bxc 的图象与x 轴的交点的个数为(D)A1 个B0 个C2 个D1 个或 2 个解析：(2b)24ac(a c)24ac，(a c)20.A与 x 轴的交点至少有1 个故选D.5(2014重庆卷)在等差数列 an中，a12，a3a510，则 a7(B)A5 B8 C10 D14 解析：设出等差数列的公差求解或利用等差数列的性质求解方法一设等差数列的公差为d，则 a3a52a16d46d10，所以d1，a7a16d268.方法二由等差数列的性质可得a1a7a3a510，又 a12，所以 a78.二、填空题6在等差数列an 中，a3a737，则 a2a4a6a8_解析：根据等差数列的性质，a2 a8 a4a6 a3 a737.原式 37 3774.答案：74 7(2013广东卷)在等差数列 an中，已知a3a810，则 3a5a7_ 解析：由 a3 a8 10 得 a12da17d10，即 2a19d 10，3a5a73(a14d)a16d 4a118d2（2a19d）20.答案：20 8在等差数列an 中，a350，a530，则 a7_解析：2a5 a3a7，a72a5a3230 5010.答案：10 三、解答题9在等差数列an 中，已知a1a612，a47.(1)求 a9；(2)求此数列在101 与 1 000 之间共有多少项解析：(1)设首项为a1，公差为d，则 2a15d12，a1 3d7，解得 a11，d2，a9a45d752 17.(2)由(1)知，an2n1，由 101an1 000 知1012n1 1 000，51n1 0012.共有项数为500 51449.10已知数列 an中，a112，1an11an13，求 an.解析：由1an11an13知1an是首项为2，公差为13的等差数列，1an2(n 1)13n 53.an3n 5(nN*)?能力升级一、选择题11数列 an的首项为3，bn 为等差数列，且bnan1an(nN*)，若b3 2，b1012，则a8(B)A0 B 3 C 8 D 11 解析：由b3 2和b1012 得b1 6，d 2，bn2n8，即an1an2n8，由叠加法得(a2a1)(a3a2)(a4a3)(a8a7)64 2024 60.a8a13.12等差数列 an中，前三项依次为：1x 1，56x，1x，则a101等于(D)A5013 B 1323C 24 D 823解析：由1x11x256x解得x2，故知等差数列an 的首项为13，公差d112，故a101a1100d13100112263823.13已知数列 1，a1，a2，4 与数列 1，b1，b2，b3，5 各自成等差数列，则a2a1b2等于(B)A.14 B.12C12 D14解析：设数列 1，a1，a2，4 的公差是d，则a2a1d4（1）41 1，b2512 2，故知a2a1b212.二、填空题14设数列 an，bn 都是等差数列，若a1b17，a3b321，则a5b5 _解析：an，bn都是等差数列，anbn 也是等差数列，其公差为21 72142 7.a5b57(5 1)7 35.答案：35 15已知递增的等差数列an满足a11，a3a22 4，则an_解析：利用等差数列的通项公式求解设等差数列公差为d，则由a3a224，得 12d(1 d)24，d24.d2.由于该数列为递增数列，d2.an1(n1)2 2n1(nN*)答案：2n1(nN*)三、解答题16等差数列 an中，a1a4a715，a2a4a645，求数列 an 的通项公式解析：由题设条件可得a1a13da16d15，（a1d）（a13d）（a15d）45，解得a1 1，d2或a111，d 2.数列 an 的通项公式为an2n 3 或an132n，nN*.17已知1bc，1ca，1ab是等差数列，求证：a2，b2，c2是等差数列证明：由已知条件，得1bc1ab2ca，2bac（bc）（ab）2ca.(2bac)(ac)2(bc)(ab)a2c22b2，即a2，b2，c2是等差数列