2牛顿运动定律1-4节.ppt

第一章第一章1.1.如何描述质点的运动状态？如何描述质点的运动状态？2.2.如何描述质点运动状态的变化？如何描述质点运动状态的变化？2022/12/301动力学问题：研究物体的相互动力学问题：研究物体的相互作用，以及由此引起的物体运作用，以及由此引起的物体运动变化的规律。动变化的规律。牛顿运动定律牛顿运动定律质点动力学质点动力学的基础。的基础。2022/12/3023以牛顿定律为基础的经典力学，从建立（以牛顿定律为基础的经典力学，从建立（1687年年自然哲学的数学原理自然哲学的数学原理牛顿）至今已有三百多牛顿）至今已有三百多年，它仅适用于年，它仅适用于弱引力场中宏观低速弱引力场中宏观低速物体物体的运动，的运动，更普遍的情况需要用相对论和量子力学取代。那么，更普遍的情况需要用相对论和量子力学取代。那么，是不是有了相对论和量子力学经典力学就没有本身是不是有了相对论和量子力学经典力学就没有本身存在的价值了呢？存在的价值了呢？请看爱因斯坦的一段话：请看爱因斯坦的一段话：2022/12/304人们不要以为牛顿的伟大工人们不要以为牛顿的伟大工作真的能够被这一理论或者作真的能够被这一理论或者任何别的理论所代替。作为任何别的理论所代替。作为自然哲学（指物理学）领域自然哲学（指物理学）领域里我们整个近代概念结构的里我们整个近代概念结构的基础，他的伟大而明晰的观基础，他的伟大而明晰的观念，对于一切时代都将保持念，对于一切时代都将保持着它的独特的意义。着它的独特的意义。-爱因斯坦爱因斯坦 2022/12/30牛顿牛顿(Isaac Newton,1642-1727)(Isaac Newton,1642-1727)重要贡献有万有引力定律、经典力学、微积分和重要贡献有万有引力定律、经典力学、微积分和光学。光学。万有引力定律：总结了伽利略和开普勒的理论和万有引力定律：总结了伽利略和开普勒的理论和经验，用数学方法完美地描述了天体运动的规律。经验，用数学方法完美地描述了天体运动的规律。牛顿运动三大定律：牛顿运动三大定律：自然科学的数学原理自然科学的数学原理中中含有牛顿运动三条定律和万有引力定律，以及质含有牛顿运动三条定律和万有引力定律，以及质量、动量、力和加速度等概念。量、动量、力和加速度等概念。光学贡献：牛顿发现色散、色差及牛顿环，他还光学贡献：牛顿发现色散、色差及牛顿环，他还提出了光的微粒说。提出了光的微粒说。反射式望远镜的发明反射式望远镜的发明英国物理学家、数学家、英国物理学家、数学家、天文学家，经典物理学天文学家，经典物理学的奠基人。的奠基人。我不知道世人将如何看我，但是，就我自己看来，我好象不过是我不知道世人将如何看我，但是，就我自己看来，我好象不过是一个在海滨玩耍的小孩，不时地为找到一个比通常更光滑的贝壳一个在海滨玩耍的小孩，不时地为找到一个比通常更光滑的贝壳而感到高兴，但是，有待探索的真理的海洋正展现在我的面前。而感到高兴，但是，有待探索的真理的海洋正展现在我的面前。2022/12/305恩格斯说恩格斯说：“牛顿由于发现了万有引力定律而牛顿由于发现了万有引力定律而创立了天文学，由于进行光的分解而创立了科学创立了天文学，由于进行光的分解而创立了科学的光学，由于创立了二项式定理和无穷级数理论的光学，由于创立了二项式定理和无穷级数理论而创立了科学的数学，由于认识了力学的本性而而创立了科学的数学，由于认识了力学的本性而创立了科学的力学。创立了科学的力学。”牛顿在自然科学领域里作牛顿在自然科学领域里作了奠基的贡献，堪称科学巨匠。了奠基的贡献，堪称科学巨匠。牛顿一生很谦逊，他临终前说：牛顿一生很谦逊，他临终前说：“如果我如果我的见识，真有超过笛卡尔的地方，那也是因为我的见识，真有超过笛卡尔的地方，那也是因为我是站在前辈伟人的肩上，才能望得远啊！是站在前辈伟人的肩上，才能望得远啊！”。2022/12/306第二章第二章 主要内容主要内容 2.1 2.1 牛顿第一运动定律和第三定律牛顿第一运动定律和第三定律 2.2 2.2 常见力和基本力常见力和基本力 2.3 2.3 牛顿第二定律及其微分形式牛顿第二定律及其微分形式 2.4 2.4 牛顿运动定律应用举例牛顿运动定律应用举例 2.5 2.5 牛顿第二定律积分形式之一：动量定理牛顿第二定律积分形式之一：动量定理 2.6 2.6 牛顿第二定律积分形式之二：动能定理牛顿第二定律积分形式之二：动能定理 2.7 2.7 非惯性系非惯性系 惯性力惯性力2022/12/307物体间各种不同的相互作用，构成了干变万化的物质世物体间各种不同的相互作用，构成了干变万化的物质世界，这些作用常被叫做力。界，这些作用常被叫做力。物体间的相互作用是多方面的（如电、光、热等），力物体间的相互作用是多方面的（如电、光、热等），力是从一个方面反映了这种相互作用。任何力一定有施力是从一个方面反映了这种相互作用。任何力一定有施力物体和受力物体。力是改变物体运动状态的根源。物体和受力物体。力是改变物体运动状态的根源。一是改变物体的运动状态；一是改变物体的运动状态；二是改变物体的形状。二是改变物体的形状。力有两种力有两种对外表现对外表现2-1 2-1 牛顿运动定律牛顿运动定律一、常见力和基本力一、常见力和基本力这样，我们才有可能对力的性质和量值作进一步的研究。这样，我们才有可能对力的性质和量值作进一步的研究。2022/12/308亚里士多德亚里士多德，运动必须推动。运动必须推动。伽利略：伽利略：力是改变物体力是改变物体运动状态的原因。运动状态的原因。牛顿：牛顿：三大运动学定律。三大运动学定律。人类对力的认识的发展史：人类对力的认识的发展史：2022/12/3091 1、力学中常见的力、力学中常见的力（1 1）重力重力地球对地球表面附近物体的引力地球对地球表面附近物体的引力大小：大小：mg方向：竖直向下方向：竖直向下重力加速度的应用：用于重力探测法。重力加速度的应用：用于重力探测法。(若若g g值异常则地球附近存在大量矿藏值异常则地球附近存在大量矿藏)2022/12/3010（2 2）弹力弹力发生形变的物体，由于要恢复原状，对与它接触的物体发生形变的物体，由于要恢复原状，对与它接触的物体会产生力的作用，这种力叫弹力会产生力的作用，这种力叫弹力特点：直接接触、产生形变为前提特点：直接接触、产生形变为前提表现形式：正压力表现形式：正压力(支承力支承力)；拉力；拉力；恢复力。恢复力。2022/12/3011正压力：正压力：a.a.定义：两个物体通过定义：两个物体通过一定面积的相互挤压一定面积的相互挤压而发生而发生 形变所产生的弹力。形变所产生的弹力。b.b.方向：方向：垂直于接触面而指向对方垂直于接触面而指向对方。灯塔和地面之间灯塔和地面之间存在的正压力存在的正压力2022/12/3012 b.b.方向：方向：沿着绳线指向绳线收紧沿着绳线指向绳线收紧的方向。的方向。c.c.大小：大小：取决于绳线收紧的程度取决于绳线收紧的程度。绳和物体之间的拉力恢复力：恢复力：a.a.定义：弹簧被拉紧或压缩时，它对与之相连的定义：弹簧被拉紧或压缩时，它对与之相连的 物体所产生的弹力。物体所产生的弹力。b.b.方向：方向：使弹簧恢复原状的方向使弹簧恢复原状的方向。c.c.大小：由虎克定律给出。大小：由虎克定律给出。郑玄，东汉思想家。拉力：拉力：a.a.定义：绳线在拉物体时发生定义：绳线在拉物体时发生伸长形变伸长形变而产生的弹力而产生的弹力。2022/12/3013虎克定律的表达式：虎克定律的表达式：；虎克定律的理解：虎克定律的理解：a.ka.k为弹簧的弹性系数；为弹簧的弹性系数；b.b.负号表示负号表示弹力的方向与弹簧的弹力的方向与弹簧的 位移方向相反位移方向相反；适用范围：弹簧处于弹性限度之内。适用范围：弹簧处于弹性限度之内。虎克定律虎克定律2022/12/3014（3 3）摩擦力摩擦力两个相互接触的物体接触面相对运动时，或者有相对运动趋两个相互接触的物体接触面相对运动时，或者有相对运动趋势时，在接触面之间产生一对阻止相对运动的力。势时，在接触面之间产生一对阻止相对运动的力。分类：静分类：静摩擦力摩擦力 fs=sN 滑动滑动摩擦力摩擦力 fk=kN 一般情况一般情况 s k 并且它们一般都小于并且它们一般都小于12022/12/3015 静摩擦力：定义：相互接触的物体在外力作用下，只有相对运动 的趋势而没有相对运动时的摩擦力。最大静摩擦力:;(为静摩擦系数,N正压力)方向：与物体相对运动趋势的方向相反。的影响因素：a.接触面的材料；b.接触面的表面状况。静摩擦力的范围：BA静摩擦力示意图2022/12/3016滑动摩擦力：定义：当外力超过静摩擦力时，物体间产生了相对运动，此时的物体所受到的摩擦力。滑动摩擦力:;(为滑动摩擦系数,N正压力)方向：与物体间相对运动的方向相反。的影响因素：a.接触面的材料；b.接触面的表面状况；c.物体的相对速度。(随V增大而减小)与 的比较：a.；b.一般计算时 ；2022/12/3017 c.与物体的速度无关，与物体的相对速度相关；d.在一般速度范围内，与速度无关。BA滑动摩擦力示意图2022/12/3018（4 4）流体阻力流体阻力一个物体在流体（液体或气体）中和流体有相对运动一个物体在流体（液体或气体）中和流体有相对运动时，物体会受到流体的阻力。时，物体会受到流体的阻力。流体阻力的方向和物体相对于流体的速度方向相反，流体阻力的方向和物体相对于流体的速度方向相反，其大小和相对速度的大小有关。其大小和相对速度的大小有关。相对速度较小时相对速度较小时 fd=Kv2022/12/30192 2、基本的自然力、基本的自然力 近代物理证明，自然界中各种力就其本质而言，都来自四种近代物理证明，自然界中各种力就其本质而言，都来自四种基本力。基本力。（1 1）万有引力万有引力存在于任何两个物体之间的力，规律是牛顿发现的。存在于任何两个物体之间的力，规律是牛顿发现的。大小：大小：式中式中被称为引力质量被称为引力质量式中式中G叫做叫做万有引力万有引力常量常量 G=6.6710-11N.m2.kg-2 重重力：力：重力是地球表明附近物体所受的地球的引力，即物体与重力是地球表明附近物体所受的地球的引力，即物体与地球之间的万有引力。地球之间的万有引力。2022/12/3020（2）电磁力电磁力存在于静止电荷和运动电荷之间的力称为电磁力存在于静止电荷和运动电荷之间的力称为电磁力特点：电磁力有引力，也有斥力，比万有引力强大得多。特点：电磁力有引力，也有斥力，比万有引力强大得多。挤压力挤压力、拉力拉力、弹簧弹力等都是相邻原子或分子之间的作用、弹簧弹力等都是相邻原子或分子之间的作用力的宏观表现，而原子或分子都是由电荷组成的，因此他们力的宏观表现，而原子或分子都是由电荷组成的，因此他们基本上都是电磁力。基本上都是电磁力。k=9 k=9 10109 9NmNm2 2/C/C2 2粒子之间的万有引力粒子之间的万有引力：1010-34-34 N N(相邻粒子相邻粒子)人与人之间的万有引力：人与人之间的万有引力：1010-7-7 N N(相隔相隔1m)2022/12/3021（3）强强力力（4）弱力弱力在亚微观领域发现的，它很小、而且是短程力。在亚微观领域发现的，它很小、而且是短程力。在亚微观领域，发现在核子、介子、超子之间存在强力。强力比电磁在亚微观领域，发现在核子、介子、超子之间存在强力。强力比电磁力更强，是短程力，作用范围小。力更强，是短程力，作用范围小。是核力的一种，它仅在某些类型的核过程中起重是核力的一种，它仅在某些类型的核过程中起重要作用，例如放射性物质的衰变中，核将自行分要作用，例如放射性物质的衰变中，核将自行分裂成几部分，弱力使质子产生放射性衰变（裂成几部分，弱力使质子产生放射性衰变（衰衰变）。两个相邻质子间的弱力大约为变）。两个相邻质子间的弱力大约为102 N。把原子核内相互排斥的各质子以及中子约束在一把原子核内相互排斥的各质子以及中子约束在一起形成原子核的力称为强力。因为核内质子核中起形成原子核的力称为强力。因为核内质子核中子被限制在原子核（线度为子被限制在原子核（线度为1015 m）这样很小的）这样很小的区域内，质子间排斥力非常强大，约束它们的核区域内，质子间排斥力非常强大，约束它们的核力也就非常强大，故以强力相称。力也就非常强大，故以强力相称。两个相邻质子两个相邻质子间的弱力大约为间的弱力大约为104 N。2022/12/3022基本力的比较基本力的比较基本力的基本力的种类种类相互作用举例相互作用举例力程力程相对相对强度强度万有引力万有引力恒星结合在一起形成恒星结合在一起形成银河系银河系无限远无限远1038电磁力电磁力电子与原子核结合形电子与原子核结合形成原子核成原子核无限远无限远102强力强力各质子和中子结合形各质子和中子结合形成原子核成原子核1015 m1弱力弱力放射性原子核的放射性原子核的 衰变衰变1017 m 1062022/12/3023 物理学家的目标：物理学家的目标：四种力可否从一种更基本、更简单的力导出四种力可否从一种更基本、更简单的力导出?各种力是否能统一在一种一般的理论中各种力是否能统一在一种一般的理论中?已做和待做的工作：已做和待做的工作：20世纪世纪20年代，爱因斯坦最早着手这一工作。年代，爱因斯坦最早着手这一工作。最初是想统一电磁力和引力，最初是想统一电磁力和引力，但未成功。但未成功。弱、电统一：弱、电统一：1967年温伯格等提出理论年温伯格等提出理论 1983年实验证实理论预言年实验证实理论预言大统一大统一：弱、电、强：弱、电、强 统一已提出一些理论统一已提出一些理论 因目前加速器能量不够而无法实验证实。因目前加速器能量不够而无法实验证实。(需要需要1015Gev,现现103Gev)超大统一：四种力的统一超大统一：四种力的统一 2022/12/3024爱因斯坦爱因斯坦杨振宁杨振宁格拉肖格拉肖超统一理论发展图超统一理论发展图2022/12/3025 1 1、惯性定律（、惯性定律（Newton first lawNewton first law）任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，直到受任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，直到受到力的作用迫使它改变这种状态为止。到力的作用迫使它改变这种状态为止。定义了惯性参考系定义了惯性参考系 包含两个重要概念：惯性和力包含两个重要概念：惯性和力 固有特性固有特性(一一)惯性定律惯性定律 惯性参考系惯性参考系二、牛顿运动定律二、牛顿运动定律2022/12/3026（1）第第一一定定律律指指明明了了任任何何物物体体都都具具有有惯惯性性，因因此此第第一一定定律律又又叫叫做做惯惯性性定定律律。惯惯性性就就是是物物体体保保持持其其原原有有运运动动状状态态不变的特性。不变的特性。（2）第第一一定定律律还还说说明明，仅仅当当物物体体受受到到其其他他物物体体作作用用时时才才会改变其运动状态。会改变其运动状态。力是引起运动状态改变的原因力是引起运动状态改变的原因。（3）第一定律定义了第一定律定义了惯性参考系惯性参考系（简称惯性系（简称惯性系（inertial reference frame）惯性参考系惯性参考系在这种参考系中观在这种参考系中观察，一个不受力作用的物体或处于受力平衡状态察，一个不受力作用的物体或处于受力平衡状态下的物体，将保持其静止或匀速直线运动状态不下的物体，将保持其静止或匀速直线运动状态不变。变。2022/12/3027问题问题人人和小球的状态和小球的状态是否是否符合牛顿定律符合牛顿定律？结论结论：牛顿定律成立的参照系称为牛顿定律成立的参照系称为惯性系惯性系。相对惯性系作变。相对惯性系作变速运动的参照系是非惯性系。而相对惯性系作匀速直线运动的速运动的参照系是非惯性系。而相对惯性系作匀速直线运动的参照系也是惯性系。参照系也是惯性系。2、惯性系与非惯性系、惯性系与非惯性系2022/12/3028 问题：问题：n牛顿第一定律引进了哪两个重要的概念牛顿第一定律引进了哪两个重要的概念？（惯性和力。）（惯性和力。）n什么样的状态称为平衡状态什么样的状态称为平衡状态？（静止和匀速直线运动状态统称平衡状态）（静止和匀速直线运动状态统称平衡状态）n处于平衡状态的条件是什么处于平衡状态的条件是什么？（作用于质点上的所有力的合力等于零）（作用于质点上的所有力的合力等于零）“一个远离其他一切物体，而且没有自转的物体是惯一个远离其他一切物体，而且没有自转的物体是惯性参照系，一切相对于该物体做匀速直线运动的参照系性参照系，一切相对于该物体做匀速直线运动的参照系也是惯性参照系。牛顿定律就是在这样的参照系中成立。也是惯性参照系。牛顿定律就是在这样的参照系中成立。”2022/12/3029几种实用的惯性系几种实用的惯性系 1 1）地面参考系）地面参考系 ground reference frame 地面是一个最常用的惯性系。但地面是一个最常用的惯性系。但只能说地面是一个近似的惯性系，只能说地面是一个近似的惯性系，而不是一个严格的惯性系，因为而不是一个严格的惯性系，因为地球有自转角速度：地球有自转角速度：由于地球的自转，地球上的物体由于地球的自转，地球上的物体有法向加速度。有法向加速度。2 2）地心参考系地心参考系 earths coreearths core 地心参考系相对地面参考系严格地心参考系相对地面参考系严格些，地球绕太阳公转的角速度：些，地球绕太阳公转的角速度：2022/12/30303 3）日心参考系）日心参考系 suns coresuns core 日心参考系相对地心参考系日心参考系相对地心参考系更严格些，但太阳还绕银河中心更严格些，但太阳还绕银河中心旋转：旋转：4）FK4参考系参考系 FK4参考系是以选定的参考系是以选定的1535颗恒星的平均静止的位形作为颗恒星的平均静止的位形作为基准的参考系，是比以上三个基准的参考系，是比以上三个参考系都严格的惯性系。参考系都严格的惯性系。2022/12/3031(二二)牛顿第二定律（牛顿第二定律（Newton second lawNewton second law）在受到外力作用时，物体所获得的加速度的大小在受到外力作用时，物体所获得的加速度的大小与外力成正比，与物体的质量成反比；加速度的方向与外力成正比，与物体的质量成反比；加速度的方向与外力的矢量和的方向相同。与外力的矢量和的方向相同。2、迭加性：、迭加性：特点特点：瞬时性；迭加性；矢量性；定量的量度了惯性瞬时性；迭加性；矢量性；定量的量度了惯性 1、瞬时性：、瞬时性：之间一一对应之间一一对应2022/12/30323、矢量性：具体运算时应写成分量式、矢量性：具体运算时应写成分量式直角坐标系中：直角坐标系中：自然坐标系中：自然坐标系中：2022/12/30334、定量的量度了惯性定量的量度了惯性 惯性质量惯性质量：牛顿第二定律中的质量常被称为惯性质量：牛顿第二定律中的质量常被称为惯性质量引力质量引力质量：式中式中被称为引力质量被称为引力质量经典力学中经典力学中不区分不区分引力质量和惯性质量引力质量和惯性质量2022/12/3034牛顿第二定律牛顿第二定律:牛顿第二定律的微分形式牛顿第二定律的微分形式物体的动量为：物体的动量为：牛顿第二定律为：牛顿第二定律为：2022/12/3035牛顿第二定律的微分形式，牛顿第二定律的微分形式，是牛顿第二定律的普遍形式。是牛顿第二定律的普遍形式。运动的变化与所加的运动的变化与所加的动力成正比，并且发动力成正比，并且发生在这力所沿直线的生在这力所沿直线的方向上。方向上。（2）在哪类问题中质量是不能视为常量的？）在哪类问题中质量是不能视为常量的？（1）问题问题2022/12/3036(三三)第三定律（第三定律（Newton third lawNewton third law）两个物体之间对各自对方的相互作用总是相等的，两个物体之间对各自对方的相互作用总是相等的，而且指向相反的方向。而且指向相反的方向。FABFBAFAB和和FBA中的一个叫做作用力，则另一个就叫做反作用力。中的一个叫做作用力，则另一个就叫做反作用力。牛顿第三定律指出了牛顿第三定律指出了力的相互作用性力的相互作用性。AB2022/12/3037 第三定律表明，作用力和反作用力总是同时以大小相第三定律表明，作用力和反作用力总是同时以大小相 等、方向相反的成对出现，它们同时出现，同时消失，没等、方向相反的成对出现，它们同时出现，同时消失，没有主次之分。有主次之分。作用力和反作用力是同一性质的力。作用力和反作用力是同一性质的力。作用力和反作用力是分别作用在两个物体上的。作用力和反作用力是分别作用在两个物体上的。第三定律表明，系统的内力之和总是零。第三定律表明，系统的内力之和总是零。思考：作用力和反作用力是不是平衡力？思考：作用力和反作用力是不是平衡力？2022/12/3038牛顿运动定律的适用范围牛顿运动定律的适用范围1)牛顿力学只适用于在惯性系内，解决低速运动问题牛顿力学只适用于在惯性系内，解决低速运动问题 （何谓（何谓高速？高速？）（可与光速相比，可与光速相比，相对论）相对论）2)牛顿力学只适用于宏观问题牛顿力学只适用于宏观问题 （何谓微观？）（何谓微观？）（分子、原子、电子、原子核等，量子力学）分子、原子、电子、原子核等，量子力学）应用牛顿定律求解质点动力学问题的一般步骤应用牛顿定律求解质点动力学问题的一般步骤1)选取研究对象（学会用隔离体法）选取研究对象（学会用隔离体法）2)分析受力情况画出受力图（找出全部力）分析受力情况画出受力图（找出全部力）3)选取坐标系选取坐标系4)列方程求解列方程求解5)讨论讨论(四四)牛顿定律的应用牛顿定律的应用2022/12/3039通常动力学问题分为两类：通常动力学问题分为两类：(1)(1)已知力求运动已知力求运动(2)(2)已知运动求力已知运动求力涉及的问题有两种：涉及的问题有两种：(1)(1)常力作用下的连接体问题常力作用下的连接体问题(2)(2)变力作用下的单体问题变力作用下的单体问题2022/12/3040常力作用下的连接体问题常力作用下的连接体问题例题例题1，一重物，一重物m用绳子悬起，绳子的另一端系在天花板上，绳用绳子悬起，绳子的另一端系在天花板上，绳长长l=0.5m,重物经推动后，在一水平面内作匀速率圆周运动，转重物经推动后，在一水平面内作匀速率圆周运动，转速速 n=1 r/s,求这时绳和竖直方向所成的角度。求这时绳和竖直方向所成的角度。解：分别在解：分别在x、y方向应用牛方向应用牛II定律定律在竖直方向：在竖直方向：在水平方向：在水平方向：由由(1)、(2)得：得：向心加速度：向心加速度：由由(4)和和(3)得：得：2022/12/3041例例2 2，质量为，质量为m m的小球系在线的一端，线的另一端的小球系在线的一端，线的另一端固定在墙壁钉子上，线长为固定在墙壁钉子上，线长为l l。拉动小球使线保持。拉动小球使线保持水平静止后松手，求线摆下水平静止后松手，求线摆下q q角时小球的速率和线角时小球的速率和线中的张力。中的张力。解：解：解：解：小球受力如图小球受力如图小球受力如图小球受力如图切向切向切向切向2022/12/3042积分得积分得积分得积分得法向法向法向法向代入代入代入代入v v v v 可得可得可得可得2022/12/3043例例3 3，质质量量为为M M 的的三三角角形形劈劈置置于于光光滑滑桌桌面面上上，质质量量为为m m 的的木木块块沿沿劈劈的的光光滑滑斜斜面面下下滑滑。试试求求劈劈相相对对于于地地的的加速度和木块相对于劈的加速度。加速度和木块相对于劈的加速度。解：解：解：解：设设设设a a a aM M M M 为为为为M M M M 相对于地的加速度，相对于地的加速度，相对于地的加速度，相对于地的加速度，a a a amMmMmMmM为为为为m m m m相对于相对于相对于相对于M M M M 的加速度的加速度的加速度的加速度2022/12/3044对对对对M M M M对对对对m m m m又又又又解得解得解得解得:2022/12/3045积分：积分：得：得：利用：利用：则上式为：则上式为：解：浮力解：浮力B是个变力：是个变力：变力问题变力问题 problem of variable forceproblem of variable force例题例题1，有一密度为有一密度为 的细棒，长度为的细棒，长度为l,其上端用细线悬着，下端紧贴着密度为其上端用细线悬着，下端紧贴着密度为 的液体的液体表面，现将悬线剪断，求细棒在恰好全部没入液体表面，现将悬线剪断，求细棒在恰好全部没入液体中时的沉降速度，设液体没有粘性。中时的沉降速度，设液体没有粘性。细棒的重力：细棒的重力：棒所受合外力：棒所受合外力：由牛顿第二定律：由牛顿第二定律：2022/12/3046例例2，质量为，质量为m的小球，在水中受的浮力为常力的小球，在水中受的浮力为常力F，当当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f=kv(k为为常数），证明小球在水中竖直沉降的速度常数），证明小球在水中竖直沉降的速度v与时间与时间t的的关系为关系为式中式中t为从沉降开始计算的时间为从沉降开始计算的时间证明：取坐标，作受力图。证明：取坐标，作受力图。根据牛顿第二定律，有根据牛顿第二定律，有fFmgax2022/12/3047初始条件：初始条件：t=0 时时 v=02022/12/3048