2.1解析函数的概念.ppt
复变复变函数与积分变换函数与积分变换一、复变函数的导数与微分一、复变函数的导数与微分二、解析函数的概念二、解析函数的概念三、函数解析的充要条件三、函数解析的充要条件一、一、复变函数的导数与微分复变函数的导数与微分1.导数与微分的定义导数与微分的定义若若极限极限存在有限的值存在有限的值A，在定义中应注意在定义中应注意:显然，显然，则则例例1 解解例例2 解解所以所以例例 2.可导与连续的关系可导与连续的关系 函数函数 f(z)在在 z0 处可导则在处可导则在 z0 处一定连续处一定连续,但函数但函数 f(z)在在 z0 处连续不一定在处连续不一定在 z0 处可导处可导.说明：说明：在复变函数中，在复变函数中，处处连续处处连续但但处处不可导处处不可导的函的函数很多，而在实变函数中，要构造一个这样的函数数很多，而在实变函数中，要构造一个这样的函数非常困难非常困难由上例由上例结论，结论，3.求导法则求导法则 由于复变函数中导数的定义与一元实变函由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致数中导数的定义在形式上完全一致,并且复变并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样函数中的极限运算法则也和实变函数中一样,因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来推广到复变函数中来,且证明方法也是相同的且证明方法也是相同的.求导公式与法则求导公式与法则:二、解析函数的概念二、解析函数的概念1.解析函数的定义解析函数的定义z0D根据定义可知根据定义可知:函数在函数在区域内解析区域内解析与在与在区域内可导区域内可导是是等价等价的的.但但是是函数解析是与区域密切相伴的函数解析是与区域密切相伴的,要比可导的要求要高得多要比可导的要求要高得多即函数在即函数在z0点解析点解析函数在函数在一点处解析一点处解析与在与在一点处可导一点处可导不等价不等价函数在函数在z0 0点可导点可导函数函数闭区域上解析闭区域上解析与在与在闭区域上可导闭区域上可导不等价不等价即函数在闭即函数在闭区域上解析区域上解析函数在函数在闭区闭区域上域上可导可导说说明明(3 3)一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析；所有解析点的集合必为开集解析；所有解析点的集合必为开集2.解析函数的性质解析函数的性质即即两个解析函数的复合仍是解析函数两个解析函数的复合仍是解析函数根据定理可知根据定理可知:(1)所有多项式在复平面内是处处解析的所有多项式在复平面内是处处解析的.3.奇点的定义奇点的定义例例3解解例例4解解通过上述用定义讨论函数的解析性，通过上述用定义讨论函数的解析性，我们深深地体会到：我们深深地体会到：用定义讨论函数的解析用定义讨论函数的解析性绝不是一种好办法！性绝不是一种好办法！寻求研究解析寻求研究解析性的更好的方性的更好的方法法任务！任务！三、函数解析的充要条件三、函数解析的充要条件定理一定理一柯西柯西-黎曼介绍黎曼介绍证证(1)必要性必要性.则则(2)充分性充分性.证毕证毕解析函数的判定方法解析函数的判定方法:例例5 判定下列函数在何处可导判定下列函数在何处可导,在何处解析在何处解析:解解不满足柯西黎曼方程不满足柯西黎曼方程,四个偏导数四个偏导数均连续均连续指数函数指数函数四个偏导数均连续四个偏导数均连续例例6 证证例例7 解解课堂练习课堂练习答案答案证证参照以上例题可进一步证明参照以上例题可进一步证明:小结与思考小结与思考 理解复变函数导数与微分以及解析函数的概念理解复变函数导数与微分以及解析函数的概念;掌握连续、可导、解析之间的关系以及求导方法掌握连续、可导、解析之间的关系以及求导方法.注意注意:复变函数的导数定义与一元实变函数的复变函数的导数定义与一元实变函数的导数定义在形式上完全一样导数定义在形式上完全一样,它们的一些求导公它们的一些求导公式与求导法则也一样式与求导法则也一样,然而复变函数极限存在要然而复变函数极限存在要求与求与z 趋于零的方式无关趋于零的方式无关,这表明它在一点可导的这表明它在一点可导的条件比实变函数严格得多条件比实变函数严格得多.在本课中还得到了一个重要结论在本课中还得到了一个重要结论函数解析函数解析的充要条件的充要条件:掌握并能灵活应用柯西掌握并能灵活应用柯西黎曼方程黎曼方程.思考题思考题思考题答案思考题答案反之不对反之不对.柯西柯西 1789 年年8月月21日出生于巴黎。父亲是一位精通日出生于巴黎。父亲是一位精通古典文学的律师，与当时法国的大数学家拉格朗日和拉古典文学的律师，与当时法国的大数学家拉格朗日和拉普拉斯交往密切。少年时代柯西的数学才华就颇受这两普拉斯交往密切。少年时代柯西的数学才华就颇受这两位大数学的赞赏，并预言柯西日后必成大器。在拉格朗位大数学的赞赏，并预言柯西日后必成大器。在拉格朗日的建议下，其父亲加强了对柯西文学素质的培养，使日的建议下，其父亲加强了对柯西文学素质的培养，使得后来柯西在诗歌方面也表现出很高的才华。得后来柯西在诗歌方面也表现出很高的才华。18051810年，柯西考入巴黎理工学校，两年后以年，柯西考入巴黎理工学校，两年后以第一名的成绩被巴黎桥梁公路学院录取，毕业时获该校第一名的成绩被巴黎桥梁公路学院录取，毕业时获该校会考大奖。会考大奖。1810年成为工程师。年成为工程师。1815年获科学院数学大年获科学院数学大奖，奖，1816年年3月被任命为巴黎科学院院士，同年月被任命为巴黎科学院院士，同年9月，被月，被任命为巴黎理工学校分析学和力学教授。任命为巴黎理工学校分析学和力学教授。柯西一生撰写的数学论著有柯西一生撰写的数学论著有800800多种，他是多种，他是19 19 个科学院个科学院或著名学术团体的成员。或著名学术团体的成员。18381838年他还被授予男爵封号。他在年他还被授予男爵封号。他在学术上的贡献涉及到分析学、复变函数论、弹性力学、微分学术上的贡献涉及到分析学、复变函数论、弹性力学、微分方程、群论、行列式、数论、解析几何、数值分析、微分几方程、群论、行列式、数论、解析几何、数值分析、微分几何、光学、天体力学等学科或学科分支。何、光学、天体力学等学科或学科分支。柯西一生最大的错误是柯西一生最大的错误是“失落失落”了才华出众的年轻数学家了才华出众的年轻数学家伽罗华与阿贝尔的开创性的论文手稿，致使群论晚问世近半伽罗华与阿贝尔的开创性的论文手稿，致使群论晚问世近半个世纪。个世纪。18571857年年5 5月月2323日柯西病逝于巴黎。他的临终遗言：日柯西病逝于巴黎。他的临终遗言：“人总是要死的，但他们的业绩永存。人总是要死的，但他们的业绩永存。”黎曼资料黎曼资料 英年早逝世的英年早逝世的 数学大师数学大师 黎曼黎曼RiemannBorn:17 Sept 1826 in Breselenz,Hanover(Germany)Died:20 July 1866 in Selasca,Italy 黎曼于年出生在德国的一个农村！岁到哥黎曼于年出生在德国的一个农村！岁到哥廷根大学读书，成为高斯晚年的一名高才生。哥廷根大学在廷根大学读书，成为高斯晚年的一名高才生。哥廷根大学在后来的多年里一直是世界数学的研究中心。黎曼毕业后来的多年里一直是世界数学的研究中心。黎曼毕业后留校任教。因长年的贫困和劳累，黎曼在后留校任教。因长年的贫困和劳累，黎曼在1862年婚后不到年婚后不到一个月就开始患胸膜炎和肺结核，其后四年的大部分时间在一个月就开始患胸膜炎和肺结核，其后四年的大部分时间在意大利治病疗养。意大利治病疗养。1866年年7月月20日病逝于意大利，终年日病逝于意大利，终年39岁。岁。黎曼的一生是短暂的，不到黎曼的一生是短暂的，不到40个年头。他没有时间获得象个年头。他没有时间获得象欧拉和柯西那么多的数学成果。但他的工作的优异质量和深欧拉和柯西那么多的数学成果。但他的工作的优异质量和深刻的洞察能力令世人惊叹。尽管牛顿和莱布尼兹发现了微积刻的洞察能力令世人惊叹。尽管牛顿和莱布尼兹发现了微积分，并且给出了定积分的论述，但目前教科书中有关定积分分，并且给出了定积分的论述，但目前教科书中有关定积分的现代化定义是由黎曼给出的。为纪念他，人们把积分和称的现代化定义是由黎曼给出的。为纪念他，人们把积分和称为黎曼和，把定积分称为黎曼积分。为黎曼和，把定积分称为黎曼积分。黎曼是世界数学史上最具独创精神的数学家之一。黎曼的黎曼是世界数学史上最具独创精神的数学家之一。黎曼的著作不多，但却异常深刻，极富于对概念的创造与想象。黎著作不多，但却异常深刻，极富于对概念的创造与想象。黎曼在其短暂的一生中为数学的众多领域作了许多奠基性、创曼在其短暂的一生中为数学的众多领域作了许多奠基性、创造性的工作，为世界数学建立了丰功伟绩。造性的工作，为世界数学建立了丰功伟绩。黎曼的工作直接影响了黎曼的工作直接影响了19世纪后半期的数学发展，许多世纪后半期的数学发展，许多杰出的数学家重新论证黎曼断言过的定理，在黎曼思想的影杰出的数学家重新论证黎曼断言过的定理，在黎曼思想的影响下数学许多分支取得了辉煌成就。对于他的贡献，人们是响下数学许多分支取得了辉煌成就。对于他的贡献，人们是这样评价的：这样评价的：“黎曼把数学向前推进了几代人的时间黎曼把数学向前推进了几代人的时间”。
