2.3.1双曲线及其标准方程-数学选修2-1.ppt
2.3.1 双曲线及其标准方程1.1.椭圆的定义椭圆的定义和和 等于常数等于常数2a(2a|F1F2|0)的点的轨迹的点的轨迹.平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的2.引入问题：引入问题：差差等于常数等于常数的点的轨迹是什么呢？的点的轨迹是什么呢？平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的如图如图如图如图(A)(A)，|MF|MF1 1|-|MF|MF2 2|=|F|=|F2 2F|=2F|=2a a如图如图如图如图(B)(B)，上面上面上面上面 两条合起来叫做双曲线两条合起来叫做双曲线两条合起来叫做双曲线两条合起来叫做双曲线由由由由可得：可得：可得：可得：|MF|MF1 1|-|MF|MF2 2|=2|=2a a （差的绝对值）差的绝对值）|MF|MF2 2|-|MF|MF1 1|=|F|=|F1 1F|=2F|=2a a注：当注：当|MF1|-|MF2|=2a时，点时，点M的轨迹的轨迹为近为近F2的一支的一支.当当|MF2|-|MF1|=2a时，点时，点M的轨迹的轨迹为近为近F1的一支的一支.画双曲画双曲线线平面上到两个定点的距离的差的绝对值等于平面上到两个定点的距离的差的绝对值等于常数常数2a(小于小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线的点的轨迹叫双曲线定点定点F1、F2叫做双曲线的焦点叫做双曲线的焦点两焦点之间的距离叫做焦距两焦点之间的距离叫做焦距(2c)F2F1M以线段以线段F1F2中点为坐标原点，中点为坐标原点，F1F2所在直线为所在直线为 x 轴，建立轴，建立平面直角坐标系，则平面直角坐标系，则F1(-c,0)，F2(c,0).设设M(x,y)第二步第二步 设点设点第一步第一步 建立直角坐标系建立直角坐标系yxO(-c,0)(x,y)(c,0)F2F1M由定义可得由定义可得|MF1|-|MF2|2a 第三步第三步 列式列式第四步第四步 代坐标代坐标第五步第五步 化简化简设设得得即：即：双曲线的标准方程双曲线的标准方程(a2222ccx()yxy2=+-+（c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)c2-a2b2表示一个焦点在表示一个焦点在x轴上的双曲线轴上的双曲线其焦点坐标为（其焦点坐标为（c,0),(-c,0)，双曲线上每一点到两焦点距离之差的绝对值为双曲线上每一点到两焦点距离之差的绝对值为2a其中：其中：O(-c,0)(c,0)F2F1Myx(x,y)如果焦点在如果焦点在y轴上，则双曲轴上，则双曲线的标准方程为：线的标准方程为：其焦点坐标为其焦点坐标为(0,-c)，(0,c)表示焦点在表示焦点在x轴上的双曲线轴上的双曲线表示焦点在表示焦点在y轴上的双曲线轴上的双曲线问题问题:对于一个具体的双曲线方程，怎么判对于一个具体的双曲线方程，怎么判断它的焦点在哪条轴上呢？断它的焦点在哪条轴上呢？xyF1(0,-c)M(x,y)F2(0,c)O其中：其中：看看 前的系数，哪一个为正，前的系数，哪一个为正，则则焦点焦点在在哪一个轴上哪一个轴上定义定义定义定义图象图象图象图象方程方程方程方程焦点焦点焦点焦点a.b.c a.b.c 的关系的关系的关系的关系|MF1|-|MF2|=2a（2a|F1F2|）F(c,0)F(0,c)双曲线定义及标准方程双曲线定义及标准方程 双曲线 上一点P到焦点F1的距离等于6，则点P到另一焦点F2的距离是 _a=8 判断下列双曲线的焦点位置，判断下列双曲线的焦点位置，并求出焦点坐标和焦距并求出焦点坐标和焦距(2)(2)a=4,b=3,c=5,焦点在焦点在y轴，轴，焦点焦点(0(0，-5)-5)、(0(0，5)5)，焦距为，焦距为1010(1)(1)a=6,b=8,c=10,焦点在焦点在x轴，轴，焦点焦点(-10(-10，0)0)、(10(10，0)0)，焦距为，焦距为2020；22|PF1|-|PF2|=2a=16=6-_22 已知双曲线的两个焦点坐标分别是已知双曲线的两个焦点坐标分别是(-5,0)，(5,0)，点，点P到到F1,F2距离差的绝对值等于距离差的绝对值等于6，求它，求它 的标准方程的标准方程解：由于双曲线的焦点在解：由于双曲线的焦点在x轴轴，于是，于是设标准方程为设标准方程为双曲线方程为双曲线方程为:由由得得只要求出只要求出a、b则可求出双曲线的方程则可求出双曲线的方程所以所以归纳：归纳：焦点定位，焦点定位，a、b、c三者之二定形三者之二定形 求适合下列条件的双曲线的求适合下列条件的双曲线的标准方程：标准方程：(1)a=4，b=3，焦点在焦点在x轴上；轴上；(2)焦点为焦点为(0,-6)，(0,6)，且经过点，且经过点(2,-5)如图如图,设点，的坐标分设点，的坐标分别为别为(-5,0)，(5,0)直线直线AM，BM相交于点，且它们的斜率之积是相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程，求点的轨迹方程xyOABM解：设点的坐标为解：设点的坐标为(x,y),因为点的坐标为因为点的坐标为(-5,0),所以，直线所以，直线AM的斜率的斜率同理，直线同理，直线BM的斜率的斜率由已知有由已知有化简化简,得点得点M的轨迹方程为的轨迹方程为 求证：双曲线与椭圆求证：双曲线与椭圆的焦点相同的焦点相同证明：双曲线化为标准方程证明：双曲线化为标准方程因为因为所以所以焦点在焦点在x轴，故焦点坐标为轴，故焦点坐标为(-4,0)，(4,0)因为椭圆中因为椭圆中所以所以焦点在焦点在x轴，故焦点坐标为轴，故焦点坐标为(-4,0)，(4,0)所以双曲线与椭圆的焦点相同所以双曲线与椭圆的焦点相同 例例3 3 一炮弹在某处爆炸，在一炮弹在某处爆炸，在A A处听到爆炸声的时处听到爆炸声的时间比在间比在B B处晚处晚2s2s（1 1）爆炸点应在什么曲线上？爆炸点应在什么曲线上？（2 2）已知已知A A、B B两地相距两地相距800m800m，并且此时声速为，并且此时声速为340m/s340m/s，求曲线的方程，求曲线的方程解：（解：（1 1）由声速及）由声速及A A、B B两地听到爆炸声的时间差，两地听到爆炸声的时间差，可知可知A A、B B两地与爆炸点的距离的差，因此爆炸点两地与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以应位于以A A、B B为焦点的双曲线上。为焦点的双曲线上。解（解（2 2）如图所示，建立直角坐角系，使）如图所示，建立直角坐角系，使A A、B B两点两点在在x轴上，并且点轴上，并且点O O与线段与线段ABAB的中点重合的中点重合设爆炸点设爆炸点P P的坐标为（的坐标为（x，y），则），则即即 2a=680，a=340 xyoPBA巩固巩固:如果方程如果方程 表示双曲线，表示双曲线，求求m m的取值范围的取值范围.分析分析:方程方程 表示双曲线时，则表示双曲线时，则m的取值的取值范围范围_.变式变式:双曲线的定义双曲线的定义双曲线的标准方程双曲线的标准方程
