3.2_导数的基本公式及四则运算法则.ppt

3.2.1 3.2.1 常值函数的常值函数的导数导数3.2.2 3.2.2 幂函数的幂函数的导数导数3.2.3 3.2.3 正弦正弦函数的导数函数的导数3.2.4 3.2.4 对数函数的导数对数函数的导数3 3.2 2.5 5 函数的和、积、商的函数的和、积、商的导数导数3.2 3.2 导数基本公式与四则运算法则导数基本公式与四则运算法则3 3.2 2.6.6 反函数的反函数的导数导数3 3.2 2.7.7 复合函数的复合函数的导数导数3 3.2 2.8.8 隐函数的隐函数的导数导数3 3.2 2.9.9 取对数求取对数求导法导法3 3.2 2.10.10 基本初等函数的导数公式志求导法则基本初等函数的导数公式志求导法则所以所以设设(为常数为常数)，于是于是，即常值函数的导数为零即常值函数的导数为零3.2.1 3.2.1 常值函数导数常值函数导数即即设幂函数设幂函数 我们将在下一节给出上式证明我们将在下一节给出上式证明3.2.2 3.2.2 幂函数的导数幂函数的导数例例4 4设，设，求求解解由幂函数的求导公式得由幂函数的求导公式得；练习一练习一求下列函数的导数：求下列函数的导数：设，则设，则，于是于是，3.2.3 3.2.3 正弦函数的导数正弦函数的导数所以所以，即即类似地可以得到类似地可以得到设设 ，则，则，于是于是，3.2.4 3.2.4 对数函数的导数对数函数的导数所以所以，即即特别地，当时，因为，所以有特别地，当时，因为，所以有解解因为，由公式，可得因为，由公式，可得 例例5 5设，设，求求指数函数的导数指数函数的导数设，则设，则特别地，当时，因为，有特别地，当时，因为，有而，由公式得而，由公式得例例6 6设，求，设，求，解解在中，因为，由公式得在中，因为，由公式得；设函数和在点处可导，则设函数和在点处可导，则在点处也可导，且在点处也可导，且3.2.53.2.5 函数的和、积、商的导数函数的和、积、商的导数1.1.代数和函数的导数代数和函数的导数 例例1 1设，设，求求 解解上面的公式对于有限多个可导函数成立，上面的公式对于有限多个可导函数成立，例如：例如：特别地，当其中有一个函数为常数时，特别地，当其中有一个函数为常数时，则有则有设函数和在点处可导，则设函数和在点处可导，则在点处也可导，且在点处也可导，且2.2.乘积函数的导数乘积函数的导数例例2 2设设 ，求求 解解例例3 3设，求设，求 解解.(2.2.5)(2.2.5)设函数和在点处可导，且，设函数和在点处可导，且，则在点处也可导，且，则在点处也可导，且3.3.函数商的导数函数商的导数推论推论例例4 4已知已知,求求解解，例例5 5设，求设，求于是于是，解解先化简，得先化简，得 例例6 6求的导数求的导数解解因为，所以因为，所以，即即用同样方法可以得到用同样方法可以得到1.1.求下列函数的导数：求下列函数的导数：练习一练习一2 2.求下列函数在指定点处的导数：求下列函数在指定点处的导数：反三角函数的导数公式反三角函数的导数公式；3.2.63.2.6 反函数的导数反函数的导数是一个复合函数，它可以是一个复合函数，它可以看作是由及看作是由及 复合而成的复合而成的我们用定义求出它的导数我们用定义求出它的导数，而而，3.2.73.2.7 复合函数的导数复合函数的导数则则(2.2.6)(2.2.6)定理定理2.22.2设函数在点处有导设函数在点处有导数，函数在点数，函数在点 处有导处有导数，则复合函数数，则复合函数 在该在该点也有导数，且点也有导数，且(2.2.8)(2.2.8).或或(2.2.7)(2.2.7)或或例例7 7求下列函数的导数：求下列函数的导数：(1)(1)；(2)(2)；(3)(3)；(4)(4)；(5)(5)；(6)(6)；(7)(7).解解(1)(1)设，由定理设，由定理2.22.2得得；(2)(2)设，由定理设，由定理2.22.2得得；(3)(3)设，由定理设，由定理2.22.2得得；(4)(4)设，则设，则；(5)(5)设，则设，则；(7)(7)设，则设，则 (6)(6)设，则设，则.定理定理2.22.2的结论可以推广到多层次复合的情的结论可以推广到多层次复合的情况况 例如设，例如设，则复合函数的导数为则复合函数的导数为(2.2.9)(2.2.9)例例8 8求下列函数的导数：求下列函数的导数：(3)(3)(1)(1)；(2)(2)；解解 (1)(1)设，由定理设，由定理2.22.2得得；(2)(2)(3)(3)例例9 9求函数求函数 的导数的导数 解解；例例1010求函数的导数求函数的导数，则则解解由对数性质，有由对数性质，有证证利用对数的性质我们将函数写成指数式利用对数的性质我们将函数写成指数式令，则，令，则，例例1111推导的求导公式推导的求导公式练习二练习二求下列函数的导数：求下列函数的导数：例例1717求下列函数的导数：求下列函数的导数：(1)(1)；(2)(2)解解(1)(1)(2)(2)练习五练习五求下列函数的导数：求下列函数的导数：我们称由未解出因变量的方程我们称由未解出因变量的方程所确定的与之间的关系为隐函数例如，所确定的与之间的关系为隐函数例如，等等隐函数求导数的方法是：方程两端同时对隐函数求导数的方法是：方程两端同时对求导，遇到含有的项，先对求导，再乘求导，遇到含有的项，先对求导，再乘以对的导数，得到一个含有的方程式，以对的导数，得到一个含有的方程式，然后从中解出即可然后从中解出即可3.2.83.2.8 隐函数的导数隐函数的导数例例1212求由方程所确定的隐函求由方程所确定的隐函数的导数数的导数解解方程两边同时对求导，得方程两边同时对求导，得，即即，解出，得解出，得例例1313求由方程所确定的隐函数求由方程所确定的隐函数的导数的导数解解方程两边同时对求导，得方程两边同时对求导，得解出，得解出，得，即即，即即，解解先求由所确定的隐函数的先求由所确定的隐函数的导数方程两边同时对求导，得导数方程两边同时对求导，得例例1414求曲线在点处的求曲线在点处的切线方程切线方程解出，得解出，得在点处，在点处，于是，在点处的切线方程为于是，在点处的切线方程为即即，练习三练习三 1.1.求由方程求由方程 所确定的隐函数所确定的隐函数的导数的导数 .3.3.求由方程求由方程 所确定的曲线所确定的曲线上点上点(2(2，-2)-2)处的切线方程。处的切线方程。2.2.设函数设函数 由方程由方程确定，求确定，求解解两边取对数，有两边取对数，有方程两边同时对求导，可得方程两边同时对求导，可得，3.2.93.2.9 取对数求导法取对数求导法例例1515求导数求导数(1)(1)由多个因子的积、商、乘方、开方而成由多个因子的积、商、乘方、开方而成的函数的求导问题的函数的求导问题即即，例例1616求的导数求的导数解解两边取对数，有两边取对数，有，两边同时对求导，可得两边同时对求导，可得，即即(2)(2)求函数求函数 （称为幂指函数（称为幂指函数)的导数的导数练习四练习四求下列函数的导数：求下列函数的导数：(1)(1)(为常数为常数)；(3)(3)()；(5)(5)()；(4)(4)；(2)(2)(为任意常数为任意常数)；3.2.103.2.10 基本初等函数的导数公式与求导法则基本初等函数的导数公式与求导法则1.1.基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式(6)(6)；(7)(7)；(9)(9)；(10)(10)；(8)(8)；(11)(11)；(12)(12)；(13)(13)；(14)(14)；设、是的可导函数设、是的可导函数(1)(1)；(2)(2)；(3)(3)；(4)(4)；2 2.求导法则求导法则(5)(5)设，则复合函数设，则复合函数的导数为的导数为或或