(6)导数的运算法则.ppt

()=(v 0).u v-uv v2 uv一、复习目标一、复习目标 掌握两个函数的和、差、积、商的导数运算法则掌握两个函数的和、差、积、商的导数运算法则,了解复合了解复合函数的求导法则函数的求导法则,会求某些函数的导数会求某些函数的导数.二、重点解析二、重点解析 在运用导数的四则运算法则进行简单函数的求导时在运用导数的四则运算法则进行简单函数的求导时,要熟记要熟记常见函数的导数公式及运算法则常见函数的导数公式及运算法则.对复合函数的求导对复合函数的求导,要搞清复合关系要搞清复合关系,选好中间变量选好中间变量,分清分清每次是对哪个变量求导每次是对哪个变量求导,最终要把中间变量换成自变量的函数最终要把中间变量换成自变量的函数.三、知识要点三、知识要点1.函数的和、差、积、商的导数函数的和、差、积、商的导数:(u v)=u v;(uv)=u v+uv;(cu)=cu(c 为常为常数数);2.复合函数的导数复合函数的导数 设函数设函数 u=(x)在点在点 x 处有导数处有导数 u x=(x),函数函数 y=f(u)在点在点 x 的对应点的对应点 u 处有导数处有导数 y u=f (u),则复合函数则复合函数 y=f(x)在点在点 x 处有导数处有导数,且且 y x=y u u x.或写作或写作 f x(x)=f(u)(x).即复合函数对自变量的导数即复合函数对自变量的导数,等于等于已知函数对中间变量的导已知函数对中间变量的导数数,乘以中间变量对乘以中间变量对自变量自变量的导数的导数.典型例题典型例题 1 解解:(1)y=(2x2+3)(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)=4x(3x-2)+(2x2+3)3 求下列函数的导数求下列函数的导数:(1)y=(2x2+3)(3x-2);(2)y=x2sinx+2cosx;(2)y=(x2sinx)+(2cosx)=18x2-8x+9.法法2 y=(6x3-4x2+9x-6)(3)y=(x+1)(-1).x1=18x2-8x+9.=(x2)sinx+x2(sinx)+2(cosx)=2xsinx+x2cosx-2sinx.典型例题典型例题 1 求下列函数的导数求下列函数的导数:(3)y=(x+1)(-1).x1解解:(3)y=(x+1)(-1)+(x+1)(-1)x1x1=(x +1)(x-1)+(x +1)(x-1)12121212=x-(x-1)+(x +1)(-x-)121212321212=x-1-x-x-1-x-123212121212=-2 x12x x1=-.2x xx+1=-2 x12x x1法法2 y=1-x+-1=-x,x1 x1 x1y=(-x)=-.2x xx+1 典型例题典型例题 2 已知已知 f(x)的导数的导数 f(x)=3x2-2(a+1)x+a-2,且且 f(0)=2a,若若 a2,求不等式求不等式 f(x)0 的解集的解集.解解:f(x)=3x2-2(a+1)x+a-2,可设可设 f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+b.f(0)=2a,b=2a.f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+2a =x2(x-a)-x(x-a)-2(x-a)=(x-a)(x2-x-2)=(x+1)(x-2)(x-a)令令(x+1)(x-2)(x-a)0,由于由于 a2,则则 当当 a=2 时时,不等式不等式 f(x)2 时时,不等式不等式 f(x)0,得得 0t1;令令 S(t)1.S(t)在在 0,1)上为增函数上为增函数,在在(1,+)上上为减函为减函数数.S(t)max=S(1)2e=.典型例题典型例题 4 求曲线求曲线 y=x3+3x2-5 过点过点 M(1,-1)的切线方程的切线方程.解解:由由 y=x3+3x2-5 知知 y=3x2+6x,设切点为设切点为 P(x0,y0),则则 y|x=x0=3x02+6x0,曲线在点曲线在点 P 处的切线方程为处的切线方程为 y-y0=(3x02+6x0)(x-x0).又又切线过点切线过点 M(1,-1),-1-y0=(3x02+6x0)(1-x0),即即 y0=3x03+3x02-6x0-1.而点而点 P(x0,y0)在曲线上在曲线上,满足满足 y0=x03+3x02-5,x03+3x02-5=3x03+3x02-6x0-1.整理得整理得 x03-3x0+2=0.解得解得 x0=1 或或 x0=2.切点为切点为 P(1,-1)或或 P(-2,-1).故所求故所求的切线方程为的切线方程为 9x-y-10=0 或或 y=-1.典型例题典型例题 5 已知函数已知函数 f(x)=2x3+ax 与与 g(x)=bx2+c 的图象都过点的图象都过点 P(2,0),且且在点在点 P 处有相同的切线处有相同的切线.(1)求实数求实数 a,b,c 的值的值;(2)设函数设函数 F(x)=f(x)+g(x),求求 F(x)的单调区间的单调区间,并指出函数并指出函数 F(x)在该区在该区间上的单调性间上的单调性.解解:(1)f(x)=2x3+ax 的图象过点的图象过点 P(2,0),a=-8.f(x)=2x3-8x.f(x)=6x2-8.g(x)=bx2+c 的图象也过点的图象也过点 P(2,0),4b+c=0.又又g(x)=2bx,4b=g(2)=f(2)=16,b=4.c=-16.F(x)=2x3+4x2-8x-16.综上所述综上所述,实数实数 a,b,c 的值分别为的值分别为-8,4,-16.2 23+2a=0.f(2)=6 22-8=16.(2)由由(1)知知 f(x)=2x3-8x,g(x)=4x2-16.F(x)=6x2+8x-8.由由 F(x)0 得得 x ;23由由 F(x)0 得得-2x0,函数函数 f(x)=,x(0,+),设设 0 x1 .记曲记曲线线 y=f(x)在点在点 M(x1,f(x1)处的切线为处的切线为 l.(1)求求 l 的方程的方程;(2)设设 l 与与 x轴的交点为轴的交点为(x2,0),证明证明:0 x2 ;若若 x1 ,则则 x1x2 .x1-ax 1a2a1a1a(1)解解:f(x)=(-a)=(x-1)1x=-x-2=-.1x2切线切线 l 的的方程为方程为 y=-(x-x1)+.x11-ax1 1x12(2)证证:依题意依题意,在切线在切线 l 的的方程中令方程中令 y=0,得得 x2=x1(1-ax1)+x1=x1(2-ax1),ax12,其中其中 0 x10.又又 x10,x2=x1(2-ax1)0.当当 x1=时时,x2=-a(x1-)2+取得最大值取得最大值 ,1a1a1a1a1a0 x2 .当当 x1 时时,ax1x1.又由又由知知 x2 ,1a1ax1x20 得得 0 x1;令令 f(x)0 得得 1f(2).f(0)=0 为函数为函数 f(x)在区间在区间 0,2 上的最小上的最小值值;求函数求函数 f(x)=ln(1+x)-x2 在区间在区间 0,2 上的最大值和最小值上的最大值和最小值.14解解:f(x)=-x,1+x 112又又f(0)=0,f(1)=ln2-,f(2)=ln3-10,14 f(1)=ln2-为函数为函数 f(x)在区间在区间 0,2 上的最大值上的最大值.14又又切线过原点切线过原点,解得解得 x0=-3 或或 x0=-15.课后练习课后练习 5 解解:由已知可设切点为由已知可设切点为(x0,),其中其中,x0-5.x0+9 x0+5 试求经过原点且与曲线试求经过原点且与曲线 y=相切的切线方程相切的切线方程.x+9 x+5 y=-(x-5),(x+5)2 4(x+5)2 x+5-x-9 过过切点切点的切线的斜率为的切线的斜率为 -(x0-5).(x0+5)2 4 x0+9 x0+5 x0 =-.(x0+5)2 4 当当 x0=-3 时时,y0=3.此时此时切线的斜率为切线的斜率为-1,切线方程为切线方程为 x+y=0.x+25y=0.35当当 x0=-15 时时,y0=.此时此时切线的斜率为切线的斜率为-,切线方程为切线方程为 251课后练习课后练习 6 已知函数已知函数 f(x)=2x3+ax 与与 g(x)=bx2+c 的图象都过点的图象都过点 P(2,0),且且在点在点 P 处有公共切线处有公共切线,求求 f(x)、g(x)的表达式的表达式.解解:f(x)=2x3+ax 的图象过点的图象过点 P(2,0),a=-8.f(x)=2x3-8x.f(x)=6x2-8.g(x)=bx2+c 的图象也过点的图象也过点 P(2,0),4b+c=0.又又g(x)=2bx,4b=g(2)=f(2)=16,b=4.c=-16.g(x)=4x2-16.综上所述综上所述,f(x)=2x3-8x,g(x)=4x2-16.课后练习课后练习 7 设函数设函数 y=ax3+bx2+cx+d 的图象与的图象与 y 轴的交点为轴的交点为 P 点点,且曲线且曲线在在 P 点处的切线方程为点处的切线方程为 12x-y-4=0.若函数在若函数在 x=2 处取得极值处取得极值 0,试确定函数的解析式试确定函数的解析式.解解:由已知由已知,P 点的坐标为点的坐标为(0,d).曲线在曲线在 P 点处的切线方程为点处的切线方程为 12x-y-4=0,12 0-d-4=0.又切线斜率又切线斜率 k=12,解得解得:d=-4.故函数在故函数在 x=0 处的导数处的导数 y|x=0=12.而而 y=3ax2+2bx+c,y|x=0=c,c=12.函数在函数在 x=2 处取得极值处取得极值 0,y|x=2=0 且当且当 x=2 时时,y=0.故有故有 8a+4b+20=0.12a+4b+12=0,解得解得 a=2,b=-9.y=2x3-9x2+12x-4.课后练习课后练习 8 已知已知 a0,函数函数 f(x)=x3-a,x(0,+),设设 x10,记曲线记曲线 y=f(x)在点在点(x1,f(x1)处的切线为处的切线为 l.(1)求求 l 的方程的方程;(2)设设 l 与与 x 轴的交点为轴的交点为(x2,0),证明证明:x2a ;若若 x1a ,则则 a x2a ,x13-a0,则则 31x2-x1=-x13-a 3x120,31且由且由,x2a ,a x2x1.31注注:(2)亦可利用导数或基本不等式证明亦可利用导数或基本不等式证明.