浙江省温州市兴港高级中学高中数学 2.1.1平面与平面的关系课件 新人教A必修2.ppt
2021/8/8 星期日11、初中、初中几何几何中我们认识了哪些平面几何图形？中我们认识了哪些平面几何图形？三角形、四边形、多边形、圆形、椭圆等。三角形、四边形、多边形、圆形、椭圆等。平面内基本图形：平面内基本图形：点、线点、线空间中基本图形：空间中基本图形：点、线、面点、线、面2、高中、高中几何几何中我们认识了哪些立体几何图形？中我们认识了哪些立体几何图形？棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球等。棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球等。复习引入复习引入2021/8/8 星期日22021/8/8 星期日32021/8/8 星期日41.1.特点特点:平面是无限延展平面是无限延展,没有厚度的没有厚度的.2.画法画法:水平或竖直的平面常用平行四边形表示水平或竖直的平面常用平行四边形表示.3.记法记法:平面平面、平面、平面、平面、平面（标记在边上）（标记在边上）平面平面ABCDABCD、平面、平面ACAC或平面或平面BDBD（但常用平面的一部分表示平面）（但常用平面的一部分表示平面）ABCDABCD一、平面的表示方法一、平面的表示方法2021/8/8 星期日5 判断下列各题的说法正确与否，在正判断下列各题的说法正确与否，在正确的说法的题号后打确的说法的题号后打 ，否则打，否则打 .1、一个平面长、一个平面长 4 米，宽米，宽 2 米；米；()2、平面有边界；、平面有边界；()3、一个平面的面积是、一个平面的面积是 25 cm 2；()4、平面是无限延展、平面是无限延展、没有厚度没有厚度的的；()5、一个平面可以把空间分成两部分、一个平面可以把空间分成两部分.()巩固巩固:2021/8/8 星期日6 图形图形文字语言文字语言(读法读法)符号语言符号语言Aa点在直线上点在直线上点在直线外点在直线外点在平面内点在平面内 点在平面外点在平面外结论结论1：空间中空间中点与线点与线、点与面点与面的位置关系的位置关系思考1:把一根木条固定在墙面上需要几根钉子需要几根钉子?Aa2021/8/8 星期日7表示两平面相交的画法2021/8/8 星期日8点与平面的位置关系点与平面的位置关系点A 在平面内，记作：点B 在平面外，记作：2021/8/8 星期日9二、平面的基本性质二、平面的基本性质公理公理1：若一条直线的若一条直线的两点两点在一个平面内，在一个平面内，则这条直线上则这条直线上所有的点所有的点都在这个平面内都在这个平面内,即即:这条直线在这个平面内。这条直线在这个平面内。作用:用于判定线在面内即即:Aa且B a AB aAB2021/8/8 星期日10直线直线a在平面在平面a内内记作：记作：a a直线直线a在平面在平面a外外记作：记作：a a结论结论2：空间中空间中线与面线与面的位置关系的位置关系强调强调:空间中空间中点与线点与线(面面)只有只有 和和 关系关系 空间中空间中线与面线与面只有只有 与与 的关系的关系条件条件结论结论结论条件1条件2推导符号“”的使用：2021/8/8 星期日11思考思考2:2:固定一扇门需要几样东西？固定一扇门需要几样东西？回答:确定一个平面需要什么条件一个平面需要什么条件?2021/8/8 星期日12公理公理2 2：过过不在同一条直线上不在同一条直线上的的三三点点,有且有且只有一个平面。只有一个平面。ABC A A、B B、C C确定一个平面确定一个平面A A、B B、C C不共线不共线强调强调:推导符号跟着结论一起换行。推导符号跟着结论一起换行。作用作用:用于用于确定一个平面确定一个平面.2021/8/8 星期日13推论推论1.1.一条直线和直线外一点确定一个平面。一条直线和直线外一点确定一个平面。推论推论2.2.两条相交直线确定一个平面。两条相交直线确定一个平面。推论推论3.3.两条平行直线确定一个平面。两条平行直线确定一个平面。公理公理2.2.不共线的三点确定一个平面不共线的三点确定一个平面.确定一平面还有哪些方法？确定一平面还有哪些方法？a aACB2021/8/8 星期日14应用应用1:几位同学的一次野炊活动几位同学的一次野炊活动,带去一带去一张折叠方桌张折叠方桌,不小心弄坏了桌脚不小心弄坏了桌脚,有一生提有一生提议可将几根一样长的木棍议可将几根一样长的木棍,在等高处用绳在等高处用绳捆扎一下作桌脚（如图所示）捆扎一下作桌脚（如图所示）,问至少要问至少要几根木棍，才可能使桌面稳定？几根木棍，才可能使桌面稳定？答答:至少至少3根根 2021/8/8 星期日15应用应用2:过空间中一点可以做几个平面？过空间中一点可以做几个平面？过空间中两点呢？三点呢？过空间中两点呢？三点呢？结论：结论：过空间中一点或两点可以做无数个过空间中一点或两点可以做无数个平面，过空间中平面，过空间中不共线不共线的三点只能做一个，的三点只能做一个，否则有无数个。否则有无数个。2021/8/8 星期日16思考思考3:如图所示，两个平面如图所示，两个平面、,若相若相交于一点交于一点,则会发生什么现象则会发生什么现象?Pl2021/8/8 星期日17公理公理3：若两个不重合平面有若两个不重合平面有一个公共点一个公共点，则它们有且只有则它们有且只有一条过该点的公共直线。一条过该点的公共直线。即即:Pa且PbaIb=l且Pl PaPbaIb=lPl作用作用:用于证明用于证明点在线上或多点共线.2021/8/8 星期日18 例例1 1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系面之间的位置关系alABalPb（1）（2）解：在（解：在（1 1）中，）中，在（在（2 2）中，）中，典型例题典型例题2021/8/8 星期日191.1.正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平面正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平面 ,分别记作分别记作 ，试用适当的符号填空，试用适当的符号填空 (6)平面平面A1C1CA平面平面D1B1BD=A1B1C1D1O1ABCDOOO1练习练习back2021/8/8 星期日20例例2：求证：求证两两相交于不同点的三条直线两两相交于不同点的三条直线必在同一个平面内必在同一个平面内(共面问题共面问题)ABC已知已知:ABAC=AABAC=A，ABBC=BABBC=B，ACBC=C.ACBC=C.求证求证:直线直线ABAB、BCBC、ACAC共面共面.证明证明ABAC=AABAC=Aa直线直线ABAB、BCBC、ACAC共面于共面于aABAB和和ACAC确定一平面确定一平面a(公理公理2的推论的推论2)BAB BAB a,CAC ,CAC aBC BC a(公理公理1)1)2021/8/8 星期日21证法二：证法二：因为因为A 直线直线BC上，上，所以过点所以过点A和直线和直线BC确定平面确定平面.（推论（推论1）因为因为BBC，所以，所以B.又又A，故故AB ，同理，同理AC ，所以所以AB，AC，BC共面共面.ABC例例2 2 证明两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内证明两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内.证法三：证法三：因为因为A，B，C三点不在一条直线上，三点不在一条直线上，所以过所以过A，B，C三点可以确定平面三点可以确定平面.（公理（公理2）因为因为A，B，所以，所以AB .（公理（公理1）同理同理BC ，AC ，所以所以AB，BC，CA三直线共面三直线共面.2021/8/8 星期日222021/8/8 星期日23 例例3:ABCABC在平面在平面a a外外,ABABa a=,BCBC a a=，ACACa a=,求证求证:、三点共线、三点共线.(共线问题共线问题)A AB BC Ca又又PPa a证明证明:PAB:PAB 且且 AB AB 平面平面ABCABCQ QP PR R PP平面平面ABCABC PP平面平面ABCABCa a(公理公理3)设设平面平面ABCABCa a=l则则 PP l同理同理 QQl 且且R Rl故故P P、Q Q、R R三点共线于直线三点共线于直线ll三线共点的问题三线共点的问题2021/8/8 星期日24练习：空间四边形练习：空间四边形ABCD中，中，E，F分别是分别是AB和和CB上的点，上的点，G，H分分别是别是CD和和AD上的点，且上的点，且EH与与FG相交于相交于K.求证：求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点三条直线相交于同一点.分析：分析：已知已知EHFG=K，要证，要证EH，BD，FG共点共点.即要证明即要证明B，D，K三点共线三点共线.而而BD是面是面ABD和面和面CBD的交线的交线.所以所以往证往证K面面ABD面面CBD.而显然，由而显然，由EH面面ABD，KEH，可得，可得K面面ABD.同理，由同理，由FG面面CBD，KFG，可得，可得K面面CBD.三线共点的问题三线共点的问题2021/8/8 星期日25练习：已知练习：已知ABCDABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E E，F F，G G，H H分别是分别是ABAB，BCBC，CDCD，DADA的中点，连结的中点，连结EFEF，FGFG，GHGH，HEHE，求证：，求证：EFGHEFGH是一个平行四边形是一个平行四边形.问问1:若上例加上条件若上例加上条件AC=BD，则四边形，则四边形EFGH是一个什么图形？是一个什么图形？“见中点找中点见中点找中点”构造构造三角形的中位线三角形的中位线是证明平行的常用方法是证明平行的常用方法 EH是是ABD的中位线，的中位线，EH FG且且EH=FGEFGH是一个平行四边形是一个平行四边形证明：证明：连结连结BD，同理，同理，FG BD且且FG=BD EH BD且且EH=BDAB DEFGHC菱形菱形问问2:若上例中四边形若上例中四边形EFGH为矩形，为矩形，AC与与BD垂直吗？垂直吗？另注：平行线段成比例另注：平行线段成比例练习2021/8/8 星期日26例例4：证明：一条直线与两条平行直线都相交，则这三条直线共面：证明：一条直线与两条平行直线都相交，则这三条直线共面.已知：已知：a/b，ac=A，bc=B.求证：直线求证：直线a，b，c共面共面.证明：证明：因为因为a/b，所以直线所以直线a，b确定一个平面确定一个平面.（推论（推论3）因为因为Aa，Bb，所以，所以A，B.又因为又因为Ac，Bc.故故AB .（公理（公理1）因此直线因此直线a，b，c共面共面.点线共面问题点线共面问题2021/8/8 星期日27练练 已知已知a ，b ，ab=A，Pb，PQ/a.求证：求证：PQ .点线共面问题点线共面问题2021/8/8 星期日28补充练习：补充练习：1 1、A A为直线为直线 上的点，又点上的点，又点A A不在平面不在平面 内，内，则则 与与 的公共点最多有的公共点最多有 _个个.12 2、四条直线过同一点，过每两条直线作一个、四条直线过同一点，过每两条直线作一个平面，则可以作平面，则可以作_个不同的平面个不同的平面 .1或或4或或62021/8/8 星期日29 若一条直线的若一条直线的两点两点在一个平面内，则在一个平面内，则这条直线上这条直线上所有的点所有的点都在这个平面内都在这个平面内,即即:这条直线在这个平面内这条直线在这个平面内 小结小结:平面的基本性质平面的基本性质公理公理1：作用:用于判定线在面内即即:Aa且B a AB aAB2021/8/8 星期日30AaabABC作用:用于确定一个平面确定一个平面.ba小结：公理小结：公理2及其推论及其推论aIb=a和b确定一平面确定一平面.A aA A和和a确定一平面确定一平面.A,B,CA,B,C确定一平面确定一平面.A,B,CA,B,C不共线不共线a和b确定一平面确定一平面.ab2021/8/8 星期日31公理公理3：若两个不重合平面有若两个不重合平面有一个公共点，一个公共点，则它们有且只有则它们有且只有一条过该点的公共直线。一条过该点的公共直线。即即:Pa且PbaIb=l且Pl PaPbaIb=lPl作用作用:用于证明用于证明点在线上或多点共线2021/8/8 星期日32 图形图形文字语言文字语言(读法读法)符号语言符号语言Aa点在直线上点在直线上点在直线外点在直线外点在平面内点在平面内 点在平面外点在平面外结论结论1:空间中空间中点与线点与线、点与面点与面的位置关系的位置关系Aa2021/8/8 星期日33直线直线a在平面在平面a内内记作：记作：a a直线直线a在平面在平面a外外记作：记作：a a结论结论2：空间中空间中线与面线与面的位置关系的位置关系强调强调:空间中空间中点与线点与线(面面)只有只有 和和 关系关系 空间中空间中线与面线与面只有只有 与与 的关系的关系条件条件结论结论结论条件1条件2推导符号“”的使用：2021/8/8 星期日342021/8/8 星期日35
