人教高中数学(理科)选修数学归纳法及其应用举例课件.ppt

数学数学归纳法及其法及其应用用举例例观察：观察：63+3，85+3，103+7，125+7，143+11，165+11，7867+11，我们能得出什么结论？我们能得出什么结论？任何一个大于等于任何一个大于等于6的偶数，都可以表示成两个奇质数之和的偶数，都可以表示成两个奇质数之和 一个袋子里共有一个袋子里共有18个球，要判断这一袋球是红球个球，要判断这一袋球是红球,还是白球还是白球,请问怎么办？请问怎么办？由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法归纳法完全归纳法：完全归纳法：为了研究一组（或一个）对象所具有的属性，考查它的所有元为了研究一组（或一个）对象所具有的属性，考查它的所有元素并归纳得出结论。素并归纳得出结论。不完全归法：不完全归法：为了研究一组（或一个）对象所具有的属性，考查它的特有几为了研究一组（或一个）对象所具有的属性，考查它的特有几个或部分元素并归纳得出结论。个或部分元素并归纳得出结论。哥德巴赫哥德巴赫猜想猜想不完全归纳不完全归纳法法完全完全归纳归纳法法?对任何对任何n N*,2nn2+2 1.在等差数列在等差数列an中，已知首中，已知首项为项为a1，公差，公差为为d，那么，那么a1=a1+0 d,a2=a1+1 d,a3=a1+2 d,a4=a1+3 d,an=?归纳归纳an=a1+(n 1)d，2比较比较2n与与n2+2(n N*)的大小的大小验证可知：验证可知：n=1、2、3、4都有都有2nn2+2完全归纳法：完全归纳法：优点：考查全面，结论正确。优点：考查全面，结论正确。缺点缺点：工作量大，有些对象无法全面考查。：工作量大，有些对象无法全面考查。不完全归法：不完全归法：优点：考查对象少，得出结论快。优点：考查对象少，得出结论快。缺点缺点：观察片面化，结论不一定正确。：观察片面化，结论不一定正确。若盒子里的乒乓球有无数个，如何证明它们全是白球呢？若盒子里的乒乓球有无数个，如何证明它们全是白球呢？证明第一次拿出的乒乓球是白球的；证明第一次拿出的乒乓球是白球的；构造一个命题并证明，此命题的题设是：构造一个命题并证明，此命题的题设是：“若某一次拿出若某一次拿出的是白球的是白球”，结论是：，结论是：“下次拿出的球也是白球下次拿出的球也是白球”。以上两步都。以上两步都被证明，则盒子中的乒乓球全是白球。被证明，则盒子中的乒乓球全是白球。1.n=1时拿出的是白球时拿出的是白球2.假设当假设当n=k(k N*)时拿出的是白球，则当时拿出的是白球，则当n=k+1时拿出时拿出的也是白球的也是白球.由由1、2可知盒子里的的乒乓球全是白球可知盒子里的的乒乓球全是白球数学归纳法数学归纳法数学归纳法数学归纳法1.先证明当先证明当n 取第一个值取第一个值n0(如如n0=1)时命题成立时命题成立2.假设当假设当n=k(k N*,k n0)时命题成立，再证明当时命题成立，再证明当n=k+1时命题也成立，时命题也成立，由由1、2可知命题对大于等于可知命题对大于等于n0的所有自然数都的所有自然数都成立成立例例1用数学归纳法证明用数学归纳法证明1+3+5+(2n 1)=n2 证明：证明：1.当当n=1时时左左1，右，右121n=1时，命题成立时，命题成立2.假设假设n=k时，命题成立，即时，命题成立，即1+3+5+(2k 1)=k2 那么，当那么，当n=k+1时时左左1+3+5+(2k 1)(2k+1)=k2+2k+1=(k+1)2=右右即即n=k+1时命题成立时命题成立由由1、2知原命题对知原命题对n N*都成立都成立递推基础递推基础递推依据递推依据例例2.用数学归纳法证明用数学归纳法证明证明：证明：1、当、当n=1时时,左左=12=1，右，右=n=1时，等式成立时，等式成立2、假设、假设n=k时，等式成立，即时，等式成立，即那么，当那么，当n=k+1时时左左=12+22+k2+(k+1)2=右右n=k+1时，原不等式成立时，原不等式成立由由1、2知当知当n N*时，原不等式都成立时，原不等式都成立例例3.用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：1 4+2 7+3 10+n(3n+1)=n(n+1)2 1)第一步应做什么？此时第一步应做什么？此时n0=，左，左 ，2)假设假设n=k时命题成立，即时命题成立，即_1441当当n=2时，左时，左，右，右。2(21)2 当当n=k时，等式左边共有时，等式左边共有项，项，第第(k 1)项是项是 。k1 4+2 7(k 1)3(k 1)+11 4+2 7+3 10+k(3k+1)=k(k+1)21 441证证明：明：当当n=1时时，左，左边边右右边边n=1时时等式成立。等式成立。假假设设n=k时时，命，命题题成立，即成立，即那么，当那么，当n=k+1时时，有，有即即n=k+1时，命题成立。时，命题成立。根据根据问可知，对问可知，对nN，等式成立，等式成立。数学归纳法是一种完全归纳的证明方法，它适用于与自然数数学归纳法是一种完全归纳的证明方法，它适用于与自然数有关的问题。有关的问题。2、在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，必须进行恒等、在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，必须进行恒等变换变换 用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：明确首取值明确首取值n0并验证真假。（必不可少）并验证真假。（必不可少）“假设假设n=k时命题正确时命题正确”并写出命题形式。并写出命题形式。分析分析“n=k+1时时”命题是什么，并找出与命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式时命题形式的差别。弄清左端应增加的项。的差别。弄清左端应增加的项。明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等公式、因式分解、添拆项、配方等3、两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立；、两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉